两条直线的交点坐标
一、选择题（共18小题）
1、设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B=（ ）
A、{1，2} B、{（1，2）}
C、{x=1，y=2} D、（1，2）
2、已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=﹣2}，那么集合M∩N为（ ）21*cnjy*com
A、x=0，y=2 B、（0，2）
C、{0，2} D、{（0，2）}
3、已知直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，与函数y=5x的交点分别为C、D，则直线AB与CD（ ）
A、平行 B、相交，且交点在第三象限
C、相交，且交点在第四象限 D、相交，且交点在原点
4、若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（ ）
A、 B、
C、 D、
5、过两条直线2x﹣3y﹣1=0和3x﹣2y﹣2=0的交点，且与直线3x+y=0平行的直线方程是（ ）21*cnjy*com
A、15x﹣5y﹣13=0 B、15x+5y﹣13=0
C、15x+5y+13=0 D、15x﹣5y+13=0
6、若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（ ）
A、2x﹣3y+1=0 B、3x﹣2y+1=0
C、2x﹣3y﹣1=0 D、3x﹣2y﹣1=0
7、已知直线l过直线2x+y﹣5=0和直线x+2y﹣4=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A、x﹣y﹣1=0 B、x+y﹣3=0或x﹣2y=0
C、x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0 D、x+y﹣3=0或x﹣y﹣1=021*cnjy*com
8、方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形面积为（ ）
A、2 B、21*cnjy*com
C、1 D、4
9、过直线3x+y﹣1=0与x+2y﹣7=0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A、x﹣3y+7=0 B、x﹣3y+13=0
C、2x﹣y+7=0 D、3x﹣y﹣5=0
10、若直线l与直线x﹣3y+10=0交于点M，与直线2x+y﹣8=0交于点N，MN的中点为P（0，1），则直线l的方程是（ ）
A、x+4y+4=0 B、x+4y﹣4=0
C、x﹣4y+4=0 D、x﹣4y﹣4=0
11、y=﹣k|x﹣a|+b的图象与y=k|x﹣c|+d的图象（k＞0且k≠）交于两点（2，5），（8，3），则a+c的值是（ ）
A、7 B、8
C、10 D、13
12、已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N等于（ ）
A、x=1，y=0 B、（1，0）
C、{（1，0）} D、{1，0}
13、在平面直角坐标系中，若点（﹣2，t）在直线x﹣2y+4=0的上方，则t的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，+∞）
C、（﹣1，+∞） D、（0，1）
14、已知直线l1，l2的方程分别为x+ay+b=0，x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（ ）21*cnjy*com
A、ac＜0 B、a＜c
C、bd＜0 D、b＞d
15、已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（ ）
A、[﹣3，5] B、[﹣5，3]
C、[3，5] D、[﹣5，﹣3]
16、直线y=2x+10，y=x+1，y=ax﹣2交于一点，则a的值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
17、当0＜k＜时，直线l1：kx﹣y=k﹣1与直线l2：ky﹣x=2k的交点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
18、如图，定圆半径为a、圆心为（b，c），则直线ax+by+c=0与直线x﹣y+1=0的交点在（ ）
A、第四象限 B、第三象限21*cnjy*com
C、第二象限 D、第一象限
二、填空题（共4小题）
19、已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣2y=﹣4}，则A∩B= _________ ．
20、现有下面四个命题：
①曲线y=﹣x2+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，则α∥β；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，
则f（x+1）一定是奇函数；
④如果点P到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个．
其中正确命题的序号是 _________ ．（写出所有正确命题的序号）
21、已知0＜k＜4，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值是 _________ ．
22、经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，并且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程的一般式为 _________ ．
三、解答题（共8小题）
23、设A={（x，y）|3x+2y=1}，B={（x，y）|x﹣y=2}，C={（x，y）|2x﹣2y=3}，D={（x，y）|6x+4y=2}．
求A∩B、B∩C、A∩D．
24、已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．21*cnjy*com
（1）求直线l1∩l2=?的概率；
（2）求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．
25、已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，
（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；
（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
26、已知△ABC三边的方程为：AB：3x﹣2y+6=0，AC：2x+3y﹣22=0，BC：3x+4y﹣m=0．21*cnjy*com
（1）判断三角形的形状；
（2）当BC边上的高为1时，求m的值．
27、已知△ABC中，顶点A（ 1，1 ）、B（ 4，2 ），顶点C在直线x﹣y+5=0上，又BC边上的高所在的直线方程为5x﹣2y﹣3=0，
（1）求顶点C的坐标；
（2）△ABC是否为直角三角形？
28、已知点A（1，1），B（﹣1﹣3），直线l：x﹣2y+2=0．21*cnjy*com
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若一圆经过点A，B，且圆心在直线l上，求此圆的标准方程．
29、如图，△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，2），点B关于y=0的对称点在AC边上，且BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0．
（1）求AC边所在直线的议程；
（2）求点C的坐标．
30、已知一条直线经过两条直线l1：2x﹣3y﹣4=0和l2：x+3y﹣11=0的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程．21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题（共18小题）
1、设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B=（ ）
A、{1，2} B、{（1，2）}
C、{x=1，y=2} D、（1，2）
考点：交集及其运算；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：要求A∩B，即求方程组的解．
解答：解：A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（1，2）}．
故选B．
点评：本题考查集合的运算，注意本题集合是点集．
2、已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=﹣2}，那么集合M∩N为（ ）
A、x=0，y=2 B、（0，2）
C、{0，2} D、{（0，2）}
考点：交集及其运算；两条直线的交点坐标。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由已知中集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=﹣2}，表示两条相交直线上的点组成的点集，故集合M∩N即为只含两条直线交点一个元素的点集，联立方程求出交点坐标，即可得到答案．
解答：解：∵集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=﹣2}，21*cnjy*com
∴M∩N={（x，y）|}={（0，2）}21*cnjy*com
故选D
点评：本题考查的知识点是交集及其运算，两条件直线的交点坐标，集合的表示方法，其中正确理解点集的表示方法，是解答本题的关键
3、已知直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，与函数y=5x的交点分别为C、D，则直线AB与CD（ ）
A、平行 B、相交，且交点在第三象限
C、相交，且交点在第四象限 D、相交，且交点在原点
考点：指数函数的图像与性质；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：由题设条件，先求出四个点A，B，C，D的坐标，然后分别求出直线AB和CD的方程，由此能判断出直线AB和CD的位置关系．
解答：解：∵直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，
与函数y=5x的交点分别为C、D，
∴A（log32，2），B（log34），直线AB：，即y=2log23x．
C（log52，2），D（log54，4），直线CD：，即y=log25x，
∴直线AB与CD相交，且交点在原点．
故选D．
点评：本题考查指数函数的图象和性质，解题时要认真审题，注意直线方程的灵活运用．
4、（2002?北京）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．
解答：解：联立两直线方程得：，
将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，
所以两直线的交点坐标为（，），
因为两直线的交点在第一象限，所以得到，
由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，
设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．
故选B．21*cnjy*com
点评：此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．
5、过两条直线2x﹣3y﹣1=0和3x﹣2y﹣2=0的交点，且与直线3x+y=0平行的直线方程是（ ）
A、15x﹣5y﹣13=0 B、15x+5y﹣13=0
C、15x+5y+13=0 D、15x﹣5y+13=0
考点：直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先把两相交直线联立求得交点的坐标，再利用平行的直线求得所求直线的斜率，最后利用点斜式求得直线的方程．
解答：解：联立直线方程可得；21*cnjy*com
求得x=，y=
∵所求直线与3x+y=0平行
故斜率为﹣
∴直线方程为y﹣=﹣（x﹣），整理得15x+5y﹣13=0
故选B
点评：本题主要考查了直线的点斜方程和直线的交点坐标，以及直线平行的性质等．利用点斜式方程的时候关键是求得直线上的一点以及直线的斜率．
6、若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（ ）
A、2x﹣3y+1=0 B、3x﹣2y+1=0
C、2x﹣3y﹣1=0 D、3x﹣2y﹣1=0
考点：直线的两点式方程；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：把点A（2，﹣3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，
从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程．
解答：解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，
∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0，
∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，
故 点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，
答案选 A．
点评：本题考查两直线交点的坐标和点在直线上的条件．
7、已知直线l过直线2x+y﹣5=0和直线x+2y﹣4=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A、x﹣y﹣1=0 B、x+y﹣3=0或x﹣2y=0
C、x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0 D、x+y﹣3=0或x﹣y﹣1=021cnjy
考点：直线的两点式方程；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：先联立已知的两条直线方程求出交点的坐标，由直线l与两坐标轴的截距互为相反数，分两种情况考虑：①当直线l与坐标轴的截距不为0时，设出直线l的截距式方程x﹣y=a，把交点坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程；②当直线l与坐标轴的截距为0时，设直线l的方程为y=kx，把交点坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程．综上，得到所有满足题意的直线l的方程．
解答：解：联立已知的两直线方程得：，解得：，所以两直线的交点坐标为（2，1），
因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，
①当直线l与坐标轴的截距不为0时，可设直线l的方程为：x﹣y=a，
直线l过两直线的交点，所以把（2，1）代入直线l得：a=1，则直线l的方程为x﹣y=1即x﹣y﹣1=0；
②当直线l与两坐标的截距等于0时，设直线l的方程为y=kx，
直线l过两直线的交点，所以把（2，1）代入直线l得：k=，所以直线l的方程为y=x即x﹣2y=0．
综上①②，直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0．21cnjy
故选C．
点评：此题考查学生会根据两直线的方程求两直线的交点坐标，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
8、方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形面积为（ ）21cnjy
A、2 B、
C、1 D、4
考点：直线的一般式方程；两条直线的交点坐标。21cnjy
专题：数形结合。
分析：由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，故只要画出曲线在第一象限内的图象，在第一象限内，
曲线是一条线段，y=x （0≤x≤1），则由对称性可得曲线的完整图象．结合图象求得围成的曲线的面积．
解答：解：方程|x|+|y|=1 即：x±y=1，或﹣x±y=1，（﹣1≤x≤1，且﹣1≤y≤1 ）
故方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形如图所示：曲线围成一个边长为的正方形，
故方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形面积为×=2，故选 A．
点评：本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
9、过直线3x+y﹣1=0与x+2y﹣7=0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A、x﹣3y+7=0 B、x﹣3y+13=0
C、2x﹣y+7=0 D、3x﹣y﹣5=0
考点：直线的一般式方程；两条直线垂直的判定；两条直线的交点坐标。
专题：计算题；方程思想。
分析：联立已知两条直线求出交点坐标，然后求出第一条直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，然后写出直线的一般式方程即可．
解答：解：由可得两直线交点P（﹣1，4），
由第一条直线的斜率为﹣3，得到直线l的斜率，
∴所求直线l方程为：，即x﹣3y+13=0，
故选B．
点评：此题考查学生会根据一个点和直线斜率写出直线的一般式方程，会利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1求直线的斜率，会利用求方程组的解集得到两直线的交点坐标．
10、若直线l与直线x﹣3y+10=0交于点M，与直线2x+y﹣8=0交于点N，MN的中点为P（0，1），则直线l的方程是（ ）
A、x+4y+4=0 B、x+4y﹣4=0
C、x﹣4y+4=0 D、x﹣4y﹣4=021cnjy
考点：直线的一般式方程；中点坐标公式；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：设出M的坐标，根据中点坐标公式得到N的坐标，然后分别把M、N代入到两方程中得到关于a和b的二元一次方程组，求出a、b即可得到M与N的坐标，利用两点式得到直线方程，化为一般式即可．
解答：解：设M（a，b），根据P（0，1）为两交点的中点得到N（﹣a，2﹣b），
把M代入x﹣3y+10=0得到a﹣3b+10=0①；把N代入2x+y﹣8=0得到﹣2a+2﹣b﹣8=0即2a+b+6=0②
联立①②得：，21cnjy
解得，
所以M（﹣4，2），N（4，0）
则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣4），21cnjy
化简为：x+4y﹣4=0．
故选B
点评：考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会根据两点坐标求直线方程．理解两直线交点的意义．
11、y=﹣k|x﹣a|+b的图象与y=k|x﹣c|+d的图象（k＞0且k≠）交于两点（2，5），（8，3），则a+c的值是（ ）
A、7 B、8
C、10 D、13
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：将两个交点代入第一条直线方程，得到方程组，将两个方程相减；据绝对值的意义及k的范围得到k，a满足的等式；同样的过程得到k，c满足的等式，两式联立求出a+c的值．
解答：解：∵（2，5），（8，3）是两条直线的交点
∴
①﹣②得﹣k（|8﹣a|﹣|2﹣a|）=2
∵，k＞0
∴k（8﹣a+2﹣a）=2
同理得k（c﹣2+c﹣8）=2
∴10﹣2a=2c﹣10
∴a+c=10
故选C
点评：本题考查直线的交点满足两直线的方程、考查利用绝对值的意义去绝对值符号．
12、已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N等于（ ）21世纪教育网
A、x=1，y=0 B、（1，0）
C、{（1，0）} D、{1，0}
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：集合M，N分别表示两条直线，两个集合的交集即求两直线的交点；联立方程组，求出解集即可．
解答：解：∵M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，21世纪教育网
∴={（1，0）}
故选C
点评：本题考查求两直线的交点坐标只要求两直线方程构成的方程组即可．21世纪教育网
13、在平面直角坐标系中，若点（﹣2，t）在直线x﹣2y+4=0的上方，则t的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，+∞）
C、（﹣1，+∞） D、（0，1）
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：由题意可知点在直线上方，代入方程有﹣2﹣2t+4＜0，求解即可．
解答：解：在平面直角坐标系中，若点（﹣2，t）在直线x﹣2y+4=0的上方，
必有﹣2﹣2t+4＜0 可得t＞1
故选B．
点评：本题考查直线与点的位置关系，是基础题．
14、已知直线l1，l2的方程分别为x+ay+b=0，x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（ ）
A、ac＜0 B、a＜c
C、bd＜0 D、b＞d
考点：两条直线的交点坐标。
专题：数形结合。
分析：把两条直线的方程化为斜截式方程，根据图象得到斜率的大小以及与y轴截距的大小即可列出两个不等式，化简不等式即可得到字母的符号及大小．
解答：解：直线方程化为l1：y=﹣x﹣，l2：y=﹣x﹣．
由图象知，﹣＜﹣＜0，﹣＞0＞﹣，
∴a＞c＞0，b＜0，d＞0．
故选C
点评：考查学生会根据图象判断同一坐标系中两直线的斜率和截距的大小，做题时注意数形结合．
15、已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（ ）
A、[﹣3，5] B、[﹣5，3]
C、[3，5] D、[﹣5，﹣3] 21世纪教育网
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：确定直线在y轴上的截距，说明直线是平行直线系，代入A、B坐标，求出c的值，即可得到选项．
解答：解：直线l在y轴上的截距是c，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，直线是平行线系，代入A、B两点，21世纪教育网
可得c=﹣3，c=5，所以﹣3≤c≤5；21世纪教育网
故选A．
点评：本题是基础题，考查直线与线段的交点问题，直线的截距的应用，考查计算能力．
16、直线y=2x+10，y=x+1，y=ax﹣2交于一点，则a的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：根据题意，解方程组，可得直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标（﹣9，﹣8），代入y=ax﹣2 可以求得a的值．
解答：解：解方程组，可得，
∴直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为（﹣9，﹣8），
代入y=ax﹣2，得﹣8=a?（﹣9）﹣2，∴a=，
故选：C．
点评：本题考查求两直线的交点坐标的方法，以及三直线交与一点的性质．
17、当0＜k＜时，直线l1：kx﹣y=k﹣1与直线l2：ky﹣x=2k的交点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：解方程组得两直线的交点坐标，由0＜k＜，求出交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论．
解答：解：解方程组得，两直线的交点坐标为（，），
因为0＜k＜，
所以，＜0，＞0，
所以交点在第二象限．
故选：B．
点评：本题考查求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征．
18、如图，定圆半径为a、圆心为（b，c），则直线ax+by+c=0与直线x﹣y+1=0的交点在（ ）
A、第四象限 B、第三象限21世纪教育网
C、第二象限 D、第一象限
考点：两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：欲求交点位置，只需判断交点坐标的符号，联立方程，求出交点坐标，根据图中圆心与半径的关系，判断两直线交点横纵坐标的正负，即可．
解答：解：由，解得交点坐标为（﹣，）21世纪教育网
由图可知，﹣b＞a＞c＞0
∴﹣＜0，＜0
∴交点在第三象限
故选B
点评：本题主要考查了直线交点坐标的求法，其中用到了圆的标准方程，属于两者的综合．21世纪教育网
二、填空题（共4小题）
19、已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣2y=﹣4}，则A∩B= {（0，2）} ．
考点：交集及其运算；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：由集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣2y=﹣4}，知A∩B={（x，y）|}，由此能够求出结果．
解答：解：∵集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣2y=﹣4}，
∴A∩B={（x，y）|}
={（0，2）}．
故答案为：{（0，2）}．
点评：本题考查集合的交集和运算，是基础题．解题时要认真审题，注意点集的表示方法．
20、现有下面四个命题：
①曲线y=﹣x2+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，则α∥β；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，
则f（x+1）一定是奇函数；
④如果点P到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个．
其中正确命题的序号是 ③④ ．（写出所有正确命题的序号）
考点：奇函数；两条直线的交点坐标。
专题：阅读型。
分析：①曲线y=﹣x2+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°，求出切点处的导数值，进行验证；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，则α∥β，由面面位置关系进行判断；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，求出两参数ω，φ的关系，整理解析式，观察既得；
④如果点P到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个，由两直线的交点个数研究即可．
解答：解：①曲线y=﹣x2+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°．是错误命题，因为y′=﹣2x+2，在点（1，5）处的导数值为0，故倾斜角不是45°；21世纪教育网
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，则α∥β是错误命题，在题设中的条件下，两平面可以是相交的；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，是正确命题，由f（1）=0，得出ω+φ=0，函数解析式可变为f（x）=Asinω（x﹣1），左移一个单位可得到f（x）=Asinωx是一个奇函数；
④如果点P到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个，是正确命题，作出两点的垂直平分线y=1，与直线相交，故满足条件的点只有一个．21世纪教育网
综上③④是正确命题21世纪教育网
故答案为③④
点评：本题考查奇函数，函数图象的变换，导数的几何意义等内容，解答本题的关键是对本题中命题所涉及到的相关知识点都比较熟悉，方能避免误判．本题是考查双基的题．
21、已知0＜k＜4，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值是 ．
考点：函数与方程的综合运用；两条直线的交点坐标。
专题：计算题；转化思想。
分析：先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k 值．
解答：解：如图所示：
直线，过定点B（2，4），
与y 轴的交点C（0，4﹣k），
直线，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（k2+2，0），
由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为
×4×（k2+2﹣2）+=k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，21世纪教育网版权所有
故答案为．
点评：本题考查直线过定点问题，本题考查过顶点的直线和四边形的面积的最值，在立体几何和解析几何中，不论求什么图形的面积一般都要表示出结果，再用函数的最值来求，体现了转化及数形结合的数学思想．
22、经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，并且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程的一般式为 2x+3y﹣7=0 ．
考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条直线的交点坐标。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：设所求的直线方程为2x+3y+k=0，把2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点（2，1）代入可得 k值，即得所求的直线方程．
解答：解：设所求的直线方程为2x+3y+k=0，由它过2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点（2，1），
∴4+3+k=0，∴k=﹣7，故所求的直线方程为 2x+3y﹣7=0，
故答案为 2x+3y﹣7=0．
点评：本题考查用待定系数法求直线方程，与直线2x+3y+5=0平行的直线可设为2x+3y+k=0 的形式．
三、解答题（共8小题）
23、设A={（x，y）|3x+2y=1}，B={（x，y）|x﹣y=2}，C={（x，y）|2x﹣2y=3}，D={（x，y）|6x+4y=2}．
求A∩B、B∩C、A∩D．
考点：交集及其运算；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：通过观察发现四个集合都为点集，要求两集合的交集即为两集合中直线交点组成的集合，把两集合中的二元一次方程联立组成方程组，求出方程组的解即为两直线的交点坐标，根据交点坐标写出各自的交集即可．
解答：解：联立集合A和集合B中的方程得：，
①+②×2得：5x=5，解得x=1，把x=1代入②解得y=﹣1，
所以原方程组的解为，则A∩B={（1，﹣1）}；
联立结合B和集合C的方程得：，此方程组无解，
则B∩C=?；
联立集合A和集合D中的方程得：，此方程组有无数对解且满足3x+2y=1，
则A∩D={（x，y）|3x+2y=1}．
点评：此题考查了两直线交点坐标的求法，考查了交集的运算，是一道基础题．学生做题时注意已知的集合都为点坐标组成的集合，交集即为两集合中直线交点的坐标组成的集合．
24、已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直线l1∩l2=?的概率；
（2）求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．
考点：等可能事件的概率；两条直线垂直的判定；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1∩l2=?，根据两条直线没有交点，得到两条直线的斜率之间的关系，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．
解答：解：（1）直线l1的斜率，直线l2的斜率．21世纪教育网版权所有
设事件A为“直线l1∩l2=?”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2），…，（1，6），
（2，1），（2，2），??，（2，6），??，（5，6），（6，6）共36种．21世纪教育网版权所有
若l1∩l2=?，则l1∥l2，即k1=k2，即b=2a．
满足条件的实数对（a，b）有（2，4）、（3，6）共二种情形．
∴．21世纪教育网版权所有
即直线l1∩l2=?的概率为．
（2）解：设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，
由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．
联立方程组
解得
∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则
即
解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．
满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．
∴．
即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的平行关系，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．
25、已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，
（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；
（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
考点：两条直线垂直的判定；两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程，解出m和n的值．
（2）由 l1∥l2得斜率相等，求出 m 值，再把直线可能重合的情况排除．
（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于1，从而得到结论．21世纪教育网版权所有
解答：解：（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n=0 和 2m﹣m﹣1=0，
解得 m=1，n=7．
（2）由 l1∥l2得：m2﹣8×2=0，m=±4，
又两直线不能重合，所以有 8×（﹣1）﹣mn≠0，对应得 n≠2m，21世纪教育网版权所有
所以当 m=4，n≠﹣2 或 m=﹣4，n≠2 时，l1∥l2．
（3）当m=0时直线l1：和 l2：，此时，l1⊥l2，
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然 l1与l2不垂直，21世纪教育网版权所有
所以当m=0，n∈R时直线 l1和 l2垂直．
点评：本题考查两直线平行、垂直的性质，两直线平行，斜率相等，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，注意斜率相等的两直线可能重合，要进行排除．
26、已知△ABC三边的方程为：AB：3x﹣2y+6=0，AC：2x+3y﹣22=0，BC：3x+4y﹣m=0．
（1）判断三角形的形状；
（2）当BC边上的高为1时，求m的值．
考点：两条直线垂直的判定；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：（1）计算三角形各边的斜率，发现kAB?kAC=﹣1，AB与AC互相垂直．
（2）解方程组求得A的坐标，由点到直线的距离公式求得m的值．
解答：解：（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，
所以kAB?kAC=﹣1，所以直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形；
（2）解方程组，得，即A（2，6）
由点到直线的距离公式得，
当d=1时，，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．
点评：本题考查两条直线垂直的判定方法，两条直线的交点坐标的求法，以及点到直线的距离公式的应用．
27、已知△ABC中，顶点A（ 1，1 ）、B（ 4，2 ），顶点C在直线x﹣y+5=0上，又BC边上的高所在的直线方程为5x﹣2y﹣3=0，
（1）求顶点C的坐标；
（2）△ABC是否为直角三角形？
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：（1）据点C在直线上设顶点C 的坐标，再根据BC的斜率和BC边上的高所在的直线的斜率之积等于﹣1，解出点C 的坐标．
（2）求出三角形的三边所在直线的斜率，由于任意两边的斜率之积都不等于﹣1，故△ABC不是直角三角形．
解答：解：（1）由顶点C在直线x﹣y+5=0上，可设顶点C （m，m+5），又BC边上的高所在的直线方程为5x﹣2y﹣3=0，
∴BC的斜率等于﹣，即=﹣，∴m=﹣1，∴C（﹣1，4）．
（2）∵AB的斜率等于=，BC的斜率等于=﹣，AC的斜率等于=﹣，
任意两边的斜率之积都不等于﹣1，故△ABC不是直角三角形．
点评：本题考查求两直线的交点坐标的方法，以及判断三角形是否为直角三角形的方法．
28、已知点A（1，1），B（﹣1﹣3），直线l：x﹣2y+2=0．
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若一圆经过点A，B，且圆心在直线l上，求此圆的标准方程．21世纪教育网版权所有
考点：直线的点斜式方程；中点坐标公式；两条直线的交点坐标。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（1）线段AB的中点为（0，﹣1），斜率为，用点斜式求得线段AB的垂直平分线的方程．
（2）设圆心坐标为 C（2b﹣2，b），则由题意可得 半径r=CA=CB，求出b的值，即得圆心坐标和半径，从而得到圆的标准方程．21世纪教育网版权所有
解答：解：（1）线段AB的中点为（0，﹣1），斜率为==﹣，
故线段AB的垂直平分线的方程为y+1=﹣（x﹣0 ），即 x+2y+2=0．
（2）设圆心坐标为 C（2b﹣2，b），则由题意可得 半径r=CA=CB，
∴（2b﹣2﹣1）2+（b﹣1）2=（2b﹣2+1）2+（b+3）2=r2，
解得 b=0，r2=10，故圆心为 （﹣2，0），故此圆的标准方程为 （x+2）2+y2=10．
点评：本题考查用点斜式求直线方程，两直线垂直的性质，线段的中点公式，求圆的标准方程，求出圆心的坐标是解题的关键．
29、如图，△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，2），点B关于y=0的对称点在AC边上，且BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0．
（Ⅰ）求AC边所在直线的议程；
（Ⅱ）求点C的坐标．
考点：直线的一般式方程；两条直线的交点坐标。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（I）首先求出B的关于y=0的对称点B'（1，﹣2），然后根据B'点和A点求出直线方程；
（II）先求出直线BC的方程，然后根据图可知C点是直线AC和直线BC的交点，联立两方程即可求出结果．
解答：解：（I）点B关于y=0的对称点B'（1，﹣2）21世纪教育网版权所有
∵A（﹣1，0），B'（1，﹣2），在AC边上
∴斜率k=﹣1
∴直线AC方程为y+2=﹣（x﹣1）即y+x+1=0
（II）∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0
∴直线BC的斜率为﹣2
∴直线BC的方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）即2x+y﹣4=021世纪教育网版权所有
∵C点是直线AC和直线BC的交点
∴
解得
∴点C的坐标为（5，﹣6）
点评：本题考查了直线方程的求法以及两直线交点的求法，解题过程要认真分析已知条件，属于基础题．
30、已知一条直线经过两条直线l1：2x﹣3y﹣4=0和l2：x+3y﹣11=0的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程．
考点：直线的一般式方程；两条直线的交点坐标。
专题：计算题。
分析：由题意先求交点的坐标，再由垂直于这个交点和原点的连线求出直线的斜率，求出直线的方程．
解答：解：设所求直线的斜率为k，交点为P（x，y），
由方程组，解得P（5，2）．
故．
因直线与直线OP垂直，则，
所以所求直线的方程为，
即5x+2y﹣29=0，
答：此直线的方程为5x+2y﹣29=0．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了直线垂直的条件，求直线的交点坐标和直线的点斜式方程，结果要化为一般式方程．
