两点间距离公式的应用
一、选择题（共11小题）
1、过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为（ ）
A、6 B、
C、2 D、不能确定
2、点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A、直线l上的所有点都是“点”
B、直线l上仅有有限个点是“点”
C、直线l上的所有点都不是“点”
D、直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
3、点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）21*cnjy*com
A、0 B、1
C、 D、2
4、已知实数x、y满足2x2+3y2=2x，则x2+y2的最大值为（ ）21世纪教育网
A、 B、121*cnjy*com
C、2 D、4
5、已知A（1﹣t，1，t），B（2，t，﹣3）（t∈R），则A，B两点间距离的最小值是（ ）21世纪教育网
A、 B、2
C、 D、1
6、对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上．则|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，则|AC|2+|CB|2=|AB|2；21世纪教育网
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命题为（ ）
A、①②③ B、①②21*cnjy*com
C、① D、②③
7、在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3）、B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10、0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为（ ）
A、 B、
C、3 D、
8、已知 A（﹣1，0），B（5，6），C（3，4），则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、3 D、2
9、已知A（5，2a﹣1），B（a+1，a﹣4），当|AB|取最小值时，实数a的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、对于实数x，[x]称为取整函数或高斯函数，亦即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2．在直角坐标平面内，若（x，y）满足[x﹣1]2+[y﹣1]2=4，则 x2+y2的范围是（ ）21cnjy
A、[10，20] B、[10，20）
C、（1，5）∪[10，20） D、[1，5）∪[10，20）
11、若方程x2+ax+b=0有不小于2的实根，则a2+b2的最小值为（ ）21cnjy
A、3 B、
C、 D、
二、填空题（共9小题）
12、已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为 _________ ．
13、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是 _________ ．
14、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是 _________ ．
15、已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为 _________
16、直线2x﹣y﹣4=0上有一点P，它与两定点A（4，﹣1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 _________ ．
17、某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） _________ 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．
18、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 _________ ．21世纪教育网
19、已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 _________ ．
20、已知M（﹣1，3），N（2，1），点P在x轴上，且使PM+PN取得最小值，则最小值为 _________ ．
三、解答题（共9小题）
21、在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1﹣2t，2+t）、R（﹣2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；21世纪教育网
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．
22、设平面上P、Q两点的坐标分别是（），（），其中
（1）求|PQ|的表达式；21世纪教育网
（2）记f（x）=|PQ|2﹣4λ|PQ|，求函数f（x）的最小值．
23、（1）求经过直线l1：x+y﹣1=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且与直线2x+y+5=0平行的直线l的方程；
（2）已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线l上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标．
24、线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（1）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（2）试求y的取值范围．
25、实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，
求（1）的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值；
（3）的最大值和最小值．
26、△ABC的顶点为A（3，1），B（x，﹣1），C（2，y），重心G（，1）．求：
（1）AB边上的中线长；21世纪教育网
（2）AB边上的高的长．
27、求函数的最小值．21世纪教育网
28、已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．
29、已知点，在x轴上找一点使得|PA|=|PB|，并求出|PA|的值．
答案与评分标准
一、选择题（共11小题）
1、过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为（ ）
A、6 B、
C、2 D、不能确定
考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两点间距离公式的应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由两点表示的斜率公式求出AB的斜率，再根据AB的斜率等于1，得到b﹣a=1，再代入两点间的距离公式运算．
解答：解：由题意，得，即b﹣a=1，
所以，|AB|=，
故选 B．
点评：本题考查两直线平行的性质，直线的斜率公式以及两点间距离公式的应用．
2、点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A、直线l上的所有点都是“点” B、直线l上仅有有限个点是“点”
C、直线l上的所有点都不是“点” D、直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题；创新题型。
分析：根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．21世纪教育网
解答：解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）
∵A，B在y=x2上
∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程21世纪教育网
x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣1=0
∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，21世纪教育网
∴方程恒有实数解，
∴故选A．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．
3、点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）
A、0 B、1
C、 D、2
考点：两点间距离公式的应用。
分析：直接求距离的表达式，然后求最值．
解答：解：点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的距离：
∵t2+1≥1
故选B．
点评：本题考查两点间的距离公式，以及参数方程的理解，是基础题．
4、已知实数x、y满足2x2+3y2=2x，则x2+y2的最大值为（ ）
A、 B、1
C、2 D、4
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：根据x、y满足2x2+3y2=2x，3y2=﹣2x2+2x≥0，则0≤x≤1，令u=x2+y2，根据配方法即可求其最大值．
解答：解：∵x、y满足2x2+3y2=2x，3y2=﹣2x2+2x≥0，
则0≤x≤1，令u=x2+y2，
则u=x2+x=（x+1）2﹣，
∴当x=1时，u有最大值为：1．
故选B．
点评：本题考查了二次函数最值，难度不大，关键是先求出x的取值范围再根据配方法求最值．
5、已知A（1﹣t，1，t），B（2，t，﹣3）（t∈R），则A，B两点间距离的最小值是（ ）
A、 B、2
C、 D、1
6、对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上．则|AC|+|BC|=|AB|；21世纪教育网
②在△ABC中，若∠C=90°，则|AC|2+|CB|2=|AB|2；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命题为（ ）21世纪教育网
A、①②③ B、①②
C、① D、②③
考点：两点间距离公式的应用。
专题：综合题。
分析：对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正确．
对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立；
对于③在△ABC中，用坐标表示|AC|+|CB|然后根据绝对值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．
解答：解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），
定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，
则|AC|+|CB|=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=|AB|成立，故①正确．
对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立；
对于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=|AB|．③不一定成立
∴命题①成立，
故选：C．
点评：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．本题的易错点在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘记等号也可以成立．
7、在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3）、B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10、0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为（ ）
A、 B、
C、3 D、
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题；新定义；分类讨论。
分析：根据题意儿科求得|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|进而对y≥9，y≤3和3≤y≤9进行分类讨论，对等式整理，进而对x≤1，x≥6和1≤x≤6，进而分类讨论，分别求得线段的长度，最后相加即可求得答案．
解答：解：由已知条件得
|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|…（1）
当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；
当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；
当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．21世纪教育网
若x≤1，则y=，线段长度为1；
若1≤x≤6，则x+y=，则线段长度为5；21世纪教育网
若x≥6，则y=，线段长度为4．
综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为21世纪教育网
1+5+4=5（1+）．
故选B
点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．解题的关键是通过分类讨论的思想对等式进行化简整理．
8、已知 A（﹣1，0），B（5，6），C（3，4），则=（ ）
A、 B、
C、3 D、2
9、已知A（5，2a﹣1），B（a+1，a﹣4），当|AB|取最小值时，实数a的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题；综合题。
分析：首先根据两点之间的距离公式写出两点之间的距离，得到一个被开方数是一个关于a的二次函数的形式，对于二次函数配方整理，得到当a取时，|AB|取到最小值．
解答：解：
=，
当时，|AB|取最小值．21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查平面上两点间距离公式的应用和二次函数求最值的方法．平面上两点间的距离公式是解析几何的一个必考的公式，必须熟练掌握，这是一个综合题目．
10、对于实数x，[x]称为取整函数或高斯函数，亦即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2．在直角坐标平面内，若（x，y）满足[x﹣1]2+[y﹣1]2=4，则 x2+y2的范围是（ ）
A、[10，20] B、[10，20）
C、（1，5）∪[10，20） D、[1，5）∪[10，20）21世纪教育网
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先根据[x]的意义，得出x，y满足或，在平面直角坐标系内画出可行域，再将x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方，考察出最值情况，求出范围．
解答：解：由[x﹣1]2+[y﹣1]2=4，得或
即或
表示的可行域如图，且关于y=x对称．
x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO2=1，BO2=5此时x2+y2∈[1，5）．CO2=10，DO2=20，
此时x2+y2∈[10，20）．
所以 x2+y2∈[1，5）∪[10，20）．21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查取整函数的意义，数形结合的思想方法，考查了阅读理解、转化、计算能力．
11、若方程x2+ax+b=0有不小于2的实根，则a2+b2的最小值为（ ）21世纪教育网
A、3 B、
C、 D、
二、填空题（共9小题）
12、已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为 ．
考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：由已知中f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，由点B的坐标为（2，0），且f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．利用函数在极值点处的导数值为0，可得c=0，进而可设A（α，0），C（β，0），根据韦达定理可求出α，β与a，b，c，d的关系式，将x=2代入后再利用韦达定理求出A，C的距离，据②的结论可求出|AC|的最值，进而得到|AC|的取值范围．
解答：解：①由可知f（x）在区间[﹣1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax2+2bx+c，
故c=0
②令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，
解得 x1=0，x2=．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，21世纪教育网
得解得．
③由题意，可设A（α，0），C（β，0），21世纪教育网
则由题意可令f（x）=a（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β）=a[x3﹣（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x﹣2αβ]=ax3+bx2+cx+d
则，解得
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），21世纪教育网
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=﹣4（b+2a），
从而=
∵
∴当时，|AC|max=；当时，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤
故答案为：
点评：本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．
13、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是 （16，36） ．
考点：函数奇偶性的性质；两点间距离公式的应用。
分析：首先依题意判断函数的奇偶性．然后根据单调性及f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，得出新的关系式x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣24，转换成圆的方程，把不等式转换成点到原点的距离．得出答案．
解答：解：∵y=f（x﹣2010）的图象是y=f（x）的图象向右平移了2010个单位，又y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．
∴y=f（x）关于点（0，0）对称，即y=f（x）是递增的奇函数．
∴f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，即f（x2﹣6x）＜f（﹣y2+8y﹣24）．
∴x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣24化简得：（x﹣3）2+（y﹣4）2＜1．
∴点（x，y）在以（3，4）为圆心，半径为1的圆内．而x2+y2就是点（x，y）到原点的距离的平方．
作图易知：42＜x2+y2＜62，即16＜x2+y2＜36．
故答案为：（16，36）
点评：本题考查函数的奇偶性的应用．在解决函数问题的时候，可巧妙利用数形结合的方法．
14、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是 （4，6） ．
考点：奇偶性与单调性的综合；两点间距离公式的应用。
专题：常规题型。
分析：根据f（x）的图象关于点（0，0）对称．推断出函数f（x）为奇函数，根据函数为增函数及f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，可知x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣24，化简得（x﹣3）2+（y﹣4）2＜1，求x2+y2的范围实际是求点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离，进而得到答案．21世纪教育网
解答：解：∵函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0
∴f（x2﹣6x）＜﹣f（y2﹣8y+24）=f（﹣y2+8y﹣24）21世纪教育网
∵函数f（x）为增函数
∴x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣2421世纪教育网
即：（x﹣3）2+（y﹣4）2＜1
x2+y2的范围则为以点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离的平方．
∴4＜x2+y2＜6
故答案为：（4，6）
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合运用．本题采用了数形结合的方法，把x2+y2转化为圆内的点到原点的距离．
15、已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为 6x﹣y±6=0
考点：待定系数法求直线方程；两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：斜截式设出直线方程，求出它与两坐标轴的交点坐标，利用被两坐标轴所截得的线段长为，解出待定系数，即得直线l的方程．
解答：解：设直线l的方程 y=6x+b，它与两坐标轴的交点（0，b），（﹣，0），
则b2+=37，∴b2=36，b=±6，
∴所求的直线l的方程为 6x﹣y±6=0．
点评：本题考查用待定系数法求直线的斜截式方程，以及直线在两坐标轴上的截距的定义．
16、直线2x﹣y﹣4=0上有一点P，它与两定点A（4，﹣1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 （5，6） ．
17、某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） （3，3） 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．
考点：两点间距离公式的应用。
专题：应用题。
分析：设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得六个点的横纵坐标的平均值，然后代入附近的点的坐标进行比较可知在（3，3）处z取得最小值．
解答：解：设发行站的位置为（x，y），
零售点到发行站的距离为Z，
则Z=2|x+2|+|y﹣2|+2|x﹣3|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|，
这六个点的横纵坐标的平均值为=2，
=，
记A（2，），画图可知发行站的位置应该在点A附近，21世纪教育网
代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3，3）处z取得最小值．21世纪教育网版权所有
故答案为（3，3）．
点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．
18、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 4 ．
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，
故答案为：4
点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．
19、已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 ．
考点：两点间距离公式的应用。
分析：线段AB最短，就是说AB的距离最小，此时直线AB和直线x+y=0垂直，可先求AB 的斜率，再求直线AB的方程，然后与直线x+y=0解交点即可．
解答：解：定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，就是直线AB和直线x+y=0垂直，
AB的方程为：y﹣1=x，它与x+y=0联立解得x=，所以B的坐标是．
故答案为：．
点评：本题考查点到直线的距离，两线垂直的判定，直线交点的问题，是基础题目．
20、已知M（﹣1，3），N（2，1），点P在x轴上，且使PM+PN取得最小值，则最小值为 5 ．
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：由M（﹣1，3），N（2，1），在X轴的两侧，故使PM+PN取得最小值的P点，即M点关于X轴的对应点M′点与N点联线与X轴的交点，此时PM+PN即为M′N的长度，代入两点之间距离公式，即可求出答案．
解答：解：∵M（﹣1，3），N（2，1），在X轴的两侧，
M关于X轴的对应点M′点的坐标为（﹣1，﹣3）21世纪教育网
∵|M′N|==5
故PM+PN的最小值为5
故答案为：5
点评：本题考查的知识点是两点之间的距离公式及应用，其中利用对称思想把距离和转化为平面上两点之间的距离是解答本题关键．
三、解答题（共9小题）
21、在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1﹣2t，2+t）、R（﹣2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；21世纪教育网
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．
由于S'（t）=
验证知当在区间（0，）与（，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在区间（0，）与（，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数
点评：本题考点是函数的单调性与单调区间，考查根据实际问题建立函数关系式，借用函数的单调性研究实际问题的变化情况，本题是借助函数的变化研究图形面积的变化，本题体现了数形结合的思想及转化的思想，根据题意选择合适的函数模型来研究几何问题是一种常见的思路．
22、设平面上P、Q两点的坐标分别是（），（），其中
（1）求|PQ|的表达式；
（2）记f（x）=|PQ|2﹣4λ|PQ|，求函数f（x）的最小值．21世纪教育网版权所有
考点：三角函数的最值；两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：（1）由两点之间的距离公式可得|PQ|的表达式．21世纪教育网版权所有
（2）由（1）可得：f（x）=4cos2x﹣4λ?2cosx=4cos2x﹣8λcosx，∵∴0≤cosx≤1，再根据二次函数的有关性质得到函数的最小值．
解答：解：（1）由两点之间的距离公式可得：
．
（2）由（1）可得：
f（x）=4cos2x﹣4λ?2cosx=4cos2x﹣8λcosx，
∵∴0≤cosx≤1，
∴当λ≤0时，f（x）min=4×02﹣8λ×0=0
当0＜λ＜1时，f（x）min=4×λ2﹣8λ×λ=﹣4λ2
当λ≥1时，f（x）min=4×1﹣8λ=4﹣8λ
∴．
点评：本题主要考查两点之间的距离公式与两角和的余弦公式，以及二次函数在定区间上求最值的知识点．
23、（1）求经过直线l1：x+y﹣1=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且与直线2x+y+5=0平行的直线l的方程；
（2）已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线l上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标．
24、线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（1）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（2）试求y的取值范围．21世纪教育网版权所有
考点：两点间距离公式的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：（1）先看A，B，C不共线时，根据三角形中线的性质可求得2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2，进而利用两点间的距离公式代入等式中求得x和y的关系式，再看A，B，C三点共线时，|AB|+|AC|=6＞|BC|推断出A在线段BC外侧，利用|6﹣x﹣x|=4求得x的值，代入2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2也符合，最后综合可得函数f（x）的解析式，利用根号大于等于0的性质求得x的范围即函数的定义域．
（2）把（1）函数的解析式，利用二次函数的性质和函数的定义求得y的最大和最小值．
解答：解：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|2+|AM|2）=?；
当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4?A在线段BC外侧，
由|6﹣x﹣x|=4?x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，
同时也满足：2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2．当A、B、C不共线时，||AB|﹣|AC||＜|BC|=4定义域为[1，5]．
（2）由且x∈[1，5]，
∴当x=3时，．当x=1或5时，．
∴y的取值范围为[，3]．
点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用，函数思想的运用，二次函数的性质以及分类讨论的思想的运用．综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．
25、实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，
求（1）的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值；
（3）的最大值和最小值．
考点：两点间距离公式的应用；三角函数的最值；斜率的计算公式。
专题：数形结合。
分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大．
（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，
一个最大，另一个最小．
（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，
最小值是|CB|减去半径2．
解答：解：x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，
表示一个以C（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：
（1）表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，21世纪教育网版权所有
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y﹣0=k（x﹣4），
即 kx﹣y﹣4k=0，由 2=，k=0 或﹣20，21世纪教育网版权所有
结合图形知，的最大值为0，最小值为﹣20．
（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，21世纪教育网版权所有
当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=，∴t=±2，
故 2x+y的最大值为 2，最小值为﹣2．
（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，
圆心C（﹣1，2）到点B（1，0）的长度是 2，
∴的最大值2+2，最小值为 2﹣2．
点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
26、△ABC的顶点为A（3，1），B（x，﹣1），C（2，y），重心G（，1）．求：
（1）AB边上的中线长；
（2）AB边上的高的长．
考点：两点间距离公式的应用。
专题：计算题。
分析：（1）根据题意可求得B，c的坐标，进而求得AB中点坐标，求得进而求得AB边的中线长．
（2）根据，A，B，C坐标分别求得和，进而可找到与垂直的一个向量b，进而求得在向量b方向上的投影，则AB边上的高可求．21世纪教育网版权所有
解答：解：由题意可得解得
∴B（0，﹣1），C（2，3）．
（1）∵AB的中点为，∴，
∴AB边的中线长；
（2）∵，，
∴可找到与垂直的一个向量b=（﹣2，3）．21世纪教育网版权所有
∴在向量b方向上的投影为．
∴AB边上的高的长为．
点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了考生对基础的综合运用和整体把握．
27、求函数的最小值．
点评：考查学生会利用两点间的距离公式求值，会利用对称得到距离之和最小．学生做题时注意数形结合解决问题．
28、已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．
考点：两点间距离公式的应用。
专题：应用题；转化思想；综合法。21世纪教育网版权所有
分析：先设出点P的坐标，设P（2t，t），由两点间距离公式表示出|PA|2+|PB|2的关于参数t的表达式，再利用函数的相关知识求解出函数的最小值，即得出|PA|2+|PB|2取得最小值与坐标．
解答：解：设P（2t，t），
则|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10
当时，|PA|2+|PB|2取得最小值，此时有
|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为
点评：本题考点是两点间距离公式，考查用两点间距离公式建立起相关量的函数关系，转化为求函数的最值，转化思想是数学中的重要思想，由未知向已知转化是解决问题的一个实用的技巧．
29、已知点，在x轴上找一点使得|PA|=|PB|，并求出|PA|的值．
