两点间的距离公式
一、选择题（共13小题）
1、在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若A（1，3，﹣2），B（2，﹣2，3），则A、B两点的距离是（ ）
A、 B、
C、25 D、
3、已知向量=（﹣2，3，1），=（1，﹣1，0），则|+|=（ ）
A、 B、
C、2 D、
4、已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（ ）
A、﹣3或4 B、6或2
C、3或﹣4 D、6或﹣2
5、点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（ ）
A、 B、
C、 D、
6、已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（ ）
A、 B、
C、19 D、11
7、若点A是点B（1，2，3）关于x轴的对称点，点C是点D（2，﹣2，5）关于y轴对称的点，则|AC|=（ ）
A、5 B、
C、10 D、
8、设点P（+，1）（t＞0），则||（O为坐标原点）的最小值是（ ）
A、3 B、5
C、 D、
9、空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（ ）
A、 B、
C、9 D、
10、已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，﹣1，0），D（2，﹣1，﹣1），则（ ）
A、|AB|＞|CD| B、|AB|＜|CD|
C、|AB|≤|CD| D、|AB|≥|CD|
11、已知点B是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，则|AB|=（ ）
A、10 B、
C、 D、38
12、设点P在x轴上，它到P1（0，，3）的距离为到点P2（0，1，﹣1）距离的两倍，则点P的坐标为（ ）
A、（0，1，0）或（0，0，1）
B、（0，﹣1，0）或（0，0，﹣1）
C、（1，0，0）或（﹣1，0，0）
D、（0，﹣1，0）或（0，0，1）
13、若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（ ）
A、4 B、2
C、4 D、3
二、填空题（共10小题）
14、空间点（1，﹣2，2）到坐标原点的距离是 _________ ．
15、已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为 _________ ；②过B点的中线长为 _________ ；③过C点的中线长为 _________ ．
16、设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为 _________ ．
17、若点A（2，1，4）与点P（x，y，z）的距离为5，则x，y，z满足的关系式是 _________ ．
18、若点A、B的坐标为A（3cosα，3sinα，1）、B（2cosθ，2sinθ，1）则取值范围 _________ ．
19、已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是 _________ ．
20、在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰三角形，则实数x的值为 _________ ．
21、点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= _________ ．
22、在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为 _________ ．
23、空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是 _________ ．
三、解答题（共2小题）
24、在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，OO1=a，OA=b，OC=c，M是BB1中点，N是CC1中点，P是AA1上一点，且AP=2PA1，Q是OA反向延长线上一点，OA=2QO，以O为原点，OA，OC，OO1为x轴、y轴、z轴的正方向，
（1）求B、B1、M、N、P、Q的坐标；
（2）求QM的距离．
25、求函数y=+的最小值．
答案与评分标准
一、选择题（共13小题）
1、在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：空间直角坐标系；空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．
解答：解：∵点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影
∴B点的坐标是（0，2，3）
∴|OB|等于，
故选B．
点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．
2、若A（1，3，﹣2），B（2，﹣2，3），则A、B两点的距离是（ ）
A、 B、
C、25 D、
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：利用两点间的距离公式，根据A，B，C的坐标，求得A、B两点的距离．
解答：解：|AB|==
故选B
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式．考查了学生对基础知识的掌握．
3、已知向量=（﹣2，3，1），=（1，﹣1，0），则|+|=（ ）
A、 B、
C、2 D、
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据已知条件求出两个向量的和即，再结合空间向量求模的公式求出答案即可．
解答：解：因为=（﹣2，3，1），=（1，﹣1，0），
所以
所以．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是进行正确的运算以及掌握向量的模的计算公式．
4、已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（ ）
A、﹣3或4 B、6或2
C、3或﹣4 D、6或﹣2
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可．
解答：解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），
，
∴，
∴x2﹣4x﹣12=0
∴x=6，x=﹣2
故选D．
点评：本题考查空间两点之间的距离，是一个基础题，题目的解法非常简单，若出现一定不要丢分．
5、点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（ ）
A、 B、
C、 D、
6、已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（ ）
A、 B、
C、19 D、11
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．
解答：解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=
故选A．
点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．
7、若点A是点B（1，2，3）关于x轴的对称点，点C是点D（2，﹣2，5）关于y轴对称的点，则|AC|=（ ）
A、5 B、
C、10 D、
考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标。
分析：点A是点B（1，2，3）关于x轴的对称点，得到A的横标与B相同，而纵标、竖标与B相反，写出A点的坐标，同理写出点C的坐标．利用两点间的距离公式，根据A，C的坐标，求得A、C两点的距离．
解答：解：∵点A是点B（1，2，3）关于x轴的对称点，得到A的横标与B相同，而纵标、竖标与B相反，
∴A（1，﹣2，﹣3），同理C（﹣2，﹣2，﹣5），
|AC|==
故选B
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式，考查坐标系中点的对称性，是一个基础题，是解决其他解析几何问题的基础，注意运算不要出错．
8、设点P（+，1）（t＞0），则||（O为坐标原点）的最小值是（ ）
A、3 B、5
C、 D、
9、空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（ ）
A、 B、
C、9 D、
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据题目中所给的两个点的坐标，把点的坐标代入求两点之间的距离的公式，进行式子的加减和平方运算，得到结果．
解答：解：∵A（﹣3，4，0），B（2，﹣1，6）
∴代入两点间的距离公式可得：|AB|==
故选D．
点评：本题考查两点之间的距离公式的应用，这种问题一般不会单独出现，要和其他的知识点结合在一起考查，本题是一个基础题．
10、已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，﹣1，0），D（2，﹣1，﹣1），则（ ）
A、|AB|＞|CD| B、|AB|＜|CD|
C、|AB|≤|CD| D、|AB|≥|CD|
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：先利用空间两点间的距离公式求得|AB|和|CD|，进而根据（m﹣3）2+5≥5推断出|AB|≥|CD|．
解答：解：|AB|==，|CD|==
∵（m﹣3）2+5≥5
∴|AB|≥|CD|
故选D
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用．考查了学生对基础知识的熟练记忆．属基础题．
11、已知点B是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，则|AB|=（ ）
A、10 B、
C、 D、38
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：点B是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，得到B的横标和纵标与A相同，而竖标与A相反，写出B点的坐标，根据直线AB与Z轴平行，利用竖标之差的绝对值，得到结果．
解答：解：∵点B是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，
∴B的横标和纵标与A相同，而竖标与A相反，
∴B（2，﹣3，﹣5），
∴直线AB与z轴平行，
∴|AB|=5﹣（﹣5）=10，
故选A．
点评：本题考查空间中两点之间的距离，考查坐标系中点的对称性，是一个基础题，是解决其他解析几何问题的基础，注意运算不要出错．
12、设点P在x轴上，它到P1（0，，3）的距离为到点P2（0，1，﹣1）距离的两倍，则点P的坐标为（ ）
A、（0，1，0）或（0，0，1） B、（0，﹣1，0）或（0，0，﹣1）
C、（1，0，0）或（﹣1，0，0） D、（0，﹣1，0）或（0，0，1）
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题；方程思想。
分析：根据点P在x轴上，设出点P的坐标，由它到P1（0，，3）的距离为到点P2（0，1，﹣1）距离的两倍和空间中两点间距离公式，解方程即可求得点P的坐标．
解答：解：设点P（a，0，0），
由题意得P1P=2P2P，即，
解得a=1或a=﹣1，
故选C．
点评：此题是个基础题．考查空间中两点间距离公式等基础知识，同时也考查 了学生的计算能力，和应用知识分析解决问题的能力．
13、若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（ ）
A、4 B、2
C、4 D、3
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：利用两点之间的距离求得AB的长．
解答：解：|AB|==4
故选A
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式．属基础题．
二、填空题（共10小题）
14、空间点（1，﹣2，2）到坐标原点的距离是 3 ．
15、已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为 2 ；②过B点的中线长为 ；③过C点的中线长为 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果．
解答：解：设AB 的中点E，BC的中点F，AC的中点G，
∵三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），
∴E（），F（4，1，﹣2），G（，﹣，3）
∴|AF|=2，|BG|=，|CE|=，
故答案为：2；；
点评：本题考查两点之间的距离公式，是一个基础题，注意三角形的中线是一条线段，是指顶点到对边中点的距离，本题是一个送分题目．
16、设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．
解答：解：M为AB的中点设为（x，y，z），
∴x==2，y=，z==3，
∴M（2，，3），
∵C（0，1，0），
∴MC==，
故答案为：．
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用．考查了学生对基础知识的熟练记忆．属基础题．
17、若点A（2，1，4）与点P（x，y，z）的距离为5，则x，y，z满足的关系式是 （x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣4）2=25 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据空间两点之间的距离公式可得：|PA|=，结合题意可得，即（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣4）2=25．
解答：解：根据空间两点之间的距离公式可得：|PA|=，
因为点A（2，1，4）与点P（x，y，z）的距离为5，
所以，即（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣4）2=25．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣4）2=25．
点评：本题主要考查空间中两点之间的距离公式，此题属于基础题型，一般是送分题．
18、若点A、B的坐标为A（3cosα，3sinα，1）、B（2cosθ，2sinθ，1）则取值范围 [1，5] ．
19、已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是 （0，0，﹣3） ．
考点：空间两点间的距离公式。
分析：欲求点M的坐标，根据点M在z轴上的特点，可设点M的坐标为（0，0，z），结合空间两点间的距离公式利用题中条件：“|MA|=|MB|，”列关于z的方程，最后解此方程即可．
解答：解：∵点M在z轴上，
∴设点M的坐标为（0，0，z）
又|MA|=|MB|，
由空间两点间的距离公式得：
=
解得：z=﹣3．
故点M的坐标是（0，0，﹣3）．
故答案为：（0，0，﹣3）．
点评：本题主要考查了空间两点间的距离公式、空间坐标系中点的坐标表示、方程等基本知识，考查了计算能力，属于基础题．
20、在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰三角形，则实数x的值为 2或6 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据△ABC是以BC为斜边的等腰三角形，得到两条腰的长度相等，根据两点之间的距离公式写出关于x的等式，解方程即可．
解答：解：∵点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰三角形，
∴|AB|=|AC|，
∴，
∴4=（4﹣x）2
∴x=2或x=6
故答案为：2或6
点评：本题考查空间中两点之间的距离公式，本题是一个基础题，这种题目若出现就是一个送分题目，同学们在解题过程中认真做出数字，就不会出错．
21、点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= 2 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：由题意求出P关于坐标平面xOz的对称点为P2的坐标，即可求出|P1P2|．
解答：解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），
∴|P1P2|=
=2．
故答案为：2
点评：本题是基础题，考查空间点关于点、平面的对称点的求法，两点的距离的求法，考查计算能力．
22、在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为 （0，0，） ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．
解答：解：由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴=，
∴18z=28，
∴z=，
∴C点的坐标是（0，0，）
故答案为：（0，0，）
点评：本题考查两点之间的距离公式，不是求两点之间的距离，而是应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个基础题．
23、空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是 ．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：本题已知空间中两点的坐标，直接代入公式求两点之间的距离即可
解答：解：由公式点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是=
故两点间的距离是
故答案为：
点评：本题考查两点间的距离公式，是公式的直接运用题，属于基本公式运用题，基础题型．
三、解答题（共2小题）
24、在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，OO1=a，OA=b，OC=c，M是BB1中点，N是CC1中点，P是AA1上一点，且AP=2PA1，Q是OA反向延长线上一点，OA=2QO，以O为原点，OA，OC，OO1为x轴、y轴、z轴的正方向，
（1）求B、B1、M、N、P、Q的坐标；
（2）求QM的距离．
25、求函数y=+的最小值．
考点：空间两点间的距离公式。
专题：计算题；综合题。
分析：把两个根式看做两个两点间的距离，利用对称知识解答即可．
解答：解：因为y=+，
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和．
y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值．
由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，﹣3），
则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，
即=4．
所以ymin=4
．
点评：本题考查两点间的交流公式，对称知识，是中档题．
