直线和圆的方程的应用
一、选择题（共19小题）
1、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）
A、 B、2
C、 D、2
2、如图，定圆半径为a，圆心坐标为（b，c），则直线ax+by+c=0，与直线x+y﹣1=0的交点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
3、已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A、8 B、6
C、 D、4
4、直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A、[﹣，0] B、[﹣∝，﹣][0，+∝]
C、[﹣] D、[﹣，0]
5、若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A、x﹣y﹣3=0 B、2x+y﹣3=0
C、x+y﹣1=0 D、2x﹣y﹣5=0
6、若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上，总存在不同两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是（ ）
A、（，）
B、（﹣，﹣）
C、（﹣，﹣）∪（，）
D、（﹣，）
7、已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过点A（3，5）的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
8、在直角坐标系中，O是原点，=（﹣2+cosθ，﹣2+sinθ） （θ∈R），动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为（ ）
A、4 B、5
C、2 D、
9、直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）
A、1 B、2
C、 D、
10、已知⊙C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）和点B（2，a），从点A观察点B，要使视线不被⊙C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B、
C、
D、
11、已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
12、直线y=x截圆所得的弦长为（ ）
A、1 B、
C、2 D、
13、直线与y轴的交点为P，点P把圆（x﹣1）2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
A、或 B、或
C、或 D、或
14、已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（ ）
A、8 B、﹣4
C、6 D、无法确定
15、直线y=x截圆（x﹣2）2+y2=4所得的弦长为（ ）
A、1 B、
C、2 D、
16、已知直线4x﹣3y﹣12=0与两坐标轴分别相交于A、B两点，圆C的圆心的坐标原点，且与线段AB有两个不同交点，则圆C的面积的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（9π，16π）
17、直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（ ）
A、 B、
C、2 D、
18、圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长等于（ ）
A、 B、
C、1 D、5
19、已知圆（3﹣x）2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则|OP|?|OQ|的值为（ ）
A、1+m2 B、
C、5 D、10
二、填空题（共5小题）
20、已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|x2+y2≤r2，r＞0}若点（x，y）∈A是点（x，y）∈B的必要条件，则r的最大值是 _________ ．21*cnjy*com
21、过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= _________ ．
22、设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 _________ ．
23、若点M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 _________
24、由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为 _________ ．21*cnjy*com
三、解答题（共6小题）
25、设m∈R，A={（x，y）|y=﹣x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}（θ1≠θ2），求m的取值范围．
26、直线l：与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．
（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；21*cnjy*com
（2）求S的最大值，并求此时直线l的方程．
27、设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足?=0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．
28、在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为1，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．
29、直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．
30、已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）设l与圆交于A、B两点，若，求直线l的方程．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）
A、 B、2
C、 D、2
考点：直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．
解答：解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：21*cnjy*com
x2+（y﹣2）2=4，
即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，
∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，
∴ON=，
∴弦长2，
故选D．
点评：要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．
2、如图，定圆半径为a，圆心坐标为（b，c），则直线ax+by+c=0，与直线x+y﹣1=0的交点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：两条直线的交点坐标；直线和圆的方程的应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：先求出两直线的交点的坐标，由题中的图象可知，b＞a＞c，再判断交点的横坐标、纵坐标的符号，从而得到
两直线的交点所在的象限．
解答：解：把直线ax+by+c=0与直线x+y﹣1=0 联立方程组，解得它们的交点坐标为（，），
由题中的图象可知，b＞a＞c，故有＞0，＜0，21*cnjy*com
∴交点（，） 在第四象限，
故选 D．
点评：本题考查求两直线的交点的坐标的方法，通过考查交点的横坐标、纵坐标的符号，判断交点所在的象限．
关键是解读图象信息，得到b＞a＞c，体现了数形结合数学思想．
3、已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A、8 B、6
C、 D、4
考点：圆的一般方程；点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：由题意可得AB=，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．
解答：解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0 即 （x﹣2）2+（y+2）2=2，
∴圆心（2，﹣2），半径是 r=．
直线AB的方程为x﹣y+2=0，
圆心到直线AB的距离为=3，
直线AB和圆相离，
点C到直线AB距离的最小值是 3﹣r=3﹣=2，
△ABC的面积的最小值为=4
故选D．
点评：本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．
4、直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A、[﹣，0] B、[﹣∝，﹣][0，+∝] 21*cnjy*com
C、[﹣] D、[﹣，0]
考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用。21*cnjy*com
分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．
解答：解：解法1：圆心的坐标为（3．，2），且圆与x轴相切．21*cnjy*com
当，弦心距最大，
由点到直线距离公式得
解得k∈；
故选A．
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，
故选A．
点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．
5、若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A、x﹣y﹣3=0 B、2x+y﹣3=0
C、x+y﹣1=0 D、2x﹣y﹣5=0
考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
解答：解：已知圆心为O（1，0）
根据题意：Kop=
kABkOP=﹣1
kAB=1
∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=021*cnjy*com
故选A
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．
6、若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上，总存在不同两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是（ ）
A、（，） B、（﹣，﹣）
C、（﹣，﹣）∪（，） D、（﹣，）
考点：直线和圆的方程的应用；两点间的距离公式。
专题：计算题；转化思想。21*cnjy*com
分析：根据题意知：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，因此两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，列出不等式，解此不等式即可．
解答：解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d==|a|，
∴2﹣1＜|a|＜2+1 即：＜|a|＜，
∴﹣＜a＜﹣或＜a＜
实数a的取值范围是 （﹣，﹣）∪（，）
故选C．
点评：本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，属中档题．
7、已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过点A（3，5）的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，根据勾股定理求出最短弦的长度即可．
解答：解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，
设过（3，5）的最长的弦为直径AC，最短的弦为BD
由题意得，最短弦为过（3，5）且垂直于直径AC的弦．
根据勾股定理得最短的弦|BD|=
故选C．
点评：考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力．
8、在直角坐标系中，O是原点，=（﹣2+cosθ，﹣2+sinθ） （θ∈R），动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为（ ）21*cnjy*com
A、4 B、5
C、2 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
分析：由=（﹣2+cosθ，﹣2+sinθ）可知Q点的轨迹方程为圆心为（﹣2，﹣2），半径为1的圆，设出P的坐标（3，b），切线长为d，根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理列出等式，利用二次函数求最小值的方法求出d的最小值即可．
解答：解：根据=（﹣2+cosθ，﹣2+sinθ）可知Q点的轨迹方程为圆心为（﹣2，﹣2），半径为1的圆，
所以设P（3，b），切线长为d，则P点到圆心的距离=．21*cnjy*com
根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理得：
d2+1=25+（b+2）2即d2=（b+2）2+24，当b=﹣2时，d2的最小值为24，∵d＞0，得到d的最小值为2．
故选C21*cnjy*com
点评：考查学生会根据条件得到动点的轨迹方程，会求两点之间的距离，会求二次函数的最值，理解直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形．
9、直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）
A、1 B、221*cnjy*com
C、 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．
解答：解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0
故其圆心为（0，2），半径为：2
圆心到直线的距离为：
由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形
故由勾股定理可得：
解得：l=2
故答案为：2
点评：本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题．
10、已知⊙C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）和点B（2，a），从点A观察点B，要使视线不被⊙C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B、
C、 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：先由圆心到切线的距离等于圆的半径，求出过点A的圆的切线方程，再求出切线和直线x=2 的交点坐标，a的取值范围可得．
解答：解：点B在直线 x=2 上，过点A（﹣2，0）作圆的切线，
设切线的斜率为k，由点斜式求得切线方程为 y=k（x+2），即 kx﹣y+2k=0，
由圆心到切线的距离等于半径得=1，
∴k=±，
∴切线方程为：y=±（x+2 ）和直线x=2 的交点坐标为：
（，0）、（﹣，0），21*cnjy*com
故要使视线不被⊙C挡住，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），
故选 C．
点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，待定系数法求圆的切线方程，以及求两直线的交点坐标的方法．
11、已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
考点：直线和圆的方程的应用。21*cnjy*com
专题：计算题；数形结合。
分析：如图所示，最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以只要求得圆心到直线的距离即可．
解答：解：∵x2+y2=1
∴圆心（0，0），半径为1
圆心到直线的距离为：
如图所示：圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是d﹣r=421*cnjy*com
故选B
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，在求圆上点到直线的距离最大或最小时，最大值为圆心到直线的距离加上半径，最小值为圆心到直线的距离减去半径．
12、直线y=x截圆所得的弦长为（ ）21cnjy
A、1 B、
C、2 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：求出圆心与半径，利用圆心与直线的距离，圆的半径与半弦长的关系，求出弦长即可．
解答：解：圆的圆心坐标为（），半径为：．21cnjy
圆心到直线的距离为：=1，
所以弦长为：=2．
直线y=x截圆所得的弦长为：2．21cnjy
故选C．
点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，注意弦长与半径弦心距的关系，考查计算能力．
13、直线与y轴的交点为P，点P把圆（x﹣1）2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
A、或 B、或
C、或 D、或
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：解出直线与y轴的交点为P的坐标，求出其到圆心的距离，则可求出其分直径所成的两条线段的长度，考虑到不知比值中那一条线段长度是分子，故得出两个结果．
解答：解：对直线，令x=0，得y=，故P（0，）
∵圆心的坐标是O（1，0）
∴|OP|=2
又半径长为5，故P分直径所成的两线段长度分别为3与7
其长度之比为或
故选B．
点评：考点是直线与圆的位置关系，主要的解题工具是圆的标准方程的定义，两点间距离公式．
14、已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（ ）
A、8 B、﹣4
C、6 D、无法确定
考点：直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线。
专题：计算题。
分析：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．
解答：解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，
所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），
从而﹣+3=0，即m=6．
故选C．
点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．21cnjy
15、直线y=x截圆（x﹣2）2+y2=4所得的弦长为（ ）
A、1 B、
C、2 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：由已知中直线y=x和圆（x﹣2）2+y2=4的方程，求出圆心坐标和半径，及弦心距，根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦长．
解答：解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径R=221cnjy
则圆心到直线y=x的距离d=
由半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理21cnjy
可得l=2=2
故选B
点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，是求直线截圆所得弦长最常用的方法．
16、已知直线4x﹣3y﹣12=0与两坐标轴分别相交于A、B两点，圆C的圆心的坐标原点，且与线段AB有两个不同交点，则圆C的面积的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（9π，16π）
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：由直线4x﹣3y﹣12=0与两坐标轴分别相交于A、B两点，圆C的圆心的坐标原点，且与线段AB有两个不同交点，则圆的半径应该大于原点到直线的距离，小于等于原点到A点的距离，由此不难给出圆C的面积的取值范围．
解答：解：直线4x﹣3y﹣12=0与两坐标轴分别相交于A、B两点
则A（3，0），B（0，﹣4），且原点到直线的距离d=
又∵直线4x﹣3y﹣12=0与线段AB有两个不同交点
则d＜r≤|OA|
即＜r≤3
则圆的面积S有：
故选B
点评：要求圆面积的取值范围，先要确定圆半径的取值范围，根据已知条件，我们不难给出半径应该大于圆心到直线的距离，而小于等于圆心到线段端点的距离．
17、直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（ ）
A、 B、
C、2 D、
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．
解答：解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，
根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．
圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=21世纪教育网
故选D．
点评：考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．
18、圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长等于（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、1 D、5
考点：直线和圆的方程的应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：已知圆x2+y2﹣4x+4y+6=0，易得圆心和半径．再利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可算出弦长．
解答：解：已知圆x2+y2﹣4x+4y+6=0，易得圆心为（2，﹣2），半径为．
圆心为（2，﹣2）到直线x﹣y﹣5=0易得为．
利用几何性质，则弦长为2=．
故选A．
点评：计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是，利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可．
19、已知圆（3﹣x）2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则|OP|?|OQ|的值为（ ）
A、1+m2 B、
C、5 D、10
考点：直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：先求圆心和半径，再求出切线长，即可得到结论．
解答：解：圆（3﹣x）2+y2=4的圆心（3，0）半径是2，
则原点到切点的距离是
由切割线定理可知：|OP|?|OQ|=
故选C．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，圆的方程的应用，切割线定理，是基础题．21世纪教育网
二、填空题（共5小题）
20、已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|x2+y2≤r2，r＞0}若点（x，y）∈A是点（x，y）∈B的必要条件，则r的最大值是 ．
考点：集合关系中的参数取值问题；直线和圆的方程的应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：此题是线性规划和解析几何中圆的知识相联系的一道综合题，解答时要充分利用好数形结合的思想对问题进行转化；同时针对与充要条件的信息可以得到：在B对应区域内的点一定在A对应的区域内，最终综合分析找到临界状态，列出求参数r的方程解出即可．21世纪教育网
解答：解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}表示正方形内部的点，包含边界
集合B={（x，y）|x2+y2≤r2，r＞0}表示圆的内部的点，包含边界
根据点（x，y）∈A是点（x，y）∈B的必要条件可知在B对应区域内的点一定在A对应的区域内，
当圆与正方形相切时r最大即为（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离
∴r=d==
故答案为：
点评：本题考查了线性规划问题、圆的知识还有充要条件问题，属综合类问题．针对于现行规划还有解析几何中的圆要善于利用数形结合，分析转化问题．针对于充要条件的知识要注意从两个角度分析推出还是推不出还有条件是什么、结论是什么．当然结合所有信息找出临界状态，从而找到一个方程解出一个参数的思维规律值得同学们反思整理．
21、过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ．
点评：垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所地的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小…．21世纪教育网
22、设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 3x﹣2y﹣3=0 ．
考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。
分析：联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式．21世纪教育网
解答：解：联立得：解得：13x2﹣14x﹣26=0，同理解得13y2+18y﹣7=021世纪教育网
因为点A和点B的中点M的坐标为（x=，y=），利用根与系数的关系可得：M（，﹣）；
又因为直线AB的斜率为﹣，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1可知垂直平分线的斜率为；
所以弦AB的垂直平分线方程为y+=（x﹣），化简得3x﹣2y﹣3=0
故答案为3x﹣2y﹣3=0．
点评：考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为﹣1，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．
23、若点M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 y+x﹣3=0．
考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：由题意知当M时弦的中点时弦最短，此时直线与过M和圆心的直线垂直，求出斜率，再求出直线方程．
解答：解：将x2+y2﹣8x﹣2y+10=0化为标准方程：（x﹣4）2+（y﹣1）2=7，
∴圆心C的坐标（4，1），
∵M点在圆内，∴当过M点的直线与CM垂直时，所得弦最短，
∴所求直线的斜率k=﹣=﹣1，代入点斜式方程得，y=﹣1×（x﹣3），
即所求的直线方程为：x+y﹣3=0．
故答案为：x+y﹣3=0．
点评：本题主要考查求直线方程，关键清楚过圆内一点的直线与过该点和圆心的直线垂直时所得的弦最短，求出斜率．
24、由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为 ．
考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用。
分析：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
解答：解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，
显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．21世纪教育网
圆心到直线的距离为：．
切线长的最小值为：，
故答案为：
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．21世纪教育网
三、解答题（共6小题）
25、设m∈R，A={（x，y）|y=﹣x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}（θ1≠θ2），求m的取值范围．
考点：交集及其运算；直线和圆的方程的应用。21世纪教育网
专题：应用题；数形结合。
分析：集合A、B都是点集，集合A是直线上的点，集合B是除了一点（1，0）的单位圆上的所有点，A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}（θ1≠θ2），说明直线y=﹣x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，即圆心到直线的距离小于半径，且直线不过点（1，0），列出不等式，解可得答案．
解答：解：根据题意，直线y=﹣x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，
∴＜1且0≠﹣×1+m．
∴﹣2＜m＜2且m≠，
所以m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠．
点评：本题以集合为载体考查了直线圆的位置关系，属于一道中档题，题目比较有新意．
26、直线l：与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．
（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；
（2）求S的最大值，并求此时直线l的方程．
考点：函数的定义域及其求法；直线和圆的方程的应用。
分析：①根据点到线的距离公式：d=能够算出圆心O到直线l的距离，再表示出弦长|AB|的长度，即，|AB|=2从而三角形面积公式表示出△ABO的面积为S．
②对（1）中所求的△ABO面积表达式进行分离常数处理，即，=
再根据配方法求出s的最大值及此时对应的k的值，最后求出直线方程．
解答：解：（1）圆心O到直线l的距离，
∵l与圆O相交，
∴d＜2，
∴k＞1或k＜﹣1．
∴（k＞1或k＜﹣1）．
（2），
∴时，有s（k）max=2．
故，直线l的方程为：或．
点评：本题综合考查直线和圆的方程的联立问题，同时要注意①点到线的距离公式②直角三角形等．
27、设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足?=0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（﹣1，3）在直线上．代入得m=﹣1．21世纪教育网版权所有
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=﹣x+b．
将直线y=﹣x+b代入圆方程，得2x2+2（4﹣b）x+b2﹣6b+1=0．21世纪教育网版权所有
△=4（4﹣b）2﹣4×2×（b2﹣6b+1）＞0，得2﹣3＜b＜2+3．
由韦达定理得x1+x2=﹣（4﹣b），x1?x2=．21世纪教育网版权所有
y1?y2=b2﹣b（x1+x2）+x1?x2=+4b．
∵?=0，∴x1x2+y1y2=0，
即b2﹣6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2﹣3，2+3）．
∴所求的直线方程为y=﹣x+1．
点评：本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题．
28、在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为1，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．
考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（II）与（I）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．
解答：解：（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C1不相交，
故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），
即kx﹣y﹣4k=0圆C1圆心（﹣3，1）到直线的距离，
直线l被圆C1截得的弦长为，则，21世纪教育网版权所有
联立以上两式可得k=0或，
故所求直线l方程为y=0或．21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y﹣b=2（x﹣a），l2：，
因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，
故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，21世纪教育网版权所有
即，
解得：a﹣3b=21或3a+b﹣7=0．
点评：在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．
29、直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．
考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。
专题：计算题。
分析：先画出图象可得到直线l的斜率k存在，然后根据直线的点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离可得到，再由Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，得到可求出k的值，进而可得到最后答案．
解答：解：如图易知直线l的斜率k存在，
设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）
圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）
半径r=5，圆心到直线l的距离
在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，
∴2k2﹣5k+2=0，
∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查直线方程的点斜式方程、点到直线的距离公式勾股定理的运用．考查综合运用能力和计算能力．
30、已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=021世纪教育网版权所有
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）设l与圆交于A、B两点，若，求直线l的方程．
