圆方程的综合应用
一、选择题（共15小题）
1、若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣，）
B、（﹣，0）∪（0，）
C、[﹣，]
D、（﹣∞，﹣）∪（，+∞）21*cnjy*com
2、要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
3、若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣5）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
4、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A、（0，16） B、（0，36）
C、（16，36） D、（0，+∞）
5、已知函数f （ x ）=sinx﹣2x，若f（x2+y2+4x+2）≥0，则x2+y2+4y+2的最大值为（ ）
A、 B、321*cnjy*com
C、12 D、16
6、已知：圆C的方程为f（x，y）=0，点p（x0，x0）不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程C'：f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，则下面判断正确的是（ ）
A、方程C'表示的曲线不存在
B、方程C'表示与C同心且半径不同的圆
C、方程C'表示与C相交的圆
D、当点P在圆C外时，方程C'表示与C相离的圆
7、圆x2+y2﹣4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c等于（ ）21*cnjy*com
A、1 B、﹣11
C、9 D、11
8、若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（ ）
A、 B、5
C、2 D、10
9、已知x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，则x2+y2的最小值为（ ）
A、10 B、20
C、 D、5
10、已知圆C：x2+y2=4（x≥0，y≥0）与函数f（x）=log2x，g（x）=2x的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22等于（ ）
A、16 B、8
C、4 D、2
11、曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（ ）
A、4+2π B、4+4π
C、8+2π D、8+4π
12、如果实数x，y满足条件：（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（ ）
A、 B、1
C、 D、21*cnjy*com
13、函数的图象与它的反函数图象所围成的面积是（ ）
A、π﹣2 B、π﹣1
C、 D、
14、已知A（﹣2，0），B（0，2）； C是圆上x2+y2﹣2x=0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A、3+ B、3﹣
C、6 D、4
15、已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，AC，BD交于点M（1，），且|AC|=|BD|，则四边形ABCD的面积的最大值等于（ ）21*cnjy*com
A、4 B、5
C、6 D、7
二、填空题（共9小题）21*cnjy*com
16、若θ∈R，点P（x，y）满足方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1，则由点P组成的图形的面积为 _________ ．
17、已知圆C：x2+y2+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命题：
①E=﹣4，F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件；
②若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），则0≤F≤1；
③若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），O为坐标原点，则||的最大值为2；
④若E=2F，则曲线C表示圆，且该圆面积的最大值为．
其中所有正确命题的序号是 _________ ．
18、设实数x，y满足x2+（y﹣2）2=1，若对满足条件x，y，不等式x2+y2+c≤0恒成立，则c的取值范围是 _________ ．
19、已知点A（﹣2，0）、B（0，2），C是圆x2+y2=1上一个动点，则△ABC的面积的最小值为 _________ ．
20、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= _________ ．
21、如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE= _________ ．
22、已知实数a，b满足a2+b2=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是 _________ ．
23、如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 _________ ．
24、若过A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2﹣a=0，则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
26、已知圆P过点，且与直线相切．
（1）求圆心P的轨迹M的方程；
（2）若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上，且点B的横坐标为1，过点A、C分别作轨迹M的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3，4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由？
27、已知圆：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0．
（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；
（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求的最值．21*cnjy*com
28、设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；21*cnjy*com
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
29、已知两圆Q1：（x+1）2+y2=和Q2：（x﹣1）2+y2=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；21*cnjy*com
（2）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
30、已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
答案与评分标准
一、选择题（共15小题）
1、若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣，） B、（﹣，0）∪（0，）
C、[﹣，] D、（﹣∞，﹣）∪（，+∞）21*cnjy*com
考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用。
专题：数形结合。
分析：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．21*cnjy*com
解答：解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；
C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，
由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），21*cnjy*com
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，
化简得：m2=，解得m=±，
则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．
故选B
点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．
2、要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
3、若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣5）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：圆方程的综合应用；两条直线垂直的判定。21*cnjy*com
专题：计算题；数形结合。
分析：由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．
解答：解：由题意做出图形分析得：21*cnjy*com
由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心C2C1．则在Rt△C2AC1中，|C1A|=|C2A|=，
斜边上的高为半弦，用等积法易得：
?|AB|=4．
故答案为：D．
点评：此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．
4、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是（ ）
A、（0，16） B、（0，36）
C、（16，36） D、（0，+∞）
考点：圆方程的综合应用；函数与方程的综合运用。
专题：计算题。
分析：本题考查的是函数的性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定函数y=f（x）是定义在R上的增函数，而且是奇函数，则不难求出满足条件实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，对应的平面区域，分析表达式x2+y2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
解答：解：∵函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称21*cnjy*com
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称
即函数y=f（x）为奇函数，
则f（﹣x）=﹣f（x）
则不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0可化为：
f（x2﹣6x）＜﹣f（y2﹣8y+24）=f（﹣y2+8y﹣24）
又由函数y=f（x）是定义在R上的增函数
∴x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣24
即x2﹣6x+y2﹣8y+24＜0
即（x﹣3）2+（y﹣4）2＜1
则（x，y）点在以（3，4）为圆心，以1为半径的圆内21*cnjy*com
而x2+y2表示的是圆内任一点到原点距离的平方
∴（5﹣1）2=16＜x2+y2＜（5+1）2=36
故选C
点评：函数的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将函数的性质与圆的方程融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．
5、已知函数f （ x ）=sinx﹣2x，若f（x2+y2+4x+2）≥0，则x2+y2+4y+2的最大值为（ ）
A、 B、3
C、12 D、16
6、已知：圆C的方程为f（x，y）=0，点p（x0，x0）不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程C'：f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，则下面判断正确的是（ ）
A、方程C'表示的曲线不存在 B、方程C'表示与C同心且半径不同的圆21*cnjy*com
C、方程C'表示与C相交的圆 D、当点P在圆C外时，方程C'表示与C相离的圆
考点：圆方程的综合应用。
专题：阅读型。
分析：由题意设出圆C1的方程为f（x，y）=0，求出圆心、半径，表示出圆C2的方程为f（x，y）=f（x0，y0），推出二者是同心圆即可．
解答：解：因为C1为圆，设f（x，y）=x2+y2﹣1=0，点P（1，1）21*cnjy*com
其圆心为（0，0）
而C2的方程为：
f（x，y）﹣f（x0，y0）=0
即 x2+y2﹣1﹣（1）=0，x2+y2﹣2=021*cnjy*com
因此上述方程中，圆心亦为（0，0）
所以C1与圆C2是同心圆，
故选B．
点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定等基础知识，考查特殊化思想．属于基础题．
7、圆x2+y2﹣4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c等于（ ）
A、1 B、﹣11
C、9 D、11
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题。
分析：先把圆方程整理成标准方程，求得圆心坐标，过圆心作PP′⊥y轴，垂足为P′，则P′坐标可知，根据∠APB=120°推断出∠APP′=60°进而再Rt△APP′中求得PA即圆的半径，进而与圆标准方程中的半径相等求得c．
解答：解：过圆心作PP′⊥y轴，垂足为P′，
则P′（0，﹣1），∠APP′=60°，|PP′|=2，
所以圆半径|PA|=4，由圆的标准方程，（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣c
∴5﹣c=16，求得c=﹣11
故选B
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生数形结合的思想的运用和基本的运算能力．
8、若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（ ）
A、 B、5
C、2 D、10
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题。
分析：本题考查的是直线与圆性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，则不难求出（a，b）表示的点在平面直线直角坐标系中的位置，分析表达式（a﹣2）2+（b﹣2）2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
解答：解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长
∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心
即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上
则2a+b﹣1=0
则（a﹣2）2+（b﹣2）2表示点（2，2）至直线2a+b﹣1=0点的距离的平方21*cnjy*com
则其最小值d2==5
故选B
点评：直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．
9、已知x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，则x2+y2的最小值为（ ）21*cnjy*com
A、10 B、20
C、 D、5
10、已知圆C：x2+y2=4（x≥0，y≥0）与函数f（x）=log2x，g（x）=2x的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22等于（ ）
A、16 B、8
C、4 D、2
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题。
分析：由反函数的对称性可知x2=y1，再根据A（x1，y1）在曲线C上可知x12+y12=x12+x22=4．
解答：解：由于函数f（x）=log2x，g（x）=2x互为反函数，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x对称，
∴x2=y1．∵A（x1，y1）在曲线C上，∴x12+y12=x12+x22=4，
故选C．
点评：由于函数f（x）=log2x，g（x）=2x互为反函数，由反函数意义即对称性解题．
11、曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（ ）
A、4+2π B、4+4π
C、8+2π D、8+4π
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据题意，作出如图的图象由图象知，此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，由此其面积易求
解答：解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是
2×2+4××π×=8+4π21cnjy
故选D
点评：本题考查圆方程的综合应用，解题的关键是根据所给的方程，结合圆的方程的几何意义，得出方程对应的曲线形状，由图形得出解决问题的方法，本题是一个以形助数的典型题，易因为对曲线所对应的图形开关理解不准确而导致错误，或者无法下手．
12、如果实数x，y满足条件：（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（ ）21cnjy
A、 B、1
C、 D、
考点：圆方程的综合应用；直线的斜率。
专题：综合题。
分析：表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式：（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值
解答：解：满足等式：（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示：
表示圆上动点与原点O连线的斜率，
由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，
连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=221cnjy
∵
∴∠BOC=60°
此时=
故选A．
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键．
13、函数的图象与它的反函数图象所围成的面积是（ ）
A、π﹣2 B、π﹣1
C、 D、21cnjy
考点：圆方程的综合应用；反函数。
分析：函数的图象与它的反函数图象所围成的图形是两个弓形．函数的图象是四分之一个圆，故可求每一个弓形的面积，从而得解．
解答：解：由题意，函数的图象与它的反函数图象所围成的图形是两个弓形
∵函数的图象是四分之一个圆21cnjy
∴每一个弓形的面积为
∴函数的图象与它的反函数图象所围成的面积是
故选C．
点评：本题以黑色为载体，考查反函数，考查轨迹，考查图形的面积．
14、已知A（﹣2，0），B（0，2）； C是圆上x2+y2﹣2x=0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A、3+ B、3﹣
C、6 D、4
15、已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，AC，BD交于点M（1，），且|AC|=|BD|，则四边形ABCD的面积的最大值等于（ ）
A、4 B、5
C、6 D、7
考点：圆方程的综合应用。
专题：综合题。
分析：设圆心O到AC，BD的距离分别为d1和d2，则d12+d22=OM2=3，由此能求出四边形ABCD的面积的最大值．
解答：解：设圆心O到AC，BD的距离分别为d1和d2，
则d12+d22=OM2=3，21cnjy
∴四边形ABCD的面积S=
=
≤8﹣（d12+d22）
=5．
故选B．
点评：本题考查四边形ABCD的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
二、填空题（共9小题）21cnjy
16、若θ∈R，点P（x，y）满足方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1，则由点P组成的图形的面积为 8π ．
考点：圆的标准方程；圆方程的综合应用。21cnjy
专题：计算题；转化思想。
分析：先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．
解答：解：∵（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1的圆心为（2cosα，2sinα），半径为1，
∴圆心是以（0，0）为圆心，半径为2的圆上的动点
∴满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以3为半径的圆的面积减去以1为半径的圆的面积
即9π﹣π=8π
故答案为：8π．
点评：本题主要考查了圆的参数方程、圆方程的综合应用、圆的标准方程基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
17、已知圆C：x2+y2+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命题：
①E=﹣4，F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件；
②若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），则0≤F≤1；
③若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），O为坐标原点，则||的最大值为2；
④若E=2F，则曲线C表示圆，且该圆面积的最大值为．
其中所有正确命题的序号是 ①③ ．
考点：二元二次方程表示圆的条件；直线和圆的方程的应用；圆方程的综合应用。21cnjy
专题：综合题；配方法。
分析：对于①把E和F代入整理后，判断是否表示一个圆，反之利用表示圆的条件即D2+E2﹣4F＞0进行验证；对于②③把y=0代入方程化简为一个关于x的二次方程，根据△的符号和韦达定理，进行求解；对于④用F表示出圆的半径平方，利用配方法化简解析式，求出最值进行判断．
解答：解：①、圆C：x2+y2+2x+Ey+F=0（E、F∈R）中，应有 4+E2﹣4F＞0，当E=﹣4，F=4时，
满足 4+E2﹣4F＞0，曲线C表示圆，但曲线C表示圆时，E不一定等于﹣4，F不一定等于4，故①正确．
②、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），
则 x1、x2是x2+2x+F=0的两根，△=4﹣4F＞0，解得F＜0，故 ②不正确．
③、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2∈[﹣2，1），
∴||=||，
故当A点坐标 为（﹣2，0）点，B点坐标为（0，0）21cnjy
此时||取最大值2，故③正确；
④、由于E=2F，则圆的半径的平方为（4+E2﹣4F）=（4+4F2﹣4F）=（F﹣1）2+，
则圆面积由最小值，无最大值，故④不对．
故答案为：①③．
点评：本题考查了二元二次方程表示圆的条件，直线与圆相交时利用判别式的符号以及韦达定理，还有利用配方法求出圆的半径的最值，考查知识多，难度大．
18、设实数x，y满足x2+（y﹣2）2=1，若对满足条件x，y，不等式x2+y2+c≤0恒成立，则c的取值范围是 c≤﹣9 ．
19、已知点A（﹣2，0）、B（0，2），C是圆x2+y2=1上一个动点，则△ABC的面积的最小值为 ．
考点：直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用。21cnjy
专题：计算题。
分析：由题意可得AB=，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，由于O到直线AB：x﹣y+2=0得距离为，从而可得d=（1为圆的半径），从而可求面积的最小值
解答：解：由题意可得AB=
要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值21cnjy
由于O到直线AB：x﹣y+2=0得距离为
∴
△ABC的面积的最小值为=
故答案为：
点评：本题主要考查了利用圆的性质求解三角形的面积的最小值，（最大值的情况同理可求），要注意结合图形．
20、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．
解答：解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，
由图可知，解之得a=1，
故答案为：1．
点评：本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．
21、如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE= 28 ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用。21cnjy
专题：计算题。
分析：利用相交弦定理推出AB?CD=BC?DE．设CD=x，表示出AB、DE然后解出x，再求出AE．
解答：解：因为A，M，D，N四点共圆，所以AC?CD=MC?CN．同理，有BC?CE=MC?CN．
所以AC?CD=BC?CE，即（AB+BC）?CD=BC?（CD+CE），21cnjy
所以AB?CD=BC?DE．
设CD=x，则AB=AD﹣BC﹣CD=19﹣4﹣x=15﹣x，DE=BE﹣BC﹣CD=16﹣4﹣x=12﹣x，21cnjy
则（15﹣x）x=4（12﹣x），即x2﹣19x+48=0，解得x=3或x=16（舍）．
AE=AB+DE﹣BD=19+16﹣7=28．
故答案为：28
点评：本题主要考查两圆的位置关系，以及相交弦定理的有关知识，分析问题和解决问题的能力，以及转化与化归的思想方法．
22、已知实数a，b满足a2+b2=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是 ．
点评：本题主要考查了圆与方程的综合应用．考查了学生数形结合思想的运用和基础知识的综合运用．
23、如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 （﹣，﹣）∪（，） ．
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题。
分析：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．
解答：解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d==|a|，
∴2﹣1＜|a|＜2+1 即：＜|a|＜，21世纪教育网
∴﹣＜a＜﹣或＜a＜
实数a的取值范围是 （﹣，﹣）∪（，）
点评：体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交
24、若过A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2﹣a=0，则实数a的取值范围是 a＜0或a＞1 ．
三、解答题（共6小题）
25、已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．21世纪教育网
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
考点：轨迹方程；圆方程的综合应用。
专题：综合题；探究型。
分析：解：（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：轨迹C是以（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆．
（2）先设过点B的直线为y=k（x﹣2）．利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得k的取值范围，从而得出动点M与定点B连线的斜率的最小值即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）
化简可得（x+2）2+y2=4．
轨迹C是以（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆（3分）
（2）设过点B的直线为y=k（x﹣2）．圆心到直线的距离≤2
∴，kmin=（7分）
（3）假设存在，联立方程得2x2+2（m+2）x+m2=021世纪教育网
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=﹣m﹣2，x1x2=
PA⊥QA，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+（x1+m）（x2+m）=0，
2x1x2+（m+1）（x1+x2）+m2+1=0得m2﹣3m﹣1=0，
且满足△＞0．∴（12分）
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．本题是利用的直接法．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
26、已知圆P过点，且与直线相切．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹M的方程；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上，且点B的横坐标为1，过点A、C分别作轨迹M的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3，4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由？21世纪教育网
考点：轨迹方程；圆方程的综合应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）依题意可知圆心P到点F的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义可知P的轨迹为抛物线，设出抛物线的方程，根据题意求得p，则P的轨迹方程可得．
（Ⅱ）设出A，C的坐标，表示出直线AC的斜率，则其直线方程可表示出，与抛物线方程联立消去y，利用判别式求得k的范围，利用k表示出A，C的坐标，进而用表示出直线AC的斜率，从而可表示出直线AC的直线方程，令x=0求得y，得到E的坐标，进而求得AD的方程，同理可求得CD的直线方程表达式，联立后求得D点坐标，则可表示出直线ED的斜率，求得其最大时，k的值，则直线BC的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）依题意圆心P到点F的距离与到定直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知P的轨迹为抛物线，
设方程为x2=2py，，所以x2=y
（Ⅱ）B（1，1），设A（x1，x12），C（x2，x22），
设BC的斜率为k，则，△=k2﹣4k+4≥0，
又1+xc=k，?xc=k﹣1，C（k﹣1，（k﹣1）2），A，，
直线AC的方程为，
令，所以
AD：y﹣x12=2x1（x﹣x1）?y=2x1x﹣x12
同理CD：y=2x2x﹣x22，联立两方程得D
令，则u在[3，4]上递减，所以，当k=3时，kED最大为821世纪教育网版权所有
所以，BC的方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0
点评：本题考查的考点包括：抛物线定义、导数、直线方程的多次联立求交点、直线的斜率表达、函数的值域；本题中学生容易出现的错误在于：1、对于直角三角形ABC的直角顶点的判定错误；2、求抛物线切线方程的方法方向性错误；3、联立多个方程造成的计算错误．21世纪教育网版权所有
27、已知圆：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0．
（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；
（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求的最值．21世纪教育网版权所有
考点：圆的切线方程；圆方程的综合应用。
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）先化成圆的标准方程求出圆心和半径，然后对过点A分斜率存在和不存在两种情况进行讨论．当斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径求出k的值，进而可得到切线方程．
（2）设=k得到y=kx，然后转化为求满足条件的直线斜率的最值问题，又有当直线与圆相切时可取得最大与最小值，从而可得到答案．
解答：解：（1）由x2+y2﹣4x﹣6y+12=0可得到（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，故圆心坐标为（2，3）
过点A（3，5）且斜率不存在的方程为x=3
圆心到x=3的距离等于d=1=r
故x=3是圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的一条切线；
过点A且斜率存在时的直线为：y﹣5=k（x﹣3），即：y﹣kx+3k﹣5=0，根据圆心到切线的距离为半径，可得到：
r=1=化简可得到：
（k﹣2）2=1+k2∴k=．
所以切线方程为：4y﹣3x﹣11=0．
过点A（3，5）的圆的切线方程为：4y﹣3x﹣11=0，x=3
（2）由题意知点P（x，y）为圆上任意一点，故可设=k，即要求k的最大值与最小值
即y=kx中的k的最大值与最小值
易知当直线y=kx与圆相切时可取得最大与最小值，此时
d=1=，整理可得到：3k2﹣12k+8=0
得到k=或
∴的最大值为，最小值为
点评：本题主要考查圆的切线方程、定点到圆的距离的最值问题．考查基础知识的综合运用和计算能力．
28、设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，21世纪教育网版权所有
所以轨迹L的方程为﹣y2=1；
（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），
即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，解得：x1=，x2=，
故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，），21世纪教育网版权所有
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2，
||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，
综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，﹣）．
点评：此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．
29、已知两圆Q1：（x+1）2+y2=和Q2：（x﹣1）2+y2=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
考点：圆方程的综合应用。
专题：计算题。
分析：（1）由已知条件中，两圆Q1：（x+1）2+y2=和Q2：（x﹣1）2+y2=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．易得动圆圆心P到已知两圆圆心的距离和为定值，即动圆圆心P的轨迹是一个椭圆，根据已知条件求出a，b值，即可确定动圆圆心P的轨迹方程．
（2）我们可以假设这样的直线存在，由其经过点M（5，0），故可以设出其点斜式方程，然后经过推理得到矛盾，即说明假设不成立，即不存在这样的直线．
解答：解：（Ⅰ）由已知，点O1（﹣1，0），O2（1，0），，，则
|O1O2|=2＜r2﹣r1，所以⊙O1内含于⊙O2．
设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切，则
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所以动圆圆心P轨迹是以点O1O2为焦点的椭圆
因为a=，c=1，所以b2=a2﹣c2=4．
故动圆圆心P的轨迹方程是
（Ⅱ）因为直线x=5与椭圆无交点，可设直线l方程为y=k（x﹣5）．
由，得4x2+5k2（x﹣5）2=20，即（5k2+4）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0
设点A（x1，y1，B（x2，y2），AB的中点为C（x0，y0），则
=
，y0=k（x0﹣5）==．
若线段AB的垂直平分线经过圆心O2，则CO2⊥l，即
所以，即4=0，矛盾！21世纪教育网版权所有
故不存在直线l使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2．
点评：本题考查的知识点是圆的方程、椭圆的性质及椭圆与直线的关系，解题的关键是根据已知条件中未知圆与已知圆的位置关系，结合“圆的位置关系与半径及圆心距的关系”，探究出动圆圆心P的轨迹，进而给出动圆圆心P的轨迹方程．
30、已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；21世纪教育网版权所有
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
故所求点P的坐标为P（0，0）或．
（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，
由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，21世纪教育网版权所有
解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．21世纪教育网版权所有
（3）设P（2m，m），MP的中点，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，21世纪教育网版权所有
故其方程为：
化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，
解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，
）．
点评：本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．
