答案与评分标准
一、选择题（共4小题）
1、方程x2﹣y2=0表示的图形是（ ）
A、两条相交直线 B、两条平行直线
C、两条重合直线 D、一个点
考点：过两条直线交点的直线系方程。
分析：化简方程得到y=±x，可以判断图形．
解答：解：由方程x2﹣y2=0，可得y=±x，其图形是两条相交的直线．
故选A．
点评：本题关键是化简，是基础题目．
2、直线y=k（x﹣2）+3必过定点，该定点的坐标为（ ）
A、（3，2） B、（2，3）
C、（2，﹣3） D、（﹣2，3）
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题。
分析：先把直线的方程变形为 k（x﹣2）+3﹣y=0的形式，由得定点的坐标．
解答：解：直线方程即 k（x﹣2）+3﹣y=0，由得 x=2且 y=3，故定点的坐标为（2，3），
故选 B．
点评：本题考查直线过定点问题，把直线的方程变形为一个参数乘以一个因式，加上另一个因式等于0的形式，令这两个因式都等于0，求得定点的坐标．
3、三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、0 D、1
考点：过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：先求4x+3y=10，2x﹣y=10的交点，代入直线ax+2y+8=0，即可得到a的值．
解答：解：解方程组
4x+3y=10，
2x﹣y=10，
得交点坐标为（4，﹣2），
代入ax+2y+8=0，得a=﹣1．
故选B
点评：本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查计算能力．
4、直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A、（0，0） B、（0，1）
C、（3，1） D、（2，1）
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题。
分析：将直线的方程变形为k（x﹣3）=y﹣1 对于任何k∈R都成立，从而有，解出定点的坐标．
解答：解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1
对于任何k∈R都成立，则，
解得 x=3，y=1，
故直线经过定点（3，1），故选 C．
点评：本题考查直线过定点问题，把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上另一个因式等于0的形式恒成立，故这两个因式都等于0．
二、填空题（共6小题）
5、直线l经过直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0，则直线l的点法向式方程为 y+1=3（x+1） ．
6、已知无论k为何实数，直线（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）=0恒通过一个定点，则这个定点是 （2，3） ．
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题。
分析：将直线的方程（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
解答：解：直线（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）=0可为变为k（2x﹣y﹣1）+（x+2y﹣8）=0
令，解得
故无论k为何实数，直线（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）=0恒通过一个定点（2，3）
故答案为（2，3）
点评：本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，解题的方法是将直线系方程变为kl1+l2=0，的、然后解方程组，求出直线系kl1+l2=0过的定点．直线系过定点的这一直线用途广泛，经常出现在直线与圆锥曲线，直线与圆等的综合题型中．
7、设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；
（3）对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是 （2），（3） ．
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题。
分析：先弄清直线系M中直线的特征，直线系M表示圆 x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，再判断各个结论的正确性．
解答：解：由 直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令，
消去θ可得 x2+（y﹣2）2=1，故 直线系M表示圆 x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，
故（1）不正确．
因为对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任意一条上，故（2）正确．
由于圆 x2+（y﹣2）2=1 的外且正n 边形，所有的边都在直线系M中，故（3）正确．
M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中等边三角形ABC和 ADE面积不相等，
故（4）不正确．
综上，正确的命题是 （2）、（3），故答案为 （2）、（3）．
点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．
8、已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为 ．
考点：过两条直线交点的直线系方程；方程组解的个数与两直线的位置关系。
专题：数形结合；转化思想。
分析：先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k 值．
解答：解：如图所示：
直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0即 k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），
与y 轴的交点C（0，4﹣k），
直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x﹣4+k2（y﹣4）=0，
过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），
由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为
×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，
故答案为．
点评：本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想．
9、经过两直线11x+3y﹣7=0和12x+y﹣19=0的交点，且与A（3，﹣2），B（﹣1，6）等距离的直线的方程是 7x+y﹣9=0或2x+y+1=0 ．
10、若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是 a≤﹣2或a≥1 ．
考点：过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），求出KPA与KPB，判断过P点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．
解答：解：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），
如下图示：
∵KPA=2，KPB=﹣1，
则实数a的取值范围是：a≤﹣2或a≥1．
故答案为：a≤﹣2或a≥1．
点评：求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：
当AB，在P竖直方向上的同侧时，（如本题）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈[KPA，KPB]
当AB，在P竖直方向上的异侧时，（如下图）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈（﹣∞，KPA]∪[KPB，+∞）
就是过p点的垂直x轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间．
三、解答题（共6小题）
11、设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
考点：直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程。
专题：待定系数法。
分析：（1） 先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．
（2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得，解不等式组求得a的范围．
解答：解：（1）令x=0，得y=a﹣2． 令y=0，得（a≠﹣1）．
∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，
∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
点评：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．
12、求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
13、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题；转化思想；综合法。
分析：把P代入两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0，求出过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）的斜率，再求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．
解答：解：∵P（2，3）在已知直线上，
2a1+3b1+1=0，
2a2+3b2+1=0．
∴2（a1﹣a2）+3（b1﹣b2）=0，即=﹣．
∴所求直线方程为y﹣b1=﹣（x﹣a1）．
∴2x+3y﹣（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0．
点评：本题考查过直线交点的直线系方程，直线的点斜式方程，是基础题．
14、已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．
（1）证明l经过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围．
考点：过两条直线交点的直线系方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：（1）由kx﹣y+1+2k=0，得y﹣1=k（x+2），显然过定点（﹣2，1）．
（2）先求出A和B 的坐标，代入三角形的面积公式进行化简，再利用基本不等式求出三角形面积的最小值，以及面积最小时直线的斜率，从而得到直线l的方程．
（3）由直线过定点（﹣2，1），可得，当斜率 k≥0时，直线不经过第四象限．
解答：解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，得y﹣1=k（x+2），
所以，直线l经过定点（﹣2，1）．
（2）由题意得A（，0），B（2k+1，0），＜k＜0，
△AOB的面积为S=××（2k+1）==2k+2+≥4，
当且仅当 k=时等号成立，此时面积取最小值4，
k=，直线的方程是：x﹣2y+4=0．
（3）由直线过定点（﹣2，1），可得当斜率 k＞0 或k=0时，直线不经过第四象限．
故k的取值范围为[0，+∞）．
点评：本题考查直线过定点问题，基本不等式的应用，求直线方程的方法，属于基础题．
15、求过直线x+y+1=0 与 2x+3y﹣4=0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
考点：过两条直线交点的直线系方程。
专题：计算题。
分析：设出所求的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）=0，由它的斜率为=﹣2，求出λ 的值，即得所求的直线方程．
解答：解：设过直线x+y+1=0 与 2x+3y﹣4=0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）=0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ=0，它的斜率为=﹣2，
解得 λ=﹣，
∴所求的直线方程为 2x+y+8=0．
点评：本题主要考查经过两直线交点的直线系方程，得到所求直线的斜率为=﹣2，是解题的关键，属于中档题．
16、已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
∴S△AOB=|﹣2﹣||2k+1|
=（2+）（2k+1）=（4k++4）
≥（4+4）=4．
当且仅当4k=，即k=时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为
x﹣y+1+1=0．
即x﹣2y+4=0
点评：本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．
仅限于学习使用，不得用于任何商业用途
过两条直线交点的直线系方程
一、选择题（共4小题）
1、方程x2﹣y2=0表示的图形是（ ）
A、两条相交直线 B、两条平行直线
C、两条重合直线 D、一个点
2、直线y=k（x﹣2）+3必过定点，该定点的坐标为（ ）
A、（3，2） B、（2，3）
C、（2，﹣3） D、（﹣2，3）
3、三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、0 D、1
4、直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A、（0，0） B、（0，1）
C、（3，1） D、（2，1）
二、填空题（共6小题）
5、直线l经过直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0，则直线l的点法向式方程为 _________ ．
6、已知无论k为何实数，直线（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）=0恒通过一个定点，则这个定点是 _________ ．
7、设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；
（3）对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是 _________ ．
8、已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为 _________ ．
9、经过两直线11x+3y﹣7=0和12x+y﹣19=0的交点，且与A（3，﹣2），B（﹣1，6）等距离的直线的方程是 _________ ．
10、若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共6小题）
11、设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
12、求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
13、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．
14、已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．
（1）证明l经过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围．
15、求过直线x+y+1=0 与 2x+3y﹣4=0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
16、已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
