恒过定点的直线
一、选择题（共14小题）
1、经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（ ）
A、x﹣y+3=0 B、x﹣y﹣3=0
C、x+y﹣1=0 D、x+y+3=021世纪教育网版权所有
2、过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（ ）
A、y=﹣2 B、y=2，x=521世纪教育网版权所有
C、x=5 D、y=﹣2，x=5
3、已知直线（a﹣1）x+y=1过定点A，直线x+（b﹣1）y=1过定点B，则直线AB的方程为（ ）
A、x﹣y=1 B、x+y=1
C、x﹣y=a+b D、x+y=a+b
4、无论m为何实数值，直线y+1=m（x﹣2）总过一个定点，该定点坐标为（ ）
A、（1，﹣2） B、（﹣1，2）21世纪教育网版权所有
C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣1）
5、直线（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0必过定点（ ）
A、（﹣1，﹣1） B、（1，1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，1）
6、已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（ ）
A、λ≥3或λ≤﹣16 B、或λ≤﹣4
C、﹣16≤λ≤3 D、3≤λ≤16
7、下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（x﹣x1） =（y2﹣y1）（y﹣y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
8、方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0所确定的直线必经过点（ ）
A、（2，2） B、（﹣2，2）
C、（﹣6，2） D、（）
9、若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（ ）
A、（0，4） B、（0，2）
C、（﹣2，4） D、（4，﹣2）21世纪教育网版权所有
10、不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（ ）
A、（0，0） B、（2，3）
C、（3，2） D、（﹣2，3）
11、当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（ ）
A、y2=﹣x或x2=y B、y2=x或x2=y
C、y2=x或x2=﹣y D、y2=﹣x或x2=﹣y
12、已知圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为（ ）
A、2x﹣y+1=0 B、2x﹣y﹣1=0
C、2x+y+1=0 D、2x+y﹣1=0
13、当k取不同实数时，方程kx+y+3k+1=0表示的几何图形具有的特征是（ ）
A、都经过第一象限
B、组成一个封闭的圆形
C、表示直角坐标平面内的所有直线
D、相交于一点
14、已知点A、B在抛物线，则直线AB恒过（ ）
A、（2，0） B、（0，2）
C、 D、（）21世纪教育网版权所有
二、填空题（共7小题）
15、经过点A（1，﹣4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为 _________ ．
16、若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k的取值范围是 _________
17、方程（a﹣1）x﹣y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点的坐标为 _________ ．
18、无论实数m取何值，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣4m+1=0都过定点 _________ ．
19、已知过点的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则距离AB最小值为 _________ ．
20、如果对任何实数k，直线（3+k）x﹣2y+1﹣k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 _________ ．
21、无论m取何值，直线（3+2m）x+（2﹣m）y﹣5﹣m=0恒过定点 _________ ．
三、解答题（共9小题）
22、过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．21世纪教育网版权所有
23、直线和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．21世纪教育网版权所有
24、已知直线y=kx+3k+1．
（1）求直线恒经过的定点；
（2）当﹣3≤x≤3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
25、已知直线l：（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围；③若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B．△AOB的面积为S且﹣2≤a≤﹣1，求S的最小值并求此时直线l的方程．
26、求证：不论a取何值，直线（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0必过一定点．
27、已知实数a满足0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y﹣2a+4=0和l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形．
（1）求证：无论实数a如何变化，直线l1、l2必过定点．
（2）画出直线l1和l2在平面坐标系上的大致位置．
（3）求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小？21世纪教育网版权所有
28、已知直线l：ax+（1﹣2a）y+1﹣a=0．
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求a的值；
（2）当直线l不通过第一象限时，求a的取值范围．
29、（1）对于任意的m∈R，动直线l：（m+3）x﹣（m+2）y+m=0恒过一定点，求该定点坐标．
（2）两定直线ON、OM夹角θ=45°，且与动直线l分别交于点A、B，A、B在OM、ON上的射影分别为P、Q，如果直线AB过一定点，求证直线PQ也过一定点．
30、已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．21世纪教育网
（1）证明：直线恒过定点M；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共14小题）
1、经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（ ）
A、x﹣y+3=0 B、x﹣y﹣3=0
C、x+y﹣1=0 D、x+y+3=0
考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：由题意先求出圆心C的坐标，再代入点斜式方程，再化为一般式方程．
解答：解：由题意知，直线过点（﹣1，2），斜率为1，代入点斜式得，y﹣2=x+1，
即直线方程为x﹣y+3=0．21世纪教育网
故选A．
点评：本题重点考查了直线的点斜式方程，最后要化为一般式方程，这是容易忽视的地方．
2、过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（ ）
A、y=﹣2 B、y=2，x=521世纪教育网
C、x=5 D、y=﹣2，x=5
考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：直线l的斜率存在时，利用夹角公式求出k，再用点斜式方程求出直线方程，斜率不存在时验证即可．
解答：解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45°=，得k=0，所求l的直线方程为y=﹣2．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线x﹣y+5=0相交成45°角．
故选D．
点评：本题考查直线的一般式方程，是基础题．21世纪教育网
3、已知直线（a﹣1）x+y=1过定点A，直线x+（b﹣1）y=1过定点B，则直线AB的方程为（ ）
A、x﹣y=1 B、x+y=1
C、x﹣y=a+b D、x+y=a+b
考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：第一条直线令x=0求出y=1，所以A（0，1）；令第二条直线y=0，得到x=1，所以B（1，0），写出直线AB的解析式即可．
解答：解：因为直线（a﹣1）x+y=1过定点A，所以令x=0，得y=1，所以A（0，1）；
直线x+（b﹣1）y=1过定点B，所以令y=0，得x=1，所以B（1，0）．
所以直线AB的解析式为：y﹣0=（x﹣1）化简得：x+y=1
故选B
点评：考查学生会求直线定点的坐标，能根据两点坐标写出直线的一般式方程．
4、无论m为何实数值，直线y+1=m（x﹣2）总过一个定点，该定点坐标为（ ）
A、（1，﹣2） B、（﹣1，2）
C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣1）
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：令y+1=0，并且x﹣2=0时，此方程与m无关，进而求出定点的坐标．
解答：解：由题意可得：令y+1=0，并且x﹣2=0时，此方程与m无关，
所以x=2，y=﹣1时与m无关，
所以定点坐标为（2，﹣1）．
故选D．
点评：本题主要考查恒成立问题，令m的系数与常数项都等于0即可得到答案．
5、直线（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0必过定点（ ）
A、（﹣1，﹣1） B、（1，1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，1）21世纪教育网
6、已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（ ）
A、λ≥3或λ≤﹣16 B、或λ≤﹣4
C、﹣16≤λ≤3 D、3≤λ≤16
考点：恒过定点的直线；直线的斜率。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：求出直线λx﹣4y+4﹣λ=0中，过的定点，然后求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围．
解答：解：直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0经过M（1，1）定点，所以，，
所以直线：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，
它的斜率≥，或，解得λ≥3或λ≤﹣16．
故选A．
点评：此题考查学生掌握两直线交点的意义，直线的斜率的范围是解得本题的关键．考查计算能力．
7、下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（x﹣x1）=（y2﹣y1）（y﹣y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：恒过定点的直线；直线的点斜式方程；直线的截距式方程。21cnjy
分析：逐一分析答案，通过举反例、排除、筛选，找出正确答案．
解答：解：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，
对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线．
只有②正确；
故选B．
点评：本题考查直线方程的几种形式．
8、方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0所确定的直线必经过点（ ）21cnjy
A、（2，2） B、（﹣2，2）
C、（﹣6，2） D、（）
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：直线过定点，直线是直线系，按k集项；解方程组，求得得交点坐标即定点的坐标．
解答：解：方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0，化为（x﹣2y+2）+k（4x+3y﹣14）=0
解得
故选A．
点评：本题考查过定点的直线系方程，是基础题．
9、若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（ ）
A、（0，4） B、（0，2）
C、（﹣2，4） D、（4，﹣2）
考点：恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程。21世纪教育网
专题：常规题型。
分析：先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．
解答：解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），
又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．
故选B21世纪教育网
点评：本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点
一定在直线l2上．21世纪教育网
10、不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（ ）
A、（0，0） B、（2，3）
C、（3，2） D、（﹣2，3）
11、当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（ ）21cnjy
A、y2=﹣x或x2=y B、y2=x或x2=y
C、y2=x或x2=﹣y D、y2=﹣x或x2=﹣y
考点：恒过定点的直线。
分析：直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．
解答：解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）=0，
对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y2=﹣2px和x2=2py
当y2=﹣2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y2=﹣x；
当x2=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x2=y．21cnjy
则过点P的抛物线的标准方程是：y2=﹣x 和x2=y．
故选A．
点评：本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆．
12、已知圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为（ ）
A、2x﹣y+1=0 B、2x﹣y﹣1=021cnjy
C、2x+y+1=0 D、2x+y﹣1=0
考点：恒过定点的直线。
分析：求出圆的圆心坐标，验证选项即可．
解答：解：因为圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，﹣3），代入选项可知C正确．
故选C．
点评：本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．
13、当k取不同实数时，方程kx+y+3k+1=0表示的几何图形具有的特征是（ ）
A、都经过第一象限 B、组成一个封闭的圆形
C、表示直角坐标平面内的所有直线 D、相交于一点21cnjy
考点：恒过定点的直线。
专题：转化思想。
分析：把含k的项放在一起，提取k，令k的系数为0，x=﹣3，此时，y=﹣1，方程中所有直线皆过（﹣3，﹣1）．
解答：解：∵kx+y+3k+1=0，∴k（x+3）+y+1=0，
此方程表示过直线两条y+1=0，x+3=0交点的直线束，即过点（﹣3，﹣1）．
故选D．
点评：此题考查了直线过定点的知识，注意过定点时和参数无关，把含有参数项放一起提取参数，令其系数为0．考查学生的基本能力，属基础题．
14、已知点A、B在抛物线，则直线AB恒过（ ）21cnjy
A、（2，0） B、（0，2）
C、 D、（）
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：设出直线AB的方程为y=kx+b，再设出点A和B的坐标，根据?=0，根据平面向量的数量积的运算法则得到一个关于横坐标之积和纵坐标之积和的关系式，把A和B的坐标代入抛物线后，两式相乘得到两点纵坐标之积，将之积代入化简得到的关系中求出两点横坐标之积，然后联立直线AB与抛物线解析式，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两横坐标之积，两者相等列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，由直线AB恒过（0，b），把b的值代入即可确定出点的坐标．
解答：解：设直线AB的方程为：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
根据?=0，得到x1x2+y1y2=0，
将A和B代入抛物线方程得：y1=2x12，y2=2x22，则y1y2=4（x1x2）2，
代入得：x1x2（4x1x2+1）=0，
由x1x2≠0，解得x1x2=﹣，
联立直线AB与抛物线方程得：，
消去y得：2x2﹣kx﹣b=0，
当△=k2+8b≥0时，x1x2=﹣，
所以﹣=﹣，解得b=，
则直线AB的方程为y=kx+，恒过（0，）．
故选D
点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，直线与双曲线的综合，以及韦达定理．熟练掌握平面向量的数量积运算法则及韦达定理是解本题的关键．
二、填空题（共7小题）21cnjy
15、经过点A（1，﹣4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为 2x+3y+10=0 ．
16、若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜1
考点：两条直线的交点坐标；函数的图象；恒过定点的直线。
专题：数形结合。
分析：在同一个坐标系中画出这2个函数的图象，联系图象知，﹣1＜斜率k＜1．
解答：解：y=|x|是第一、二象限角的平分线，直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程，由图象易知﹣1＜k＜1．
点评：本题考查函数图象、函数过定点，两条直线的交点问题，体现了数形结合的数学思想．
17、方程（a﹣1）x﹣y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点的坐标为 （﹣2，3） ．
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：方程即 a（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0，由解得定点坐标．
解答：解：方程（a﹣1）x﹣y+2a+1=0（a∈R） 即 a（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0，
由解得定点坐标为（﹣2，3），21*cnjy*com
故答案为 （﹣2，3）．
点评：本题考查直线过定点问题，利用a（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0 经过x+2=0和+（﹣x﹣y+1=0的交点．
18、无论实数m取何值，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣4m+1=0都过定点 （1，3） ．
考点：恒过定点的直线。21*cnjy*com
专题：探究型。
分析：将直线的方程（m+2）x+（m﹣1）y﹣4m+1=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
解答：解：直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣4m+1=0可为变为m（x+y﹣4）+（2x﹣y+1）=021*cnjy*com
令，解得
故无论m为何实数，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣4m+1=0恒通过一个定点（1，3）
故答案为（1，3）
点评：本题主要考查恒过定点的直线的恒成立问题，令m的系数与常数项都等于0即可得到答案．
19、已知过点的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则距离AB最小值为 ．
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：把AB 分成AP+PB，设∠ABO=α，用α的正弦、余弦表示AB，把AB看成函数，则函数的导数等于0时，AB取最小值，求出α的值，即得AB取最小值
解答：解：如图：过点P作2个坐标轴的垂线21*cnjy*com
设∠ABO=α，AB=AP+PB=+，
AB的导数 （AB）′=+，
当（AB）′=0时，AB最小．
（AB）′=0，即=﹣，tanα=，α=60°，
∴AB最小为+=8．
点评：本题考查直线过定点问题，把AB看成函数，利用导数求函数最值．
20、如果对任何实数k，直线（3+k）x﹣2y+1﹣k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 （1，2） ．
21、无论m取何值，直线（3+2m）x+（2﹣m）y﹣5﹣m=0恒过定点 （1，1） ．
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：将直线的方程（3+2m）x+（2﹣m）y﹣5﹣m=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
解答：解：直线（3+2m）x+（2﹣m）y﹣5﹣m=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（3x+2y﹣5）=0
令，解得21*cnjy*com
故无论m为何实数，直线（3+2m）x+（2﹣m）y﹣5﹣m=0恒通过一个定点（1，1）
故答案为（1，1）．
点评：本题主要考查恒过定点的直线的恒成立问题，令m的系数与常数项都等于0即可得到答案．
三、解答题（共9小题）21*cnjy*com
22、过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．
考点：直线的斜率；恒过定点的直线。
专题：证明题。
分析：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1?k2为定值
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．
解答：解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，
则切线的方程为y+1=k（x﹣a），
与方程y=x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1=0．
因为直线与抛物线相切，所以△=k2﹣4（ak+1）=0，
即k2﹣4ak﹣4=0．由题意知，此方程两根为k1，k2，
∴k1k2=﹣4（定值）．（5分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x．
所以在P点处的切线斜率为：，
因此，切线方程为：y﹣y1=2x1（x﹣x1）．
由y1=x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1=0．
同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0．
因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1=0，2x2a﹣y2+1=0．21cnjy
∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1=0．
当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）
点评：本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．21cnjy
23、直线和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．21cnjy
24、已知直线y=kx+3k+1．
（1）求直线恒经过的定点；
（2）当﹣3≤x≤3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
考点：恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：（1）由直线y=k（x+3）+1，易知此直线经过x+3=0 和 y﹣1=0 的交点（﹣3，1）．
（2）由于当﹣3≤x≤3时，直线上的点都在x轴上方，一次函数是单调函数，故区间端点对应的函数值大于0，
解不等式组求得实数k的取值范围．
解答：解：（1）由y=k（x+3）+1，易知x=﹣3时，y=1，所以直线恒经过的定点（﹣3，1）．
（2）由题意得，解得．
点评：本题考查直线过定点问题，在某区间上，直线上的点都在x轴上方的条件．考查计算能力．
25、已知直线l：（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围；③若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B．△AOB的面积为S且﹣2≤a≤﹣1，求S的最小值并求此时直线l的方程．
考点：恒过定点的直线；确定直线位置的几何要素。21cnjy
专题：计算题。
分析：①由于（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0对任意实数a恒过直线3x﹣y=0与x﹣2y+1=0的交点即可得出结论；
②先对a进行分类讨论：当a=2时，直线为，不过第二象限；当a≠2时，a≥2时直线不过第二象限．从而得到结果；
③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距，再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式，最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程．21cnjy
解答：解：①∵（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0对任意实数a恒过直线3x﹣y=0与x﹣2y+1=0的交点．
∴直线系恒过第一象限内的定点．21cnjy
②当a=2时，直线为，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为
不过第二象限的充要条件为
∴a≥2时直线不过第二象限．
③令x=0得
令y=0得∴
∵S在a∈[﹣2，﹣1]↗∴当a=﹣2时
此时l：7x﹣4y+1=0
点评：本小题主要考查直线的方程、确定直线位置的几何要素、恒过定点的直线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
26、求证：不论a取何值，直线（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0必过一定点．
考点：恒过定点的直线。
专题：证明题。
分析：要求直线过定点的问题，我们可将已知直线的方程（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0化为关于a的一次方程的形式，然后根据方程等0恒成立，则所有系数均为0，求出定点值．
解答：证明：直线（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0的方程可以转化为：
（x﹣2y）a+（x﹣5y﹣6）=0
若直线（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0必过一定点，
则
解得：x=﹣4，y=﹣2
即不论a取何值，直线（a+1）x﹣（2a+5）y﹣6=0必过一定点（﹣4，﹣2）
点评：直线过定点问题的证明与求解，是直线方程中重要的考点，其处理方法为：将直线方程转化成一个关于参数的一元一次方程，然后根据多项式的性质，多项式的值恒为零，则所有项的系数均为0，构造方程（组），解方程（组），即可得到答案．
27、已知实数a满足0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y﹣2a+4=0和l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形．
（1）求证：无论实数a如何变化，直线l1、l2必过定点．
（2）画出直线l1和l2在平面坐标系上的大致位置．21cnjy
（3）求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小？
解答：证明：（1）由l1：ax﹣2y﹣2a+4=0变形得21cnjy
a（x﹣2）﹣2y+4=0
所以，当x=2时，y=2
即直l1过定点（2，2）
由l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0变形得a2（y﹣2）+2x﹣4=0
所以当y=2时，x=2
即直线l2过定点（2，2）
（2）如图：
（3）直线l1与y轴交点为A（0，2﹣a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图
由直线l1：ax﹣2y﹣2a+4=0知，直线l1也过定点C（2，2）
过C点作x轴垂线，垂足为D，于是
S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD
=
=a2﹣a+4
∴当a=时，S四过形AOBC最小．
故当a=时，所围成的四边形面积最小．
点评：本题考查过顶点的直线和四边形的面积的最值，本题解题的关键是表示出面积，在立体几何和解析几何中，不论求什么图形的面积一般都要表示出结果，再用函数的最值来求．
28、已知直线l：ax+（1﹣2a）y+1﹣a=0．
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求a的值；21cnjy
（2）当直线l不通过第一象限时，求a的取值范围．
考点：恒过定点的直线；直线的斜截式方程；直线的截距式方程。21cnjy
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）通过直线l在两坐标轴上的截距相等，求出直线在坐标轴上的截距利用相等，求出a的值．
（2）求出直线的斜率，直线在y轴上的截距小于0，即可求出a的范围．
解答：解：（1）由条件知，，在直线l的方程中，21cnjy
令y=0得，令x=0得
∴=，解得．…（5分）
（2）（i）当时，直线l的方程为：．即x=﹣1，此时l不通过第一象限；
同理，当a=0时，l也不通过第一象限．…（9分）
（ii）当时，直线l的方程为：．
l不通过第一象限，即，解得…（13分）
综上所述，当直线l不通过第一象限时，a的取值范围为．…（14分）
点评：本题考查直线的截距与直线的斜率知识的应用，考查计算能力，转化思想．
29、（1）对于任意的m∈R，动直线l：（m+3）x﹣（m+2）y+m=0恒过一定点，求该定点坐标．
（2）两定直线ON、OM夹角θ=45°，且与动直线l分别交于点A、B，A、B在OM、ON上的射影分别为P、Q，如果直线AB过一定点，求证直线PQ也过一定点．
点评：本题是中档题，考查直线系过定点问题，注意m，n的任意性方程成立条件的应用，考查解析法证明问题的基本方法，考查计算能力．
30、已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
