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5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.
2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
注意点：
(1)该函数的最大值为，最小值为－.
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 与三角函数性质有关的综合问题
例1 已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)f(x)＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
反思总结 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提；(2)本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，即综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
题型二 三角恒等变换在几何中的应用
例2 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin(α＋)＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，
此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
反思总结 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．
跟踪训练2 (教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
解：如图，连接OC，
设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
题型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
例3 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
分析 解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR、PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．
解：如图连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，
则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ.
所以PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤)，则sin θcos θ＝.
所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100·＝(t－)2＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000) m2.
反思总结 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．
跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝ ________.
答案：
解析：由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，所以cos θ－sin θ＝，又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
习题精练 基础巩固 强化落实
一、选择题
1.已知sin x＋cos x＝，则cos等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵sin x＋cos x＝2sin＝，∴sin＝，则cos＝sin＝.
2.cos 15°－4sin215°cos 15°等于( )
A. B. C.1 D.
答案：D
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝－2＝－2sin(－45°)＝.
3.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f(x)在上单调递增
答案：D
解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；由f ＝sin＝≠0，故C错误；由π4.当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为( )
A. (－2，) B. [－2，] C. (－，) D. [－，]
答案：B
解析：由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0，即sin x－cos x＝m在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象与直线y＝m在上有交点，如图，
由图象易得，－2≤m≤.
5.若sin α－cos α＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
答案：D
解析：∵sin α－cos α＝2＝－2cos＝，∴cos＝－.
6.函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f ＝0，即函数f(x)的一个对称中心为.
7. (多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－对称 D．f(x)在上单调递增
答案：BCD
解析：∵f(x)＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.当x＝－时，sin＝－1，∴直线x＝－为对称轴．当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，综上有B，C，D正确，A不正确．
8.函数f(x)＝sin－sin 的值域为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：f(x)＝sin－sin＝sin－cos＝sin，又0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴≤sin≤1，∴≤sin≤，∴函数f(x)＝sin的值域为.
9.若不等式4sin2x＋4sin xcos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为( )
A．11 B．5 C．－5 D．－11
答案：B
解析：设y＝4sin2x＋4sin xcos x＋5＝2(1－cos 2x)＋2sin 2x＋5＝4sin＋7.因为x∈，所以2x－∈，所以y＝4sin＋7∈[5,11]，又y≤m有解，故实数m的最小值为5.
10.若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于( )
A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13
答案：C
解析：∵f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|，∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，∵－5≤5sin(x＋φ)≤5，∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8，解得m＝3；当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3.
二、填空题
11.等于____________．
答案：
解析：＝＝＝＝.
12.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是____________．
答案：[2,6]
解析：∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sin sin x＋cos cos x＝，
∴cos＝.∵－1≤cos≤1，∴－1≤≤1，∴2≤m≤6.
13.函数f(x)＝3sin x＋5sin的最大值是____________．
答案：7
解析：f(x)＝3sin x＋5＝sin x＋cos x＝sin(x＋φ)＝7sin(x＋φ)，所以f(x)max＝7.
14.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为________．
答案：
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由x∈[0，π]，又ω>0，则可令t＝ωx＋∈，又函数y＝2sin t在t∈上有两个零点，如图，
则2π≤ωπ＋<3π，解得ω∈.
15.已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________．
答案：2
解析：因为f(x)＝2sin x＋3cos x＝sin(x＋φ)，所以f(x)max＝，f(x)min＝－，因为x1，x2∈R，所以f(x1)－f(x2)的最大值为f(x1)max－f(x2)min＝－(－)＝2.
三、解答题
16.已知函数f(x)＝4cos xsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1
＝4cos x－1＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
17.已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
解：∵sin＋sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α＝sin α＋cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin＝－.
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝.
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.
18.已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sinsin.
(1)若tan α＝2，求f(α)；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x＝＋sin 2x＋cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)＋，
由tan α＝2得
sin 2α＝＝＝，
cos 2α＝＝＝－，所以f(α)＝×＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋，
由x∈得2x＋∈，所以sin∈，
从而f(x)＝sin＋∈.
19.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
解：(1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin，
又θ∈，
所以θ＋∈，
当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40 m，
此时AO＝DO＝10 m，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远．
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.
2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
注意点：
(1)该函数的最大值为，最小值为－.
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 与三角函数性质有关的综合问题
例1 已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
反思总结 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提；(2)本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
题型二 三角恒等变换在几何中的应用
例2 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
反思总结 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．
跟踪训练2 (教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
题型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
例3 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
反思总结 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．
跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝ ________.
习题精练 基础巩固 强化落实
一、选择题
1.已知sin x＋cos x＝，则cos等于( )
A. B. C. D.
2.cos 15°－4sin215°cos 15°等于( )
A. B. C.1 D.
3.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f(x)在上单调递增
4.当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为( )
A. (－2，) B. [－2，] C. (－，) D. [－，]
5.若sin α－cos α＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
6.函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
7. (多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－对称
D．f(x)在上单调递增
8.函数f(x)＝sin－sin 的值域为( )
A. B. C. D.
9.若不等式4sin2x＋4sin xcos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为( )
A．11 B．5 C．－5 D．－11
10.若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于( )
A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13
二、填空题
11.等于____________．
12.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是____________．
13.函数f(x)＝3sin x＋5sin的最大值是____________．
14.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为________．
15.已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________．
三、解答题
16.已知函数f(x)＝4cos xsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
17.已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
18.已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sinsin.
(1)若tan α＝2，求f(α)；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
19.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二) 1/1
