二元二次方程表示圆的条件
一、选择题（共10小题）
1、方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（ ）
A、a＜﹣2 B、﹣＜a＜0
C、﹣2＜a＜0 D、﹣2＜a＜
2、已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A、（2，+∞） B、（﹣2，+∞）
C、（﹣∞，2） D、（﹣∞，1）
3、若方程x2+y2﹣x﹣2y+c=0（c∈R）是一个圆的一般方程，则c（ ）
A、c≥ B、c∈R
C、c= D、c＜
4、A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、不充分不必要条件
5、A，B为球面上相异两点，则通过A，B所作的大圆个数为（ ）
A、1个 B、无数个
C、一个也没有 D、1个或无数个
6、如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与y轴的两个交点分别位于原点的两侧，那么（ ）
A、D≠0，F＞0 B、E=0，F＞0
C、E≠0，D=0 D、F＜0
7、方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（ ）
A、2，4，4 B、﹣2，4，4
C、2，﹣4，4 D、2，﹣4，﹣4
8、圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）
A、 B、2π
C、 D、4π
9、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A、k=4或k=﹣1 B、k＞4或k＜﹣1
C、﹣1＜k＜4 D、以上都不对
10、方程x2+y2﹣4x+4y+10﹣k=0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A、k＜2 B、k＞2
C、k≥2 D、k≤2
二、填空题（共15小题）
11、给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x2+ax+b）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2﹣x）图象关于直线x=2对称；
③方程ln x+x=4有且只有一个实数根；
④a=﹣1是方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆的充分必要条件
⑤过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆与其右准线相离其中真命题的序号是 _________ ．（写出所有真命题的序号）
12、如果圆：x2+y2+2x+4y+m=0上恰有两点到直线l：x+y+1=0的距离为，则m的取值范围是 _________ ．
13、若关于x，y的方程x2+y2﹣2（m+3）x+2（1﹣4m2）y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围是 _________ ．
14、方程x2+y2﹣2x+2y+2=0表示的图形是 _________ ．
15、方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是 _________ ．
16、A=C≠0且B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 _________ ．
17、若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为 _________ ．
18、如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是 _________ ．
19、若关于x，y的方程x2+y2﹣2（m﹣3）x+2y+5=0表示一个圆，则实数m的取值范围是 _________ ．
20、若方程x2+y2+4x﹣2y+5m=0表示圆，则实数m的取值范围是 _________ ．
21、若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 _________ ．
22、给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x2+bx+c）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2﹣x）图象关于直线x=2对称；
③方程lnx+x=4有且只有一个实数根；
④a=﹣1是方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆的充分不必要条件．其中真命题的序号是 _________ ．（写出所有真命题的序号）
23、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是 _________ ．
24、若方程x2+y2+kx+2y+k2﹣11=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 _________ ．如果过点（1，2）总可以作两条直线和圆x2+y2+kx+2y+k2﹣11=0相切，则实数k的取值范围是 _________ ．
25、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共1小题）
26、当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？
答案与评分标准
一、选择题（共10小题）
1、方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（ ）
A、a＜﹣2 B、﹣＜a＜0
C、﹣2＜a＜0 D、﹣2＜a＜
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件，得到关于a的一元二次不等式，整理成最简单的形式，解一元二次不等式得到a的范围，得到结果．
解答：解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆
∴a2+4a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0
∴3a2+4a﹣4＜0，
∴（a+2）（3a﹣2）＜0，
∴
故选D．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查一元二次不等式的解法，是一个比较简单的题目，这种题目可以单独作为一个选择或填空出现．
2、已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A、（2，+∞） B、（﹣2，+∞）
C、（﹣∞，2） D、（﹣∞，1）
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据所给的圆的一般方程，写出二元二次方程表示圆的充要条件，得到关于a的表达式，解不等式即可．
解答：解：∵方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，
∴22+22﹣4a＞0
∴4a＜8
∴a＜2，
故选C．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，本题解题的关键是记住它表示圆的充要条件，再正确的解出表达式即可．
3、若方程x2+y2﹣x﹣2y+c=0（c∈R）是一个圆的一般方程，则c（ ）
A、c≥ B、c∈R
C、c= D、c＜
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：将圆化为标准方程，再利用半径大于0即可
解答：解：化为标准方程为：，由题意得，，∴，
故选D．
点评：本题注意考查圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题．
4、A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、不充分不必要条件
5、A，B为球面上相异两点，则通过A，B所作的大圆个数为（ ）
A、1个 B、无数个
C、一个也没有 D、1个或无数个
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：分类讨论。
分析：分①当A，B两点与球心在同一条直线上时，②当A，B两点与球心不在同一条直线上时，两种情况研究．
解答：解：当A，B两点与球心在同一条直线上时，通过A，B所作的大圆个数为无数个，
当A，B两点与球心不在同一条直线上时，根据过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面，
此平面与球面的交线就是一个大圆．综上，通过A，B所作的大圆个数为1个或无数个．
故选 D．
点评：本题考查球面的性质，经过球的一条直径的大圆有无数个，当A，B两点与球心不在同一条直线上时，过这三个点的大圆只有一个．
6、如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与y轴的两个交点分别位于原点的两侧，那么（ ）
A、D≠0，F＞0 B、E=0，F＞0
C、E≠0，D=0 D、F＜0
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：转化思想。
分析：令x=0，则圆的方程为y2+Ey+F=0，将圆与y轴的相交问题，转化为方程y2+Ey+F=0的解的情况分析，根据一元二次方程的根与系数的关系，分析可得答案．
解答：解：令x=0，则圆的方程为y2+Ey+F=0，
当E2＞4F时，即方程有两解时，
则这个方程的两根为该圆与y轴的交点的纵坐标，
根据题意，要求该圆与y轴的两个交点分别位于原点的两侧，
由根与系数的关系，有F＜0，
且满足E2＞4F，方程有两解的条件，
故选D．
点评：本题考查圆的方程综合运用，注意圆与坐标轴的交点，可以令x或y的值为0，即可求得其与坐标轴交点的情况．
7、方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（ ）
A、2，4，4 B、﹣2，4，4
C、2，﹣4，4 D、2，﹣4，﹣4
8、圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）
A、 B、2π
C、 D、4π
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．
解答：解：x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2
所以圆的半径为，故周长为
故选A
点评：本题考查圆的一般方程和标准方程，属基础知识的考查．
9、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A、k=4或k=﹣1 B、k＞4或k＜﹣1
C、﹣1＜k＜4 D、以上都不对
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据二元二次方程表示圆的条件，直接得到不等式，求出k的取值范围．
解答：解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，所以D2+E2﹣4F=4k2+16﹣12k﹣32＞0，即k2﹣3k﹣4＞0，所以k＞4或k＜﹣1；
故选B．
点评：本题是基础题，考查二元二次方程表示圆的条件，不等式的求法，考查计算能力．
10、方程x2+y2﹣4x+4y+10﹣k=0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A、k＜2 B、k＞2
C、k≥2 D、k≤2
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于变量k的不等式，根据不等式的基本性质解出k的取值范围即可．
解答：解：∵方程x2+y2﹣4x+4y+10﹣k=0表示圆
∴16+16﹣4（10﹣k）＞0，
∴4k＞8，
∴k＞2，
故选B．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的充要条件，考查不等式的解法，本题的运算量非常小，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现在试卷中．
二、填空题（共15小题）
11、给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x2+ax+b）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2﹣x）图象关于直线x=2对称；
③方程ln x+x=4有且只有一个实数根；
④a=﹣1是方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆的充分必要条件
⑤过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆与其右准线相离其中真命题的序号是 ②、⑤ ．（写出所有真命题的序号）
12、如果圆：x2+y2+2x+4y+m=0上恰有两点到直线l：x+y+1=0的距离为，则m的取值范围是 （﹣3，5） ．
考点：点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件。
专题：转化思想。
分析：先求出圆心和半径，再设过圆心C（﹣1，﹣2）求出圆心到直线l：x+y+1=0的距离，由题设条件知：圆的半径r，，由此可知m的取值范围．
解答：解：由题设知圆心C（﹣1，﹣2），半径r=，
圆心到直线l：x+y+1=0的距离，
如果圆：x2+y2+2x+4y+m=0上恰有两点到直线l：x+y+1=0的距离为，
由题设条件知，
解得﹣3＜m＜5．
故答案为：（﹣3，5）．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的合理运用．正确理解题意是本题的关键，考查计算能力，转化思想．
13、若关于x，y的方程x2+y2﹣2（m+3）x+2（1﹣4m2）y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围是 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据圆的一般方程的特征，得到 4 （m+3）2+4×（1﹣4m2）2﹣4（16m4+9）＞0，求出实数m的取值范围．
解答：解：由题意可得 4 （m+3）2+4×（1﹣4m2）2﹣4（16m4+9）＞0，
∴（7m+1）（m﹣1）＜0，
∴，
故答案为．
点评：本题考查圆的一般方程的特征，得到 4 （m+3）2+4×（1﹣4m2）2﹣4（16m4+9）＞0，是解题的关键．
14、方程x2+y2﹣2x+2y+2=0表示的图形是 坐标为（1，﹣1）的点 ．
15、方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是 m＜或m＞1 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：常规题型。
分析：首先分析充分性，根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆，必有m＜或m＞1，再分析必要性，
化简x2+y2+4mx﹣2y+5m=0可得（x+2m）2+（y﹣1）2=16m2+4﹣20m，若有m＜或m＞1，可得16m2+4﹣20m＞0，即方程表示圆，综合可得答案．
解答：解：根据二元二次方程表示圆的条件，
若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆，必有16m2+4﹣20m＞0，
解可得，m＜或m＞1，
即x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充分条件是m＜或m＞1，
反之，若有m＜或m＞1，
则x2+y2+4mx﹣2y+5m=0?（x+2m）2+（y﹣1）2=16m2+4﹣20m，
分析可得，16m2+4﹣20m＞0，
则x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆，
则x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的必要条件是m＜或m＞1，
综合可得，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是m＜或m＞1．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E2﹣4F＞0，注意本题涉及充要条件，必须从充分性与必要性两方面考虑．
16、A=C≠0且B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 必要非充分条件 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：常规题型。
分析：根据x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的标准方程，它表示圆的充要条件是D2+E2﹣4F＞0，结合这个充要条件，比较所给的二元二次方程的表达式，得到前者是后者的必要不充分条件．
解答：解：∵A=C≠0且B=0
∴方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0变形为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，
即x2+y2+x+y+=0
本方程要表示圆，还要满足，
∴方程表示圆一定能够推出A=C≠0且B=0，
反过来不成立，
故答案为：必要非充分条件
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意各项的系数之间的关系，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．
17、若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为 m ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果．
解答：解：方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，
则1+1﹣4m＞0，
∴m
故答案为：m
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系．
18、如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是 ．
19、若关于x，y的方程x2+y2﹣2（m﹣3）x+2y+5=0表示一个圆，则实数m的取值范围是 m＞5或m＜﹣1 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据圆的一般方程的特征可得 4（m﹣3）2+4﹣20＞0，解不等式求出实数m的取值范围．
解答：解：根据圆的一般方程的特征可得，4（m﹣3）2+4﹣20＞0，∴（m﹣3）2＞4，
∴m＞5或m＜﹣1，
故答案为 m＞5或m＜﹣1．
点评：本题考查圆的一般方程的特征，一元二次不等式的解法，得到 4（m﹣3）2+4﹣20＞0，是解题的关键．
20、若方程x2+y2+4x﹣2y+5m=0表示圆，则实数m的取值范围是 m＜1 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
分析：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F=0），若方程x2+y2+4x﹣2y+5m=0表示圆，必须满足42+（﹣2）2﹣4×5m＞0，解出即得．
解答：解：根据题意有42+（﹣2）2﹣4×5m＞0，∴m＜1
故答案为m＜1．
点评：本题主要考查圆的一般方程，注意二元二次方程表示圆的条件限制．
21、若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 m＜5（或（﹣∞，5）） ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围．
解答：解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，
故答案为：（﹣∞，5）．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0．
22、给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x2+bx+c）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2﹣x）图象关于直线x=2对称；
③方程lnx+x=4有且只有一个实数根；
④a=﹣1是方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆的充分不必要条件．其中真命题的序号是 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
23、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的表达式，化简整理得到一元二次不等式的表示式，解不等式即可．
解答：解：∵方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，
∴（2k）2+16﹣4（3k+8）＞0
∴k2﹣3k﹣4＞0，
∴k＞4，k＜﹣1
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，本题是一个基础题，解题的过程中要注意看清题目中两个二次项的系数，化为1以后再做题目．
24、若方程x2+y2+kx+2y+k2﹣11=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 （﹣4，4） ．如果过点（1，2）总可以作两条直线和圆x2+y2+kx+2y+k2﹣11=0相切，则实数k的取值范围是 （﹣4，﹣2）∪（1，4） ．
25、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是 k＞4或k＜﹣1 ．
考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：计算题。
分析：将方程化为标准方程，再由半径的平方大于零求解．
解答：解：将x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为标准方程，（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣4，
则k2﹣3k﹣4＞0时，方程表示圆，解得：k＞4或k＜﹣1，
故答案为：k＞4或k＜﹣1．
点评：本题考查了二元二次方程表示圆的条件，可用配方法化为标准方程在求解，也可利用一般方程的条件求解．
三、解答题（共1小题）
26、当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？
