答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：映射；函数的图象；轨迹方程。
专题：分类讨论。
分析：本题考查的知识点是映射的定义，函数的图象及轨迹方程，根据映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），我们分点P沿着线段AB和线段BC运动两种情况分析讨论，即可得到动点P'的轨迹．
解答：解：点P沿着线段AB运动时21*cnjy*com
X=1，Y∈[0，1]
此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是y=
点P沿着线段BC运动时21*cnjy*com
X∈[0，1]，Y=121*cnjy*com
此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是
故动点P'的轨迹是
故选A．
点评：求轨迹即求动点坐标满足的方程，由两种处理思路：一是求谁设谁，然后根据已知条件列出含有x，y的式子，整理得到轨迹方程；二是已知动点的坐标，但含有参数（如本题中分类讨论后的结果），我们可以消掉参数得到轨迹方程．
2、已知函数f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a﹣c，b]，则点（a，b）的轨迹是（ ）
A、直线 B、圆锥曲线
C、线段 D、点
3、若方程x2+ax+b=0的两根分别为sinθ和cosθ，则点（a，b）的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：函数的图象；轨迹方程。21*cnjy*com
专题：计算题；数形结合。
分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a，b与参数θ的关系式，再利用三角函数的同角关系消去参数θ得到关于a，b的普通方程，最后由此方程即可选出答案．
解答：解：∵方程x2+ax+b=0的两根分别为sinθ和cosθ，21*cnjy*com
∴由根与系数的关系得：
消去θ得：1+2b=a2，且，
故点（a，b）的轨迹是一段开口向上的抛物线．
故选B．
点评：本题主要考查了轨迹方程的求法、函数的图象以及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
4、动点p与定点A（﹣1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为﹣1，则p点的轨迹方程是（ ）
A、x2+y2=1 B、x2+y2=1（x≠±1）
C、x2+y2=1（x≠1） D、y=
考点：直线的斜率；轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设出点P（x，y），表示出两线的经、斜率，利用其乘积为﹣1建立方程化简即可得到点P的轨迹方程．
解答：解：设P（x，y），则kPA=，kPB=
∵动点p与定点A（﹣1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为﹣1，
∴kPA×kPB=﹣1
∴=﹣1 即x2+y2=1
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x2+y2=1（x≠±1）
故应选B．
点评：考查解析几何中将位置关系转化为方程的一个典型题，其特点是利用坐标建立方程，化简整理得轨迹方程，题型简单，很具有挖根性．
5、以A（1，3）和B（﹣5，1）为端点的线段AB的中垂线方程是（ ）
A、3x﹣y+8=0 B、3x+y+4=0
C、2x﹣y﹣6=0 D、3x+y+8=0
6、点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）21*cnjy*com
A、（x﹣2）2+（y+1）2=1 B、（x﹣2）2+（y+1）2=4
C、（x+4）2+（y﹣2）2=1 D、（x+2）2+（y﹣1）2=1
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够求出点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程．
解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），21*cnjy*com
则
代入x2+y2=4得
（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．
故选A．
点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．
7、已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A、π B、4π
C、8π D、9π
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积．
解答：解：已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），
则（x+2）2+y2=4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2=4，
所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，
所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，
故选B．
点评：考查两点间距离公式及圆的性质．是训练基础知识的好题．
8、若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：轨迹方程。
专题：计算题；数形结合。
分析：设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，作PR⊥面BCD于R，PQ⊥BC于Q，PC⊥AB于T，则∠PQR=θ，由题设条件知为小于1的常数．
解答：解：设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，如图．
作PR⊥面BCD于R，PQ⊥BC于Q，PC⊥AB于T，则∠PQR=θ，21*cnjy*com
且由条件PT=PR=PQ?sinθ，
∴为小于1的常数，
故选D．
点评：本题考查轨迹方程问题，数形结合是最有效的解题方法．21*cnjy*com
9、如图，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（ ）
A、一条线段，但要去掉两个点 B、一个圆，但要去掉两个点21*cnjy*com
C、一个椭圆，但要去掉两个点 D、半圆，但要去掉两个点
10、到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A、x﹣y=0 B、x+y=0
C、|x|﹣y=0 D、|x|﹣|y|=0
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．
解答：解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，
∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，
故选D．
点评：按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
11、设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
（ ）
A、圆 B、两条平行直线
C、抛物线 D、双曲线
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设P（1，a）Q（x，y），由题意知x=﹣ay，再由|OP|=|OQ|，知y2=1，所以y=1或y=﹣1．即动点Q的轨迹是两条平行于x轴直线．
解答：解：设P（1，a）Q（x，y），
点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，21*cnjy*com
，x=﹣ay，
∵|OP|=|OQ|
∴1+a2=x2+y2=a2y2+y2（a2+1）y2，而a2+1＞0，21*cnjy*com
∴y2=1，
∴y=1或y=﹣1
∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴直线．
故选B．
点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．21*cnjy*com
12、已知△ABC的两个顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的第三个顶点在一条双曲线（y≠0）上，则△ABC的内心的轨迹所在图象为（ ）
A、两条直线 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线
考点：轨迹方程。
专题：计算题；作图题。
分析：由点A，B分别为双曲线的焦点，再由双曲线的定义可得到∴||CA|﹣|CB||=2a=6，再由其内切圆结合切线长定理，可求得内切圆圆心的横坐标，与纵坐标无关，所以是两条直线．
解答：解：根据题意：A（﹣5，0），B（5，0）分别为双曲线的左右焦点．
∴||CA|﹣|CB||=2a=6
设其内切圆与CA，CB，AB所在的切点分别为E，F，G
由切线长定理可知：|CE|=|CF|，|AE|=|AG|，|BF|=|BG|
∴可得||GA|﹣|GB||=6
∴xG=3或xG=﹣3
∴△ABC的内心的轨迹所在图象为两条直线
故选A
点评：本题主要考查双曲线的定义和三角线的内切圆及圆的切线长定理．
13、已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线
14、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在ABB1A1所在的平面上，满足∠PDB1=∠MDB1，则点P的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线21*cnjy*com
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：由已知中点P在ABB1A1所在的平面上，满足∠PDB1=∠MDB1，我们根据直线与夹角相等的性质，我们可以判断DP的轨迹是一个以DB1为轴，以DP为母线的圆锥，由此可将问题转化为平面截圆锥得到圆锥曲线的形状判断问题，分析平面ABB1A1与母线及轴的关系，即可得到答案．
解答：解：若∠PDB1=∠MDB1，
则DP的轨迹应该是一个以DB1为轴，以DP为母线的圆锥，
平面ABB1A1是一个与母线DM平行的平面
又∵点P在ABB1A1所在的平面上，
∴P点的轨迹为一条抛物线
故选D
点评：本题考查的知识点是轨迹方程，圆锥曲线的形状，其中分析出DP的轨迹是一个以DB1为轴，以DP为母线的圆锥，将问题转化为平面截圆锥得到圆锥曲线的形状判断问题，是解答本题的关键．
15、已知A（2，﹣1），B（﹣1，1），O为坐标原点，动点P满足，其中m、n∈R，且2m2﹣n2=2，则动点P的轨迹是（ ）
A、焦距为的椭圆 B、焦距为的椭圆
C、焦距为的双曲线 D、焦距为的双曲线
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：设动点P（x，y），根据向量间的关系得到 m=x+y，n=x+2y，代入2m2﹣n2=2化简可得动点P的轨迹方程．
解答：解：设动点P（x，y ），∵点P满足，其中m、n∈R，且2m2﹣n2=2，
∴（x，y ）=（2m﹣n，n﹣m），∴x=2m﹣n，y=n﹣m，∴m=x+y，n=x+2y，
∴2 （x+y）2﹣（x+2y）2=2，即=1，表示焦距为的双曲线，
故选D．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，用代入法求轨迹方程，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键．
16、已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（ ）21*cnjy*com
A、曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0 B、凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上
C、不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0 D、不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0
17、已知椭圆的右焦点为F，Q、P分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q分FP的比为1：2，则点P的轨迹方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：根据椭圆的性质可得F的坐标，设Q（x'，y'），p（x，y）点Q分FP的比为1：2得y'=y，x'﹣3=即x'=，代入椭圆方程整理后即可得到答案．
解答：解：设Q（x'，y'），p（x，y）；则F（3，0） 由点Q分FP的比为1：2得，
y'=y，x'﹣3=即x'=又因为Q在圆上，
因此：[（即
故选C．
点评：本题主要考查轨迹方程的问题．常需要先设出所求点的坐标（x，y），通过题设条件找到x和y的关系．
18、设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（ ）
A、椭圆 B、线段
C、不存在 D、椭圆或线段
考点：轨迹方程。
专题：计算题。
分析：由基本不等式可得 a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．
解答：解：∵a＞0，∴a+≥2=6．
当 a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．
当 a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
综上，点P的轨迹是线段F1F2或椭圆，
故选 D．
点评：本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a+的范围是解题的关键．
19、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′（2xy，x2﹣y2），例如xOy平面上的点P（2，1）在映射f的作用下对应到uO′v平面上的点P′（4，3），则当点P在线段AB上运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：轨迹方程。21cnjy
分析：设动点P′的坐标B（u，v），则u=2xy，v=x2﹣y2，根据条件消去参数x、y，建立关于u，v的方程．
解答：解：设动点P′的坐标B（u，v），则u=2xy，v=x2﹣y2，21cnjy
又x=1，0≤y≤1，
∴u=2y，u∈（0，2），v=1﹣y2，
消去参数y得：v=1﹣，u∈（ 0，2），21cnjy
故答案选B．
点评：建立u、v与x、y的关系，再由x=1，0≤y≤1，消去参数y，得到关于u、v的方程，并注意自变量取值的范围．
20、已知平面α∥平面β，直线l?α，点P∈l，平面α、β之间的距离为8，则在β内到P点的距离为9的点的轨迹是：（ ）
A、一个圆 B、两条直线
C、四个点 D、两个点
二、填空题（共5小题）
21、两条直线ax+y+1=0和x﹣ay﹣1=0（a≠±1）的交点的轨迹方程是 x2+y2﹣x+y=0（xy≠0） ．
考点：两条直线的交点坐标；轨迹方程。
分析：由两条直线ax+y+1=0和x﹣ay﹣1=0（a≠±1）的方程，构造方程（组），解方程（组）后，求出交点坐标，消去参数a，易得两条直线ax+y+1=0和x﹣ay﹣1=0（a≠±1）的交点的轨迹方程．
解答：解：由（a≠±1）得
（a≠±1）
即x2+y2﹣x+y=0（xy≠0）
点评：求含有参数的两条曲线交点的轨迹方程，我们处理的办法是，构造方程组，将两个曲线方程中的参数表达出来，消参数，然后根据题目要求，判断x，y的取值范围．
22、动圆x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是 x﹣2y﹣1=0（x≠1） ．21cnjy
考点：圆的标准方程；轨迹方程。
专题：计算题。
分析：把圆化为标准方程后得到：圆心为（2m+1，m），r=|m|，（m≠0），令x=2m+1，y=m，消去m即可得到y与x的解析式．
解答：解：把圆的方程化为标准方程得[x﹣（2m+1）]2+（y﹣m）2=m2（m≠0）
则圆心坐标为，因为m≠0，得到x≠1，所以消去m可得x=2y+1即x﹣2y﹣1=021cnjy
故答案为：x﹣2y﹣1=0（x≠1）
点评：此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．做题时注意m的范围．
23、曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；21cnjy
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是 ②③ ．
由（1）式平方化简的：y4+[（x+1）2+（x﹣1）2]y2+（x2﹣1）2﹣a4=0?（舍）
把三角形的面积式子平方的：对于（2）
令?
代入（2）得=≤，
故可知a2所以③正确．
故答案为：②③
点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．
24、（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为 4 ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 π+1
说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．
考点：轨迹方程；函数的周期性。21cnjy
专题：应用题；探究型。21cnjy
分析：由题中信息可知无论正方形是沿着x轴的正方向还是负方向滚动，再次使用点P与x轴接触的x轴方向的路程是4，故其最小正期为4，在正方形的翻滚过程中，函数y=f（x）的两个相邻零点间点P的轨迹如图所示，可得其面积．21cnjy
解答：解：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为
故答案为：4，π+1
点评：考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，本题是一道信息题，考查学生的分析问题能力、阅读能力、推理能力和应用知识解决问题的能力．
25、已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 x= ．
三、解答题（共5小题）
26、已知正四面体ABCD的棱长为3cm．21cnjy
（1）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（2）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．
考点：等可能事件的概率；轨迹方程；平面与平面之间的位置关系。21cnjy
专题：计算题。21cnjy
分析：（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据线面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再结合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，进而得到点P的轨迹为线段QM．
（2）由题意可得：小虫共走过了4条棱，并且得到基本事件总数为81，再分别讨论当小虫走第1条棱时，第2条棱，第3条棱的所有走法，即可得到小虫走12cm后仍回到A点的所有走法为21种，进而根据等可能事件的概率公式求出答案．
解答：解：（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，
所以EQ∥AD，EQ?平面ABD，AD?平面ABD，
所以EQ∥平面ABD．
同理可得：MQ∥平面ABD．
因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，
所以平面QEM∥平面ABD，
所以得到点P的轨迹为线段QM．
（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，
所以小虫共走过了4条棱，
因为每次走某条棱均有3种选择，
所以所有等可能基本事件总数为34=81．
当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，
然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，
若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；
若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；
同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择．
所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能．
所以所求的概率为．
点评：本题主要考查线面平行与面面平行的判定定理，以及考查等可能事件的概率公式，解决此题的关键是仔细审题挖掘题中隐含条件，再结合列举的方法得到所求事件包含的基本事件数，在列举时要做到不重不漏有规律的列举，此题属于中档题．
27、动圆C：（x﹣1）2+y2=1，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
纪教育网
∴所求点的轨迹方程为
（三）参数法：设动弦PQ的方程为y=kx，由21世纪教育网
得：（1+k2）x2﹣2x=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
PQ的中点为（x，y），则：，
消去k得．
点评：考查求轨迹方程的方法，同一个位置关系，因为着手的角度的不同，转化出了三个不同的方向，请读者认真体会这三种情况的同与不同．
28、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（I）求AD边所在直线的方程；
（II）求矩形ABCD外接圆的方程；
（III）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
考点：直线的一般式方程；圆的标准方程；轨迹方程。
分析：（I）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；
（II）先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；
（III）由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．
解答：解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3
又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．
3x+y+2=0．
（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．21世纪教育网
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又．
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．
（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+2，21世纪教育网
即|PM|﹣|PN|=2．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．21世纪教育网
因为实半轴长a=，半焦距c=2．
所以虚半轴长b=．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为．
点评：本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．
29、过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
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得x2+4（kx+1﹣k）2=1621世纪教育网版权所有
得（1+4k2）x2+8k（1﹣k）x+4（1﹣k2）﹣16=0
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．
．
∴．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴kAB=kMP
∴．
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
30、已知点B′为圆A：（x﹣1）2+y2=8上任意一点、点B（﹣1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x0，y0）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线x0x+2y0y=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．
考点：圆的标准方程；与直线关于点、直线对称的直线方程；轨迹方程。
专题：压轴题；数形结合；转化思想；交轨法。
轨迹方程
一、选择题（共20小题）
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
2、已知函数f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a﹣c，b]，则点（a，b）的轨迹是（ ）
A、直线 B、圆锥曲线21*cnjy*com
C、线段 D、点
3、若方程x2+ax+b=0的两根分别为sinθ和cosθ，则点（a，b）的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
4、动点p与定点A（﹣1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为﹣1，则p点的轨迹方程是（ ）
A、x2+y2=1 B、x2+y2=1（x≠±1）21*cnjy*com
C、x2+y2=1（x≠1） D、y=
5、以A（1，3）和B（﹣5，1）为端点的线段AB的中垂线方程是（ ）
A、3x﹣y+8=0 B、3x+y+4=0
C、2x﹣y﹣6=0 D、3x+y+8=0
6、（2010?上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A、（x﹣2）2+（y+1）2=1 B、（x﹣2）2+（y+1）2=4
C、（x+4）2+（y﹣2）2=1 D、（x+2）2+（y﹣1）2=1
7、已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A、π B、4π
C、8π D、9π
8、若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：（ ）
A、 B、
C、 D、
9、如图，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A、一条线段，但要去掉两个点
B、一个圆，但要去掉两个点
C、一个椭圆，但要去掉两个点
D、半圆，但要去掉两个点
10、到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）21*cnjy*com
A、x﹣y=0 B、x+y=0
C、|x|﹣y=0 D、|x|﹣|y|=0
11、设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
（ ）
A、圆 B、两条平行直线21*cnjy*com
C、抛物线 D、双曲线
12、已知△ABC的两个顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的第三个顶点在一条双曲线（y≠0）上，则△ABC的内心的轨迹所在图象为（ ）
A、两条直线 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线
13、已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线
14、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在ABB1A1所在的平面上，满足∠PDB1=∠MDB1，则点P的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆
C、双曲线 D、抛物线
15、已知A（2，﹣1），B（﹣1，1），O为坐标原点，动点P满足，其中m、n∈R，且2m2﹣n2=2，则动点P的轨迹是（ ）
A、焦距为的椭圆 B、焦距为的椭圆
C、焦距为的双曲线 D、焦距为的双曲线
16、已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（ ）21*cnjy*com
A、曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0
B、凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上
C、不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0
D、不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0
17、已知椭圆的右焦点为F，Q、P分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q分FP的比为1：2，则点P的轨迹方程为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
18、设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（ ）
A、椭圆 B、线段
C、不存在 D、椭圆或线段21*cnjy*com
19、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′（2xy，x2﹣y2），例如xOy平面上的点P（2，1）在映射f的作用下对应到uO′v平面上的点P′（4，3），则当点P在线段AB上运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是（ ）
A、 B、
C、 D、
20、已知平面α∥平面β，直线l?α，点P∈l，平面α、β之间的距离为8，则在β内到P点的距离为9的点的轨迹是：（ ）
A、一个圆 B、两条直线
C、四个点 D、两个点
二、填空题（共5小题）
21、两条直线ax+y+1=0和x﹣ay﹣1=0（a≠±1）的交点的轨迹方程是 _________ ．
22、动圆x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是 _________ ．
23、曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；21*cnjy*com
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．21*cnjy*com
其中，所有正确结论的序号是 _________ ．
24、（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为 _________ ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 _________
说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．21*cnjy*com
25、已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（2）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．
27、动圆C：（x﹣1）2+y2=1，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
28、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
29、过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．21*cnjy*com
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；21*cnjy*com
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
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30、已知点B′为圆A：（x﹣1）2+y2=8上任意一点、点B（﹣1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x0，y0）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线x0x+2y0y=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．
