答案与评分标准
一、选择题（共3小题）
1、若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（ ）
A、0 B、﹣2
C、 D、﹣3
考点：一元二次不等式与二次函数。21*cnjy*com
分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，]恒成立，只要f（x）在区间（0，]上的最小值大于等于0即可得到答案．
解答：解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=21世纪教育网
若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，
应有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1
若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，
应有f（0）=1＞0恒成立，
故a≥0
若0≤≤，即﹣1≤a≤0，
则应有f（）=恒成立，
故﹣1≤a≤0
综上，有﹣≤a．
故选C
点评：本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．
2、若f（x）=x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是（ ）
A、a＞2或a＜﹣2 B、﹣2＜a＜2
C、a≠±2 D、1＜a＜3
点评：本小题主要考查一元二次不等式的应用、函数的解析式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
3、关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，那么另一个关于x的不等式rx2﹣qx+p＞0的解集应该是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：α和 β可看作方程px2+qx+r=0的两个根，从而能求出p，q，r与α，β的关系，代入rx2﹣qx+p＞0，能求出不等式的解．
解答：解：因为关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，
所以α和 β可看作方程px2+qx+r=0的两个根，21cnjy
所以p＜0，，，21世纪教21*cnjy*com育网
因为0＜α＜x＜β，p＜0，21cnjy
所以r＜0．
所以rx2﹣qx+p＞0
即为
即α?βx2+（α+β）x+1＜0
解得
故选D．
点评：本题考查一元二次不等式，关键是知道不等式的解集和方程的解之间的联系，从而求解．
二、填空题（共4小题）
4、二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
6
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
0
6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＞3或x＜﹣2} ．
5、已知a∈R+，函数f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）＜0，比较大小：f（m+2） ＞ 1．（用“＜”或“=”或“＞”连接）．
考点：一元二次不等式与二次函数。
分析：先求出对称轴x=﹣1，再由f（0）=1＞0，a＞0可知当f（x）＜0时一定有﹣2＜x＜0，确定m的范围进而得到答案．
解答：解：∵f（x）以x=﹣1为对称轴 又f（0）=1＞0，f（x）开口向上，f（m）＜0∴一定有﹣2＜m＜0
因此0＜m+2＜2
又因为f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
所以f（m+2）＞f（0）=1
故答案为：＞．
点评：本题主要考查一元二次函数的性质﹣﹣对称轴、开口方向的问题．一元二次函数是高考必考内容，一定要熟练掌握其性质．
6、设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1，若f（x）＞0的解集为空集，则m的取值范围为 ．
考点：一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题。
分析：先根据不等式f（x）＞0的解集是空集，写出与其等价的条件，再解这个二次不等式组即可得到m的取值范围．
解答：解：不等式f（x）＞0的解集是空集等价于：
，
得21*cnjy*com
即：m∈
则m的取值范围为
故答案为：．
点评：本题是考查二次函数，二次不等式，二次方程间的相互转化和相互应用，这是函数中综合性较强的问题，需熟练掌握．
7、若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为 ．
考点：一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题；分类讨论；转化思想；分类法。
分析：构造变量m的函数，对x2﹣1＞0，x2﹣1＜0，x2﹣1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可．
点评：本题考查一元二次不等式与二次函数，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
三、解答题（共10小题）
8、已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且在区间[﹣1，4]上的最大值为12，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：．
考点：函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式与二次函数；其他不等式的解法。
专题：计算题。
分析：（1）由不等式解集的形式判断出0，5是f（x）=0的两个根，利用二次函数的两根式设出f（x），求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．221世纪教育网1世纪教育21*cnjy*com网版权所21cnjy有
（2）将分式不等式转化为整式不等式，通过对两个根的讨论写出不等式的解集．
解答：解：21*cnjy*com21cnjy
m＜﹣1时，解集为
当m=﹣1时，解集为（﹣∞，0）21cnjy
当﹣1＜m＜0时，解集为21cnjy
点评：解决二次不等式时要注意不等式的解集与相应的方程的姐的关系；解决分式不等式时要等价转化为整式不等式．
9、解不等式ax2+3x＞3ax+9．
考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法；一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题；分类讨论。
分析：当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a大于0，a大于﹣1小于0，a小于﹣1和a等于﹣1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
10、设函数f（x）=x（x﹣a）2，
（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．
考点：一元二次不等式与二次函数；必要条件。21*cnjy*com
分析：（I）先求函数f（x）在区间（1，2）上递减的充要条件，
f（x）在区间（1，2）上递减?f'（x）=3x2﹣4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立，处理二次不等式恒成立问题可用实根分布求解．21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
（II）x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立?f（x）max＜2a2，x∈[0，|a|+1]，问题转化为求函数的最值问题．
（II）∵f（x）=x（x﹣a）2
当a＞0时，函数y=f（x）在（）上递增，21世纪教育网
在上递减，在上递增，21cnjy
故有21cnjy
当a＜0时，函数y=f（x）在上递增，
∴只要f（1﹣a）＜2a2?4a3﹣6a2+5a﹣1＞0
令g（a）=4a3﹣6a2+5a﹣1，
则
所以g（a）在（﹣∞，0）上递增，
又g（0）=﹣1＜0∴f（1﹣a）＜2a2不能恒成立
故所求的a的取值范围为
点评：本题考查已知函数的单调区间求参数范围问题和不等式恒成立问题，体现分类讨论和化归思想．
11、已知m＜n，试写出一个一元二次不等式ax2+bx+c＞0，使它的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），这样的不等式是否唯一？要使不等式能唯一被确立，需添加什么条件？
考点：一元二次不等式与二次函数。
分析：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），所以可以得到ax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n），因为a的值无法确定所以不等式不能唯一确定，所以还需要加关于a的值的有关条件．
解答：解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，m）∪（n，+∞），
∴ax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n）
∴一元二次不等式可以写成：x2﹣（m+n）x+mn＞0
这种不等式并不唯一，要使得不等式唯一还需加a的取值方面的有关条件．
比如a=1．
点评：本题主要考查一元二次不等式的求解问题．21*cnjy*com
12、已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
考点：一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题。
分析：不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于﹣3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．
点评：本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要把条件转化成关于a的不等关系．
13、已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立．
（1）求b、c之间的关系式；21世纪教育网
（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）﹣m2x在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：一元二次不等式与二次函数。
分析：（1）由f（1）=0可得答案．21cnjy
（2）先假设存在m满足条件，再写出函数g（x）的解析式故居其在区间（0，+∞）上单调进行解题．
解答：解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．21cnjy
（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在．
∵g（x）=f（x）﹣m2x=x2+（b﹣m2）x+c开口向上，且在[，+∞）上单调递增，
∴≤0．∴b≥m2≥0．
∵c≥3，∴b=﹣（c+1）≤﹣4．
这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在．
点评：本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．
14、已知二次函数f（x）=x2﹣2（m﹣1）x﹣2m+m2，
（1）如果它的图象经过原点，求m的值；
（2）如果它的图象关于y轴对称，写出该函数的解析式；
（3）是否存在实数m，对x∈[1，3]上的每一个x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由．
考点：一元二次不等式与二次函数；偶函数。
分析：（1）将点（0，0）代入即可得到答案．
（2）关于y轴对称知一元二次函数的对称轴为y轴，所以m﹣1=0可得答案．
（3）只要f（x）在x∈[1，3]上的最小值大于等于3就可以满足条件．转化为求二次函数在区间[1，3]的最小值问题．21世纪教育网版权所有
解答：解：（1）过原点（0，0）0=﹣2m+m2∴m=0或2；21*cnjy*com21cnjy
（2）由题意知，二次函数的对称轴为y轴，∴m﹣1=0∴m=121*cnjy*com
函数解析式为：f（x）=x2﹣1．21世纪教育网版权所有
（3）f（x）=[x﹣（m﹣1）]2﹣121cnjy
对称轴x=m﹣1
1°当m﹣1＜1即m＜2时，f（x）在[1，3]上递增，x=1时f（x）最小，f（1）=（2﹣m）2﹣1≥3∴m≥4或m≤0∴m≤0
2°：当1≤m﹣1≤3，即2≤m≤4，f（x）=[x﹣（m﹣1）]2﹣1，最小值为﹣1，﹣1≥3不成立
3°：m﹣1＞3即m＞4时f（x）在[1，3]上递减，x=3时最小 f（3）=（4﹣m）2﹣1≥3∴m≤2或m≥6
由以上可知：m≤0或m≥6．
点评：本题主要考查一元二次函数的图象、解析式和最值．一元二次函数是高考中必考内容，对其满足的性质要熟练掌握．
15、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a﹣b+c=0，对于任意实数x都有f（x）﹣x≥0，并且当x∈（0，2）时，有，21世纪教育网
（1）求f（1）的值；
（2）求ac的最小值；
（3）当x∈[﹣2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f（x）﹣mx（m为实数）是单调的，求m取值范围．
考点：一元二次不等式与二次函数。
分析：（1）根据1≤f（1）≤2可得答案．
（2）由f（1）=a+b+c=1，a﹣b+c=0解出b=a+c=，再由基本不等式得到答案．
（3）根据（2）求出abc的值确定f（x）的解析式可得到F（x）的解析式，再根据F（x）在[﹣2，2]单调可求出m的值．
解答：解：（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）﹣x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤，
令x=1
∴1≤f（1）≤，
即f（1）=1；
（2）由a﹣b+c=0及f（1）=1，
有，可得b=a+c=，
又对任意x，f（x）﹣x≥0，
即ax2﹣x+c≥0，
∴a＞0且△≤0，
即﹣4ac≤0，解得ac≥，
即ac的最小值为；
（3）由（2）可知a＞0，c＞0，
a+c≥2≥2?=，
当且仅当时等号成立，21世纪教21*cnjy*com育网版权所有
此时a=c=，
∴f（x）=x2+x+，21*cnjy*com
F（x）=f（x）﹣mx=[x2+（2﹣4m）x+1]，
当x∈[﹣2，2]时，f（x）是单调的，
所以F（x）的顶点一定在[﹣2，2]的外边，
∴≥2、解得m≤﹣或m≥．
点评：本题主要考查一元二次函数的解析式问题，其中还用到基本不等式的有关问题．一元二次函数的单调性是每年必考内容，当开口向上是对称轴右边增左边减，当开口向下时对称轴左边增右边减．
16、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，求a、b、c的取值范围．
考点：一元二次不等式与二次函数。
专题：应用题。
分析：根据题意，f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax2+bx+c﹣25=0有解，可得△=b2﹣4a（c﹣25）≥0，再根据不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，代入△=b2﹣4a（c﹣25）≥0中，可得答案．
解答：解：依题意ax2+bx+c﹣25=0有解，故△=b2﹣4a（c﹣25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，
∴a＜0且有﹣=﹣，=﹣．
∴b=a，c=﹣a．
∴b=﹣c，代入△≥0得c2+24c（c﹣25）≥0．
∴c≥24．故得a、b、c的取值范围为a≤﹣144，b≤﹣24，c≥24．
点评：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题．
17、已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设各项均不为0的数列{bn}中，所有满足bi?bi+1＜0的整数i的个数称为这个数列{bn}的变号数，令（n∈N*），求数列{bn}的变号数．
考点：数列的应用；一元二次不等式与二次函数。
专题：计算题；新定义。
分析：（Ⅰ）由题意可知a=0或a=4．再结合题设条件可知a=4，即f（x）=x2﹣4x+4．
（Ⅱ）结合题设条件由数列的性质知，由题设可得，由此入手能够求出21世纪教育网版权所有21世纪教育网
数列{bn}的变号数．21*cnjy*com
一元二次不等式与二次函数
一、选择题（共3小题）
1、若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（ ）21cnjy
A、0 B、﹣2
C、 D、﹣3
2、若f（x）=x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是（ ）
A、a＞2或a＜﹣2 B、﹣2＜a＜2
C、a≠±2 D、1＜a＜321世纪教育网
3、关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，那么另一个关于x的不等式rx2﹣qx+p＞0的解集应该是（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
二、填空题（共4小题）21cnjy
4、二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
6
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
0
6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 _________ ．
5、已知a∈R+，函数f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）＜0，比较大小：f（m+2） _________ 1．（用“＜”或“=”或“＞” 连接）．
6、设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1，若f（x）＞0的解集为空集，则m的取值范围为 _________ ．
7、若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为 _________ ．
三、解答题（共10小题）
8、已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且在区间[﹣1，4]上的最大值为12，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：．
9、解不等式ax2+3x＞3ax+9．
10、设函数f（x）=x（x﹣a）2，
（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．
11、已知m＜n，试写出一个一元二次不等式ax2+bx+c＞0，使它的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），这样的不等式是否唯一？要使不等式能唯一被确立，需添加什么条件？
12、已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．
13、已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立．
（1）求b、c之间的关系式；
（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）﹣m2x在区间（0，+∞）上是单调函
数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
14、已知二次函数f（x）=x2﹣2（m﹣1）x﹣2m+m2，
（1）如果它的图象经过原点，求m的值；
（2）如果它的图象关于y轴对称，写出该函数的解析式；
（3）是否存在实数m，对x∈[1，3]上的每一个x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求
出m的范围，若不存在，说明理由．
15、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a﹣b+c=0，对于任意实数x都有f（x）﹣x≥0，并且当x∈（0，2）时，有，
（1）求f（1）的值；21世纪教育网
（2）求ac的最小值；21*cnjy*com
（3）当x∈[﹣2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f（x）﹣mx（m为实数）是单调
的，求m取值范围．
16、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，求a、b、c的取值范围．21*cnjy*com
17、已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设各项均不为0的数列{bn}中，所有满足bi?bi+1＜0的整数i的个数称为这个数列{bn}的变号数，令（n∈N*），求数列{bn}的变号数．
