答案与评分标准
一、选择题（共7小题）
1、已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是（ ）
A、x＜﹣3或x＞﹣2 B、或
C、 D、﹣3＜x＜﹣221cnjy
考点：根与系数的关系；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．
解答：解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，21世纪教育网版权所有
∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2
∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）（﹣2）=，
∴a=﹣1，b=﹣6
不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0
∴6x2+5x+1＜021世纪教育网
∴不等式的解集是
故选C．
点评：本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．
2、已知不等式ax2+3x﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，则a，b的值等于（ ）
A、a=1，b=﹣2 B、a=2，b=﹣1
C、a=﹣1，b=2 D、a=﹣2，b=1
3、方程6x2=5x﹣4化为一般形式为（ ）
A、6x2﹣5x+4=0 B、6x2﹣5x﹣4=0
C、6x2+5x﹣4=0 D、6x2+5x﹣4
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：转化思想。
分析：根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）把6x2=5x﹣4进行移项即可答案正确答案．
解答：解：把6x2=5x﹣4移项得，6x2﹣5x+4=0．故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
4、设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A、{x|x＜x1} B、{x|x＞x2}
C、{x|x＜x1或x＞x2} D、{x|x1＜x＜x2}
考点：一元二次不等式与一元二次方程。21cnjy
专题：计算题。21cnjy
分析：由于方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，故不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，从而可解不等式．
解答：解：由题意，不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，由于x1＜x2，a＜0，∴ax2+bx+c＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，
故选D．21世纪教育网
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，关键是注意不等式的解集与方程解之间的关系，同时应注意二次项的系数对解集的影响．
5、已知实数，t满足不等式s2﹣2s≥t2﹣2t，若1＜s＜4，则的取值范围是（ ）
A、bc≤16 B、21世纪教育21*cnjy*com网
C、 D、
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：分类讨论。
分析：由已知中t满足不等式s2﹣2s≥t2﹣2t，根据二次函数y=x2﹣2x的性质，我们可得s离对应称x=1的距离要远，分别讨论s≥t时与s＜t时，的取值范围即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式与一元二次方程，其中根据二次函数与二次不等式之间的关系，将问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质进行解答是解答本题的关键．
6、下列方程中，常数项为零的是（ ）
A、x2+x=0 B、2x2﹣x﹣12=0
C、2（x2﹣1）=3（x﹣1） D、2（x2+1）=x+4
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：根据二次方程ax2+bx+c=0得常数项为c可结合选项分别检验即可
解答：解：A：x2+x=0中常数项c=0
B：2x2﹣x﹣12=0，常数c=﹣12
C：2（x2﹣1）=3（x﹣1）整理可得，2x2﹣3x+1=0，常数c=1
D：整理可得，2x2﹣x﹣2=0，常数项c=﹣2
故选：A
点评：本题主要考查二次方程ax2+bx+c=0常数项得判断，属于基本概念的考查，属于基础试题
7、若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A、m＜a＜b＜n B、a＜m＜n＜b
C、a＜m＜b＜n D、m＜a＜n＜b
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：数形结合。21cnjy
分析：构造两个函数，将m，n看出函数f（x）的两个零点；a，b看出g（x）的两个零点，根据两个函数的图象的
二、填空题（共14小题）21世纪教育网版权所有
8、方程9x+3x﹣2=0的解是 0 ．21世纪教育网
考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：将原方程中的9x看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x，化简成同底的指数方程，利用函数的单调
9、不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b= ﹣或﹣3 ．
考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式与一元二次方程。
分析：由不等式的解集确定a、b的值，再进行求和．
解答：解：∵ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴解得或
∴a+b=﹣或﹣3．
故答案为：﹣或﹣3
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法．解一元二次不等式时注意其开口方向．
10、不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是 {x|﹣2＜x＜2} ．
考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．
解答：解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＜0
因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＜0
因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＜0即|x|＜221*cnjy*com
解得：﹣2＜x＜2．
故答案为：{x|﹣2＜x＜2}．21cnjy21*cnjy*com
点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道中档题．
11、方程3x2=27的解是 3或﹣3 ．
12、已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 [0，4] ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。21世21世纪教育网纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，y=2kx2+kx+的图象在x轴上方，，由此能够求出k的取值范围．
解答：解：∵一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，
当k=0时，符合题意；
当≠0时，
根据y=2kx2+kx+的图象
∴，∴，解为（0，4]．
∴k的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．
点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．
13、若关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是 （﹣，2） ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：我们在同一坐标系画出y=2﹣x2（x＜0，y＜0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．
解答：解：不等式x2＜2﹣|x﹣a|即为|x﹣a|＜2﹣x2且 0＜2﹣x2在同一坐标系画出y=2﹣x2（x＜0，y＜0）和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 （0，2）点，a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 （﹣，）点，a=﹣故实数a的取值范围是，故答案为
点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（x＜0，y＜0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．21cnjy
14、已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b= ．21世纪教育网
点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．
15、规定记号“a?c”表示一种运算，即a?b=ab+a+b2（a，b为正实数），若1?m=3，则m的值为 1 ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：新定义。
分析：根据a?b=ab+a+b2先用含m的式子表示1?m，再根据1?m=3，得到关于m的一元二次方程，解方程，所得方程的解还得满足为正实数，就可求出m的值．
解答：解：∵a?b=ab+a+b2（a，b为正实数），∴1?m=1×m+1+m2=3，
即m2+m﹣2=0，解得，m=﹣2，或m=1
又∵a，b为正实数，∴m=﹣2舍去．∴m=1
故答案为1
点评：本题主要考查给出新定义，根据新定义计算，综合考查了学生的理解能力和计算能力．
16、不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a= ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：由已知中不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，我们易得a＞0，且对应方程ax2+bx+1=0的根为1和2，由韦达定理，易构造出关于a，b的方程，解方程即可求出a的值．
解答：解：∵不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴a＞0
则1+2=，1×2=21世纪教育网
解得a=
故答案为：．221*cnjy*com 1cnjy
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式与一元二次方程的关系，其中熟练掌握一元二次不等式的解集的形式与系数的关系是解答本题的关键．
17、不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b= 2 ．21世纪教育网版权所有
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得1，2为方程ax2+bx﹣2=0的两根然后根据韦达定理求出a，b的值则a+b的值即可求出．
点评：本题主要考察一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．解题的关键是一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的转化与应用！
18、已知x为实数，且满足（2x2+3x）2+2（2x2+3x）﹣15=0，则2x2+3x的值为 3 ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：把2x2+3x当成一个整体利用换元法来解方程，令t=2x2+3x，得到t2+2t﹣15=0，解出关于t的一元二次方程，根据t是代替一个二次函数，求出t的取值范围，舍去不合题意的结果．
解答：解：把2x2+3x当成一个整体利用换元法来解方程，令t=2x2+3x
得到t2+2t﹣15=0
解得t=﹣5或3．
∵t=2x2+3x≥﹣
∴t=﹣5舍去
故答案为：3．
点评：本题考查利用换元法来解一元二次方程，本题解题的关键是解出换元以后的结果，要看是否适合题意，本题是一个易错题．
19、若关于x的方程与在R上都有解，则23a?2b的最小值为 64． ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：根据二次方程根的个数与判别式有关，令两个方程的判别式都大于等于0，且注意被开方数大于等于0，列出不等式组，画出可行域；利用同底数的幂的运算法则化简要求的式子；利用线性规划求出指数的最小值，从而求出式子的最小值．
解答：解：∵在R上有解
∴
即2a+b≥6且a≥0①
∵21cnjy
∴21世纪21世纪教育网教育网版权所有
即a+2b≥6且b≥0②作出①②对应的可行域21*cnjy*com
∵23a?2b=23a+b，令z=3a+b变形为b=﹣3a+z，作出相应的直线，结合图象，当直线移至（0，6）时直线的纵截距最小，此时z最小为6
∴23a?2b=23a+b≥26=64
故答案为：64
点评：本题考查二次方程的根的个数取决于判别式、开偶次方根的被开方数大于等于0、不等式组表示的平面区域、利用线性规划求函数的最值、同底数的幂的运算法则．
20、关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集为 （1，3） ．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得1，为方程ax2+bx+c=0的两根且a＞0然后根据韦达定理求出a，b，c的关系然后代入到x的不等式cx2+bx+a＜0中再结合a＞0解不等式即可．
解答：解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为
∴1，为方程ax2+bx﹣2=0的两根且a＞0
∴根据韦达定理可得
∴a=﹣，b=
∴关于x的不等式cx2+bx+a＜0可变形为ax2﹣4ax+3a＜0
又∵a＞0
∴x2﹣4x+3＜0
∴1＜x＜3
∴关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集为（1，3）
故答案为（1，3）
点评：本题主要考察一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．解题的关键是一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的转化与应用以及a＞0这个隐含条件的得出，这关系到次不等式的正确求解！
21、已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2?sinθ+a?cosθ+c=0，b2?sinθ+b?cosθ+c=0，则连接A（a2，a）、B（b2，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为，则c= ± ．21世纪教育网版权所有
考点：直线与圆的位置关系；一元二次不等式与一元二次方程。21*cnjy*com 21cnjy 21世纪21世纪教育网教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据实数a与b满足的两个关系式得到a与b是一个一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，利用A与B的坐标写出直线AB的方程，然后由弦长及单位圆的半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线AB的距离，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离d，然d等于求出的距离列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
∵弦长为，圆的半径r=1，∴圆心到直线AB的距离d==，
即==，
解得：c=±．
故答案为：
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，勾股定理，直线的两点式方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
三、解答题（共9小题）
22、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m2﹣2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：综合题。
分析：（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，利用根与系数的关系求出函数的两个零点，结合图象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由题意得出函数f（x）的零点，结合图解法求得f（x）＜0的解即可；
（3）由于f（x）的图象与x轴有两个交点，结合图象表示出三交点为顶点的三角形的面积表达式，从而得到a关于c的表达式，最后利用基本不等式求a的取值范围；
（4）要使f（x）≤m2﹣2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[﹣1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2﹣2km+1成立，令g（k）=﹣2km+m2，下面问题转化为恒成立问题解决，利用二次函数的图象与性质解得实数m的取值范围．
解答：解：（1）文：当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵，设另一个根为x2，则，∴x2=1，（2分）21世纪21世纪教育网教育网版权所有
则 f（x）＜0的解为．（4分）2121*cnjy*com cnjy
（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，21世纪教育网版权所有
设另一个根为x2，则（2分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，则f（x）＜0的解为（4分）
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x2，则
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，则三交点为（6分）
这三交点为顶点的三角形的面积为，（7分）
∴故．（10分）
（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，
∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m2﹣2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[﹣1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2﹣2km+1成立，（14分）
必m2﹣2km≥0，令g（k）=﹣2km+m2，
对所有k∈[﹣1，1]，g（k）≥0恒成立，只要，即（16分）
解得实数m的取值范围为 m≤﹣2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式与一元二次方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
23、已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b的值．
考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：由已知中集合，我们易求出集合A，B，又由A∩B={x|x2+ax+b＜0}，根据二次不等式与二次方程之间的关系，可以得到不等式解集的端点，就是对应方程的根，进而由韦达定理（根与系数的关系）得到答案．
解答：解：∵A={x|﹣3＜x＜2}，（6分）
∴A∩B={x|x2+ax+b＜0}=，（8分）221*cnjy*com 21cnjy 1世纪教育网版权所有
∴﹣2和即为方程x2+ax+b=0的两根，∴，21世纪教育网
∴a+b=．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性、对数函数的单调性、一元二次不等式与一元二次方程的关系，其中根据一元二次不等式与一元二次方程的关系将问题转化为方程根与系数的关系是解答本题的关键．
24、已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．
（1）当m=3时解此不等式；
（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
考点：一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：（1）当m=3时，不等式x2﹣x﹣2＞0，解可得答案；
（2）不等式x2﹣x﹣m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x2﹣x﹣m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
点评：本题考查了一次函数和二次函数的恒成立问题．本题的关键在于“转化”，先将不等式恒成立转化为函数恒成立问题，再利用二次函数与x轴无交点解决问题．
25、已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，求关于x的不等式ax2﹣bx+c≤0的解集．
考点：一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题；转化思想。
分析：因为不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞，则ax2+bx+c=0，的两个根是﹣2和﹣，利用根与系数的关系求得a，b，c的关系式，最后代入ax2﹣bx+c＞0就变形为ax2﹣x+a＞0，求出解集即可．
解答：解：由x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，得出：
∴21cnjy
∴21世纪教育网
∴，21世纪教育网版权所有
即．21世纪21*cnjy*com教育网版权所有
则不等式ax2﹣bx+c≤0的解集为：．
点评：考查学生解不等式的能力，以及不等式的应用能力，解答关键是应用一元二次不等式与一元二次方程的关系解决问题．
26、关于x的不等式x2+mx+6＞0（m为常数）．
（1）如果m=﹣5，求不等式的解集；
（2）如果不等式的解集为{x|x＜1或x＞6}，求实数m的值．
考点：一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：（1）将m的值代入，将不等式的左边因式分解，得到一元二次不等式的解集．
（2）据营业处不等式的解集的形式，判断出解集的两个端点1，6是相应的方程的两个根，将根代入方程，列出方
27、已知关于x的不等式x2﹣4x﹣m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）=﹣x2+4ax+4在（1，+∞）上递减，求关于x的不等式loga（﹣nx2+3x+2﹣m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．
考点：一元二次不等式的应用；二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：（1）根据x的不等式x2﹣4x﹣m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}，得到n和5是方程x2﹣4x﹣m=0的两个根．根据根与系数之间的关系得到结果．
（2）由题意知，二次函数的对称轴x=2a，2a≤1，得，得到a的范围是，根据loga（﹣nx2+3x+2﹣m）＞0得到0＜﹣nx2+3x+2﹣m＜1，得到结果．
解答：解：（1）∵x的不等式x2﹣4x﹣m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
由题意知，n和5是方程x2﹣4x﹣m=0的两个根，…（2分）
所以n+5=4，5n=﹣m，得n=﹣1，m=5 …（4分）
（2）由题意知，对称轴x=2a，2a≤1，得，a的范围是…（6分）21世纪教育网版权所有
loga（﹣nx2+3x+2﹣m）＞0?0＜﹣nx2+3x+2﹣m＜121世纪教育网
即，…（10分）21*cnjy*com 21世纪21世21cnjy纪教育网教育网版权所有
得…（12分）
所以原不等式的解集为．…（14分）
点评：本题看出一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，本题解题的关键是求出m的值，这样才能解决第二问，本题是一个中档题目．
28、解方程
（1）x2﹣4x=0
（2）5x（x﹣3）=6﹣2x．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
专题：计算题。
分析：（1）原方程可化为x（x﹣4）=0的形式，根据实数的性质“两个数a，b的积等于0，则a=0或b=0，可得答案．
（2）原方程可化为（x﹣3）（5x+2）=0，根据实数的性质“两个数a，b的积等于0，则a=0或b=0，可得答案．
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的解法，其中将已知中的方程变形转化成（x﹣x1）（x﹣x2）=0的形式是解答本题的关键．
29、两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．
考点：一元二次不等式与一元二次方程。
分析：根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值．
解答：（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2﹣4ac≥0，
所以[﹣2（k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，
即k2﹣3k﹣4≤0，∴﹣1≤k≤4．
故当﹣1≤k≤4时，原方程有实数根．
（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式
△=b2﹣4ac=0，
所以（﹣8sinα）2﹣4?8?（2+cos2α）=0，
64sin2α﹣64﹣32cos2α=0，
2sin2α﹣cos2α﹣2=0，
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点评：二次方程仍是高中研究的一个重点，本题中就有和三角函数衔接的综合考查．
30、若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，
（1）求实数a的值；21cnjy
（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
考点：一元二次不等式与一元二次方程；一元二次不等式的解法。
专题：计算题。
分析：（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．
（2）由（1）得我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
解答：解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，
∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根
解得 a=﹣2；
（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为
﹣2x2﹣5x+3＞0
解得
故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．
一元二次不等式与一元二次方程
一、选择题（共7小题）
1、已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是（ ）
A、x＜﹣3或x＞﹣2 B、或21cnjy21*cnjy*com
C、 D、﹣3＜x＜﹣2
2、已知不等式ax2+3x﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，则a，b的值等于（ ）
A、a=1，b=﹣2 B、a=2，b=﹣121世纪教育网
C、a=﹣1，b=2 D、a=﹣2，b=1
3、方程6x2=5x﹣4化为一般形式为（ ）
A、6x2﹣5x+4=0 B、6x2﹣5x﹣4=0
C、6x2+5x﹣4=0 D、6x2+5x﹣4
4、设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A、{x|x＜x1} B、{x|x＞x2}
C、{x|x＜x1或x＞x2} D、{x|x1＜x＜x2}
5、已知实数，t满足不等式s2﹣2s≥t2﹣2t，若1＜s＜4，则的取值范围是（ ）
A、bc≤16 B、
C、 D、
6、下列方程中，常数项为零的是（ ）
A、x2+x=0 B、2x2﹣x﹣12=0
C、2（x2﹣1）=3（x﹣1） D、2（x2+1）=x+4
7、若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A、m＜a＜b＜n B、a＜m＜n＜b
C、a＜m＜b＜n D、m＜a＜n＜b
二、填空题（共14小题）
8、方程9x+3x﹣2=0的解是 _________ ．
9、不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b= _________ ．
10、不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是 _________ ．
11、方程3x2=27的解是 _________ ．
12、已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 _________ ．
13、若关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是 _________ ．
14、已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b= _________ ．
15、规定记号“a?c”表示一种运算，即a?b=ab+a+b2（a，b为正实数），若1?m=3，则m的值为 _________ ．
16、不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a= _________ ．
17、不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b= _________ ．
18、已知x为实数，且满足（2x2+3x）2+2（2x2+3x）﹣15=0，则2x2+3x的值为 _________ ．
19、若关于x的方程与在R上都有解，则23a?2b的最小值为 _________ ．
20、关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集为 _________ ．
21、已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2?sinθ+a?cosθ+c=0，b2?sinθ+b?cosθ+c=0，则连接A（a2，a）、B（b2，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为，则c= _________ ．
三、解答题（共9小题）
22、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；21cnjy
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m2﹣2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[﹣1，1]恒成立，求数
m的取值范围．
23、已知集合，
又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b的值．
24、已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．
（1）当m=3时解此不等式；
（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
25、已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，求关于x的不等式ax2﹣bx+c≤0的解集．
26、关于x的不等式x2+mx+6＞0（m为常数）．21世纪教育网版权所有
（1）如果m=﹣5，求不等式的解集；
（2）如果不等式的解集为{x|x＜1或x＞6}，求实数m的值．
27、已知关于x的不等式x2﹣4x﹣m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）=﹣x2+4ax+4在（1，+∞）上递减，求关于x的不等式loga（﹣nx2+3x+2
﹣m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．
28、解方程
（1）x2﹣4x=0
（2）5x（x﹣3）=6﹣2x．
29、两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．
30、若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
