相交弦所在直线的方程
一、选择题（共5小题）
1、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）
A、x+y+3=0 B、2x﹣y﹣5=0
C、3x+y﹣3=0 D、4x﹣3y+7=0
2、已知两圆⊙C1：x2+y2+D1x+E1y﹣3=0和⊙C1：x2+y2+D2x+E2y﹣3=0都经过点A（2，﹣1），则同时经过点（D1，E1）和点（D2，E2）的直线方程为（ ）
A、2x﹣y+2=0 B、x﹣y﹣2=0
C、x﹣y+2=0 D、2x+y﹣2=0
3、圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）
A、x﹣2y=0 B、x+2y=0
C、2x﹣y=0 D、2x+y=0
4、圆x2+y2﹣2x﹣8=0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的公共弦所在的直线方程是（ ）
A、x+y+1=0 B、x+y﹣3=0
C、x﹣y+1=0 D、x﹣y﹣3=0
5、已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c=0上，则t+c的值是（ ）
A、﹣3 B、﹣2
C、0 D、1
二、填空题（共12小题）
6、已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 _________ ．
7、两圆：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y﹣4=0的公共弦所在直线方程为 _________ ．
8、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是 _________ ．
9、圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为 _________ ．
10、已知圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=13和圆（x﹣3）2+y2=9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是 _________ ．
11、已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10与圆C2：（x+6）2+（y+3）2=50交于A、B两点，则AB所在的直线方程是 _________ ．
12、经过两圆x2+y2+3x﹣y=0和x2+y2+2x+y=0的交点的直线方程 _________ ．
13、已知圆 x2+y2=4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5=0相交，则它们的公共弦所在的直线方程是 _________ ．
14、圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3：所截得的弦长是 _________ ．
15、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则直线AB的方程是： _________ ．
16、已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是 _________ ．
17、两曲线x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y﹣4=0交于点A、B，则|AB|= _________ ．
三、解答题（共5小题）
18、已知圆C的圆心为（2，1），且圆C与圆x2+y2﹣3x=0的公共弦所在的直线经过点（5，﹣2），求圆C的方程．
19、已知两圆相交于点A（1，3），B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上．
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．
20、已知点M（﹣2，0），⊙O：x2+y2=1（如图）；若过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的，求直线l1的方程．
21、已知两圆x2+y2﹣10x﹣10y=0，x2+y2+6x﹣2y﹣40=0，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．
22、已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
答案与评分标准
一、选择题（共5小题）
1、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）
A、x+y+3=0 B、2x﹣y﹣5=0
C、3x+y﹣3=0 D、4x﹣3y+7=0
考点：圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：通过平面几何的知识可知AB的垂直平分线即是两圆的连心线，进而通过两圆的方程分别求得圆心坐标，利用两点式求得直线的方程．
解答：解：整理两圆的方程可得（x﹣2）2+（y+3）2=13，x2+（y﹣3）2=9
∴两圆的圆心分别为（2，﹣3），（0，3）
由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线
∴连心线的斜率为=﹣3
∴直线方程为y﹣3=﹣3x，整理得3x+y﹣3=0
故选C
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系及其判定．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
2、已知两圆⊙C1：x2+y2+D1x+E1y﹣3=0和⊙C1：x2+y2+D2x+E2y﹣3=0都经过点A（2，﹣1），则同时经过点（D1，E1）和点（D2，E2）的直线方程为（ ）
A、2x﹣y+2=0 B、x﹣y﹣2=0
C、x﹣y+2=0 D、2x+y﹣2=0
3、圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）
A、x﹣2y=0 B、x+2y=0
C、2x﹣y=0 D、2x+y=0
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=﹣1即可求出公共弦所在直线方程．
解答：解：经过圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共点的圆系方程为：x2+y2+2x+λ（x2+y2﹣4y）=0
令λ=﹣1，可得公共弦所在直线方程：x+2y=0
故选B
点评：本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力．
4、圆x2+y2﹣2x﹣8=0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的公共弦所在的直线方程是（ ）
A、x+y+1=0 B、x+y﹣3=0
C、x﹣y+1=0 D、x﹣y﹣3=0
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：把圆x2+y2﹣2x﹣8=0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的方程相减即得公共弦所在的直线方程．
解答：解：由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点，既满足一个圆的方程，又满足另一个圆的方程，
把圆x2+y2﹣2x﹣8=0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的方程相减即得公共弦所在的直线方程为 x﹣y+1=0，
故选C．
点评：本题考查两圆的位置关系，求两圆的公共弦所在的直线方程的方法，把圆x2+y2﹣2x﹣8=0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的方程相减即得公共弦所在的直线方程．
5、已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c=0上，则t+c的值是（ ）
A、﹣3 B、﹣2
C、0 D、1
考点：相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系。
专题：计算题。
分析：由相交弦的性质，可得AB与直线x+2y+c=0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c=0上；由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得=2，解可得t的值，即可得B的坐标，进而可得AB中点的坐标，代入直线方程可得c=﹣2；进而将t、c相加可得答案．
解答：解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，
可得AB与直线x+2y+c=0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c=0上；
由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得=2，解可得t=﹣1，
则B（﹣1，﹣1），
故AB中点为（0，1），且其在直线x+2y+c=0上，
代入直线方程可得，0+2×（1）+c=0，可得c=﹣2；
故t+c=（﹣1）+（﹣2）=﹣3；
故选A．
点评：本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦．
二、填空题（共12小题）
6、已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 x+3y=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．
解答：解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，
故答案为 x+3y=0．
点评：本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．
7、两圆：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y﹣4=0的公共弦所在直线方程为 x+y+2=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=﹣1即可求出公共弦所在直线方程．
解答：解：经过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y﹣4=0的交点的圆系方程为：（x2+y2+6x+4y）+λ（x2+y2+4x+2y﹣4）=0
令λ=﹣1，可得公共弦所在直线方程为：x+y+2=0
故答案为：x+y+2=0
点评：本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力，是常考题型．如果通过解交点的方法解答，比较麻烦．
8、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是 3x﹣y﹣9=0 ．
9、圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为 x+2y=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：利用圆系方程，求出公共弦所在直线方程．
解答：解：圆x2+y2+2x=0…①和x2+y2﹣4y=0…②
①﹣②得x+2y=0就是圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程．
故答案为：x+2y=0
点评：本题考查相交弦所在直线的方程，考查计算能力，是基础题．
10、已知圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=13和圆（x﹣3）2+y2=9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是 3x+y﹣9=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程；圆系方程。
专题：计算题；转化思想。
分析：写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=﹣1即可求出公共弦所在直线方程，就是弦AB的垂直平分线的方程．
解答：解：经过圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=13和圆（x﹣3）2+y2=9交点的圆系方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2﹣13+λ[（x﹣3）2+y2﹣9]=0，
令λ=﹣1可得公共弦所在直线方程：3x+y﹣9=0，
就是弦AB的垂直平分线的方程．
故答案为：3x+y﹣9=0
点评：本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力．
11、已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10与圆C2：（x+6）2+（y+3）2=50交于A、B两点，则AB所在的直线方程是 2x+y=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题；方程思想。
分析：所求AB所在直线方程，实际是两个圆交点的圆系中的特殊情况，方程之差即可求得结果．
解答：解：圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10与圆C2：（x+6）2+（y+3）2=50相减就得公共弦AB所在的直线方程，
故AB所在的直线方程是﹣16x﹣8y﹣40=﹣40，即2x+y=0
故答案为：2x+y=0
点评：本题考查相交弦所在直线的方程，是基础题．
12、经过两圆x2+y2+3x﹣y=0和x2+y2+2x+y=0的交点的直线方程 x﹣2y=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：把两个圆的方程相减得到的直线方程就是经过两圆交点的直线方程．
解答：解：把两圆x2+y2+3x﹣y=0和x2+y2+2x+y=0的方程相减得：x﹣2y=0，x﹣2y=0
故经过两圆x2+y2+3x﹣y=0和x2+y2+2x+y=0的交点的直线方程为 x﹣2y=0，
故答案为：x﹣2y=0．
点评：本题考查两圆公共弦所在直线方程的求法，把两个圆的方程相减得到的直线方程就是公共弦所在直线方程．
13、已知圆 x2+y2=4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5=0相交，则它们的公共弦所在的直线方程是 2x﹣y+1=0 ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．
解答：解：由题意，∵圆 x2+y2=4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5=0相交
∴两圆的方程作差得2x﹣y+1=0，
即公式弦所在直线方程为2x﹣y+1=0
故答案为 2x﹣y+1=0
点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交弦所在直线方程的求法，属于基础题．
14、圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3：所截得的弦长是 ．
考点：相交弦所在直线的方程；直线与圆相交的性质。
专题：计算题。
分析：把圆C1与圆C2的方程相减可得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，再求出圆心C3到直线x+y﹣1=0的距离，由弦长公式求得弦长．
解答：解：圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为：x2+y2﹣1﹣（x2+y2﹣2x﹣2y+1）=0，即x+y﹣1=0，
圆心C3到直线x+y﹣1=0的距离，
所以所求弦长为，
故答案为．
点评：本题考查两圆的公共弦方程的求法，点到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．
15、圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则直线AB的方程是： x+3y=0 ．
16、已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是 3 ．
考点：相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系。
专题：计算题。
分析：两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．
解答：解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；
中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；
故答案为：3．
点评：本题是基础题，考查两圆的位置关系，公共弦的方程与连心线方程的关系，考查计算能力，逻辑推理能力．
17、两曲线x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y﹣4=0交于点A、B，则|AB|= ．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：根据题意，由二元二次方程的意义，可得两曲线都表示圆，化为标准方程，可得圆心与半径，进而求出圆（x+2）2+（y+1）2=9的圆心到相交弦的距离，又由该圆的半径，可得弦长一半即的大小，即可得答案．
解答：解：根据题意，曲线x2+y2+6x+4y=0可化为（x+3）2+（y+2）2=13，表示一个圆心为（﹣3，﹣2），半径为的圆，
曲线x2+y2+4x+2y﹣4=0可化为（x+2）2+（y+1）2=9，表示一个圆心为（﹣2，﹣1），半径为3的圆；
则两圆相交弦所在直线的方程为（x2+y2+6x+4y）﹣（x2+y2+4x+2y﹣4）=0，化简可得x+y+2=0；
则圆（x+2）2+（y+1）2=9的圆心到相交弦的距离为d==，
故==，
故|AB|=，
故答案为．
点评：本题考查相交弦的性质，解题时要用好圆的相关性质，可以简化计算．
三、解答题（共5小题）
18、已知圆C的圆心为（2，1），且圆C与圆x2+y2﹣3x=0的公共弦所在的直线经过点（5，﹣2），求圆C的方程．
19、已知两圆相交于点A（1，3），B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上．
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：（1）求出AB的中点，中点在直线x﹣y+c=0上，得到一个方程，利用两条直线垂直，得到另一个方程，即可求出m，c，可得弦AB所在直线的方程；
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x﹣y﹣2=0上，又由题设知，所求圆的圆心E（0，﹣2），求出半径，即可得到圆的方程．
解答：解：（1）由于AB的中点C在x﹣y+c=0上，得m=﹣2c+1①
又由直线AB与直线x﹣y+c=0垂直，得m﹣1=4②
联立①②解得m=5，c=﹣2，∴弦AB所在直线的方程为x+y﹣4=0．
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x﹣y﹣2=0上，又由题设知，
所求圆的圆心E（0，﹣2）半径r2=|EA|2=26，
故所求的圆的方程为x2+（y+2）2=26．
点评：本题是基础题，考查两条直线的位置关系，圆的方程的求法，本题的关键在于中点在直线上，垂直关系的应用，确定圆心和半径，即可解决问题．
20、已知点M（﹣2，0），⊙O：x2+y2=1（如图）；若过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的，求直线l1的方程．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：通过圆孤PQ恰为圆周的，求出∠POQ，再求出O点到直线l1的距离，设出直线l1的方程，利用点到直线的距离公式，求出变量，即可得到所求直线l1的方程．
解答：解：∵PQ为圆周的
∴O点到直线l1的距离为
设l1的方程为
∴l1的方程为
点评：本题是基础题，考查点到直线的距离的应用，待定系数法的解题思想，常考题，一般情况下是选择题或填空题的形式出现．
21、已知两圆x2+y2﹣10x﹣10y=0，x2+y2+6x﹣2y﹣40=0，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．
考点：相交弦所在直线的方程。
专题：计算题。
分析：（1）利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程；（2）通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．
解答：解：（1）x2+y2﹣10x﹣10y=0，①；x2+y2+6x﹣2y﹣40=0②；
②﹣①得：2x+y﹣5=0为公共弦所在直线的方程；
（2）弦心距为：=，弦长的一半为，公共弦长为：
点评：本题是中档题，考查两个圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，公共弦长的求法，考查计算能力，高考作为小题出现．
22、已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
