两点间的距离公式
一、选择题（共12小题）
1、经过点（2，1）的直线l到A（1，1），B（3，5）两点的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A、2x﹣y﹣3=0 B、x=2
C、2x﹣y﹣3=0或x=2 D、都不对
2、两直线3ax﹣y﹣2=0和（2b﹣1）x+5by﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
3、若点P（m，0）到点A（﹣3，2）及B（2，8）的距离之和最小，则m的值为（ ）
A、﹣2 B、1
C、2 D、﹣1
4、已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6=0上任意一点，则点C到直线AB距离的最小值是
（ ）
A、 B、
C、 D、
5、在x轴正向到y轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A，B的坐标分别为A，B，则线段AB的长度为（ ）
A、 B、
C、6 D、3
6、若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A、2 B、3
C、3 D、4
7、已知点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于C（ ）21cnjy
A、﹣2或1 B、1或2
C、﹣2或﹣1 D、﹣1或2
8、设点P（a，b），Q（c，d）是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
9、若函数f（x）=xlnx的图象在x=1处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离是（ ）
A、 B、
C、 D、1
10、若P（a，b）、Q（c，d）都在直线y=mx+k上，则|PQ|用a、c、m表示为（ ）
A、 B、|m（a﹣c）|21cnjy
C、 D、
11、已知平面上有三点A（1，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2），P在直线AB上，使，连接PC，Q是PC的中点，则点Q的坐标是（ ）
A、（，2） B、（，1）
C、（，2）或（，1） D、（，2）或（﹣1，2）
12、△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（ ）
A、5 B、421*cnjy*com
C、10 D、8
二、填空题（共9小题）
13、已知圆C：x2+y2+2x+4y+1=0，则过圆心C且与原点之间距离最大的直线方程是 _________ ．
14、已知A（3，0），B（0，4），则过B且与A的距离为3的直线方程为 _________ ．
15、直线l过点M0（1，5），倾斜角是，且与直线交于M，则|MM0|的长为 _________ ．
16、已知：A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1），，则|PC|长为 _________ ．
17、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果跳蚤开始时在BC边的点P0处，BP0=4．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2010与C间的距离为 _________
18、P是直线x+y+1=0上一点，P到点Q（0，2）距离的最小值是 _________ ．
19、直线y=kx+b上的两点的横坐标分别为x1，x2，则两点间的距离为 _________ ；直线y=kx+b上的两点的纵坐标分别为y1，y2，则两点间的距离为 _________ ．21cnjy
20、若点A（3，m）与点B（0，4）的距离为5，则m= _________ ．
21、点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3，4），则|AB|的长为 _________ ．
三、解答题（共3小题）21cnjy
22、已知点P（2，﹣1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？21cnjy
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
23、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3）．
（1）求线段AC中点坐标；
（2）过点C作CD垂直AB于点D，求直线CD的方程；
（3）求四边形OABC的面积．
24、已知A（0，1），B（1，0），C（﹣3，﹣2）三点．21cnjy
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求△ABC的面积S；
（3）试在x轴上找一点P使|PC|﹣|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标．21cnjy
答案与评分标准
一、选择题（共12小题）
1、经过点（2，1）的直线l到A（1，1），B（3，5）两点的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A、2x﹣y﹣3=0 B、x=2
C、2x﹣y﹣3=0或x=2 D、都不对
考点：直线的一般式方程；两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：分两种情况考虑，当直线l的斜率不存在时，得到直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，根据已知点的坐标表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出A到直线l的距离和B到直线l的距离，让两距离相等即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．
解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；
当直线l的斜率垂存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0，
由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：
=，化简得：﹣k=k﹣4或k=k﹣4（无解），解得k=2，
所以直线l的方程为2x﹣y﹣3=0，
综上，直线l的方程为2x﹣y﹣3=0或x=2．21世纪教育网
故选C
点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生做题是容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应注意这点．
2、两直线3ax﹣y﹣2=0和（2b﹣1）x+5by﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：恒过定点的直线；两点间的距离公式。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由3ax﹣y﹣2=0得y+2=3ax所以直线过定点A（0，﹣2）．把方程（2b﹣1）x+5by﹣1=0变形为b（2x+5y）﹣（x+1）=0，根据恒成立可得直线（2b﹣1）x+5by﹣1=0过定点B（﹣1，），再根据两点之间的距离公示可得|AB|的数值．
解答：解：由3ax﹣y﹣2=0得y+2=3ax所以直线过定点A（0，﹣2）．
由（2b﹣1）x+5by﹣1=0得b（2x+5y）﹣（x+1）=0，
令解得x=﹣1，y=
所以直线（2b﹣1）x+5by﹣1=0过定点B（﹣1，）
所以|AB|=．
故选C．
点评：解决此类题目的关键是利用等式恒成立解出直线过的定点，再根据两点之间的距离公式求出距离，公式要熟记运算要正确也是关键．
3、若点P（m，0）到点A（﹣3，2）及B（2，8）的距离之和最小，则m的值为（ ）
A、﹣2 B、1
C、2 D、﹣1
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据题意可推断出P点一定在A点和B点的连线上根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上，进而利用点A关于x轴的对称点A'，确定A'B的直线方程把y=代入即可．
解答：解：根据三角形两边和大于第三边，则P点一定在A点和B点的连线上，
根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上
A关于x轴的对称点A'（﹣3，﹣2），又已知B（2，8）
P点在A'B的直线上，直线方程为：2x﹣y+4=0
将y=0代入得x=﹣2，即m=﹣2
故选A
点评：本题主要考查了两点间的距离公式．考查了考生数形结合思想的运用．
4、已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6=0上任意一点，则点C到直线AB距离的最小值是
（ ）
A、 B、
C、 D、
5、在x轴正向到y轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A，B的坐标分别为A，B，则线段AB的长度为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、6 D、3
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由已知中在x轴正向到y轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A，B的坐标分别为A，B，我们取C点坐标为（，2），则得到|AC|及|BC|的长，及∠
ACB=120°，根据余弦定理，易求出AB两个点之间的距离．
解答：解：∵A，B的坐标分别为A，B，
且x轴正向到y轴正向的角为60°
取C点坐标为（，2）
故|AC|=2，|BC|=2
则|AB|=
==6
故选C
点评：本题考查的知识点是两点间的距离公式，及余弦定理，其中找到坐标为（，2）的C点，并分析出∠ACB=120°，是解答本题的关键．
6、若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A、2 B、3
C、3 D、4
考点：两点间的距离公式；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．
解答：解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，
∴M到原点的距离的最小值为d==3．21世纪教育网
故选C
点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力．
7、已知点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于C（ ）
A、﹣2或1 B、1或2
C、﹣2或﹣1 D、﹣1或221世纪教育网
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，利用两点间距离公式得，由此能够求出实数a的值．21世纪教育网
解答：解：∵点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，
∴，
整理，得|a﹣1|=|5a+7|，
∴a2﹣2a+1=25a2+70a+49，
解得a=﹣2，或a=﹣1．
故选C．
点评：本题考查两点间距离公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
8、设点P（a，b），Q（c，d）是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于（ ）
A、 B、
C、 D、
9、若函数f（x）=xlnx的图象在x=1处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离是（ ）
A、 B、
C、 D、1
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：先对函数进行求导，把x=1代入求得切线的斜率，进而利用切点求得切线的方程，整理圆的方程为标准方程求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到切线的距离，减去半径的长即是l上的点到圆的最小距离．
解答：解：y'=1?lnx+x?=lnx+1
x=1，y'=0+1=1
即切线斜率是1
x=1，y=1×0=0
∴切点为（1，0）
所以切线方程为x﹣y﹣1=0
整理圆的方程得（x+2）2+（y﹣1）2=1，故圆心为（﹣2，1），
∴圆心到切线的距离为=2
则切线与圆的位置关系为相离，圆的半径为1，21世纪教育网
∴l上的点到圆的点的最小距离为2﹣1
故选C
点评：本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，直线与圆的位置关系，导函数求切线的问题．考查了学生综合基础知识的应用和数形结合思想的应用．
10、若P（a，b）、Q（c，d）都在直线y=mx+k上，则|PQ|用a、c、m表示为（ ）
A、 B、|m（a﹣c）|
C、 D、
考点：两点间的距离公式。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：先根据两点间的距离公式求出|PQ|，又因为P，Q两点在直线上，代入直线化简后整体代入到距离里即可求出值．
解答：解：因为P，Q在直线y=mx+k上，
所以代入得：am+k=b；cm+k=d，所以（b﹣d）2=m2（a﹣c）221世纪教育网
所以根据两点间的距离公式得：
故选D
点评：考查学生灵活运用两点间的距离公式解决实际问题，以及会利用整体代换的数学思想解决实际问题．
11、已知平面上有三点A（1，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2），P在直线AB上，使，连接PC，Q是PC的中点，则点Q的坐标是（ ）
A、（，2） B、（，1）
C、（，2）或（，1） D、（，2）或（﹣1，2）
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由A和B的坐标表示出直线AB的方程，根据P在直线AB上，设出P的坐标为（e，﹣e+2），进而表示出和，根据已知的，列出关于e的方程，求出方程的解得到e的值，确定出P的坐标，然后由C和P的坐标，根据中点坐标公式即可求出Q的坐标．
解答：解：由A（1，1），B（﹣2，4），
得到直线AB的方程为：y﹣1=（x﹣1），即y=﹣x+2，
设P（e，﹣e+2），
所以=（e﹣1，﹣e+1），=（﹣3，3），又，
所以=，即2e（e﹣2）=0，
解得：e=0或e=2，
则P的坐标为（0，2）或（2，0），又C（﹣1，2），
所以Q坐标为（﹣，2）或（，1）．21世纪教育网
故选C
点评：此题考查了平面向量模的计算，中点坐标公式，以及直线的两点式方程，根据A和B的坐标表示出直线AB的方程，进而设出P点坐标，根据题意列出方程，确定出P的坐标是本题的突破点．
12、△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（ ）
A、5 B、421世纪教育网
C、10 D、8
二、填空题（共9小题）
13、已知圆C：x2+y2+2x+4y+1=0，则过圆心C且与原点之间距离最大的直线方程是 x+2y+5=0 ．
考点：直线的一般式方程；两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由题设知过圆心C且与原点之间距离最大的直线必与原点与圆心的连线垂直，故可由此求出其斜率，用点斜式写出方程．
解答：解：圆C的方程可以变为（x+1）2+（y+2）2=4故圆心的坐标为（﹣1，﹣2）
圆心与原点连线的斜率为=2
过圆心C且与原点之间距离最大的直线的斜率为
又该直线过圆心（﹣1，﹣2）
所以其方程为y﹣（﹣2）=（x+1）
整理行x+2y+5=0
故应填x+2y+5=0．
点评：考查求直线的轨迹方程，本题是直线与圆位置关系中比较常见的题型，其出现的形式多种多样，请读者注意总结．
14、已知A（3，0），B（0，4），则过B且与A的距离为3的直线方程为 7x+24y﹣96=0或x=0 ．
考点：直线的一般式方程；两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：观察知，x=0符合要求，另一条可以用设为y=kx+4，据A（3，0）到它的距离为3建立方程求k，代入既得所求方程，
解答：解：当x=0，直线过B且与A的距离为321世纪教育网
另一条可以设为y=kx+4，由已知=3
解得k=﹣故 y=﹣x+4，即7x+24y﹣96=021世纪教育网
故应填7x+24y﹣96=0或者x=0．
点评：考查点到直线的距离公式，本题有一易错点，即用待定系数法设方程，与x轴垂直的情况斜率不存在，所以 此特殊情况应单独求出．
15、直线l过点M0（1，5），倾斜角是，且与直线交于M，则|MM0|的长为 10+6 ．
考点：两条直线的交点坐标；两点间的距离公式。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：先根据直线l经过的定点坐标和倾斜角求出直线l的方程，与直线联立，解出交点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MM0|的长．
解答：解：∵直线l过点M0（1，5），倾斜角是，21世纪教育网
∴直线l的方程为y﹣5=（x﹣1）
化简得，x﹣y+5﹣=0
由解得，，
∴M点坐标为（﹣4﹣3，﹣4﹣5）
∴|MM0|====10+6
故答案为10+6
点评：本题主要考查两直线交点的求法，以及两点间距离公式的应用，属于直线位置关系的判断．
16、已知：A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1），，则|PC|长为 ．
17、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果跳蚤开始时在BC边的点P0处，BP0=4．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2010与C间的距离为 6 21世纪教育网
考点：两点间的距离公式。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意可以发现每边各有两点，从图形上找出每一条边上的点之间的关系，即一部分点的重合关系，找出规律，发现规律2010为六的倍数所以与P0重合，要求的点P2010与C间的距离即P0与C的关系．
解答：解：∵由题意可以发现每边各有两点，21世纪教育网
其中BC边上P0，P6，P12…重合，P3，P9，P15…重合，
AC边上P1，P7，P13…重合，P4，P10，P16…重合，
AB边上P2，P8，P14…重合，P5，P11，P17…重合．
发现规律2010为六的倍数所以与P0重合，
∴与C点之间的距离为6
故答案为：6
点评：这是一个新定义问题，解题时要读懂题目中给出的点的变化规律，把无数次跳动之后的两点之间的距离变化为已知两点之间的距离，得到要求得的结果．
18、P是直线x+y+1=0上一点，P到点Q（0，2）距离的最小值是 1.5 ．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：过点Q作直线的垂线段，当P是垂足时，线段PQ最短．小距离是点Q到
直线的距离．
解答：解：过点Q作直线的垂线段，当P是垂足时，线段PQ最短，故最小距离是点Q（0，2）到
直线x+y+1=0的距离d，d===1.5．
∴P到点Q（0，2）距离的最小值是1.5；
故答案为1.5．
点评：本题考查点到直线的距离公式．
19、直线y=kx+b上的两点的横坐标分别为x1，x2，则两点间的距离为 ；直线y=kx+b上的两点的纵坐标分别为y1，y2，则两点间的距离为 ．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由直线上两点的横坐标代入直线方程求出对应的纵坐标，然后利用两点间的距离公式就出即可；由直线上两点的纵坐标代入方程求出相应的横坐标，利用两点间的距离公式求出即可．
解答：解：（1）分别把x1，x2代入到y=kx+b中得：y1=kx1+b，y2=kx2+b，
所以两点间的距离===|x1﹣x2|；
（2）分别把y1，y2代入到y=kx+b中得：x1=，x2=，
所以两点间的距离===|y1﹣y2|．
故答案为|x1﹣x2|，|y1﹣y2|
点评：此题考查学生会利用两点间的距离公式求距离，在求值的过程中要求学生会对二次根式进行化简．
20、若点A（3，m）与点B（0，4）的距离为5，则m= 0或8 ．21世纪教育网版权所有
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：本题比较简单，利用两点间距离公式直接求解即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：由题意知|AB|=，
解得（m﹣4）2=16，21世纪教育网版权所有
∴m=0或m=8．
故答案：m=0或8．
点评：本题考查两点间距离公式，解题时要注意公式的逆运算．
21、点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3，4），则|AB|的长为 10 ．
三、解答题（共3小题）
22、已知点P（2，﹣1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线的一般式方程；两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：（1）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据两点的距离公式建立等量关系，求出斜率；
（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；
（3）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．
解答：解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，
过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x=2．
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．
由已知，得=2，解之得k=．
此时l的方程为3x﹣4y﹣10=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl?kOP=﹣1，
所以kl=﹣=2．由直线方程的点斜式得y+1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣5=0，21世纪教育网版权所有
即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=．
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
点评：本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于基础题．
23、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3）．
（1）求线段AC中点坐标；
（2）过点C作CD垂直AB于点D，求直线CD的方程；21世纪教育网版权所有
（3）求四边形OABC的面积．
考点：直线的一般式方程；中点坐标公式；两点间的距离公式。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（1）AC中点即为OB的中点，直接利用中点坐标公式计算．
（2）求出AB的斜率（等于OC的斜率），利用两直线垂直斜率之积为﹣1，求出CD斜率，利用点斜式写出即可．
（3）S平行四边形OABC=|OC|?|CD|，其中|CD|用点线距公式求出．代入计算即可．
解答：解：（1）设AC 中点为E．
∵四边形OABC为平行四边形
∴E为OB中点
∴E点坐标为（2，2）
（2）∵OC∥AB，∴kOA=kAB=3
CD垂直AB于点D，∴kCD=﹣
由直线方程的点斜式得直线CD的方程：
y﹣3=（x﹣1）
即x+3y﹣10=0
（3）∵C（1，3）A、C关于y=x对称，∴A点坐标为（3，1）
∴直线A的直线方程：y﹣1=3（x﹣3）
即3x﹣y﹣8=0
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∴S?OABC=|OC|?|CD|=8
点评：本题考查直线与直线位置关系，直线方程的求解、点线距的计算．属于基础题目．
24、已知A（0，1），B（1，0），C（﹣3，﹣2）三点．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ）证明△ABC是直角三角形；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）求△ABC的面积S；
（Ⅲ）试在x轴上找一点P使|PC|﹣|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标．
