5.2.1 三角函数的概念
知识点1 任意角的三角函数
1．定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
，，．
2．推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则：
，，．
注：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离，那么，，
知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
考点一 三角函数的定义及应用
解题方略：
(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
，，.
注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．
(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标，则对应角的正弦值，余弦值，正切值.
注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．
(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
(一)利用定义求角的三角函数值
【例1-1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为( )
A． B． C． D．
变式1-1-1：若角的终边经过点，则_______，______，________．
变式1-1-2：已知角的终边过点，则( )
A． B． C． D．
变式1-1-3：(多选)已知函数的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值可能是( )
A．2 B．3 C． D．
变式1-1-4：(多选)若角的终边上有一点，且，则a的值为( )
A． B． C． D．
(二)由三角函数值求终边上的点或参数
【例1-2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为( )．
A． B． C． D．
变式1-2-1：已知角的终边经过点，且，则( )
A． B．1 C．2 D．
变式1-2-2：已知是角终边上一点，且，则的值是( )
A． B． C． D．
变式1-2-3：已知角的终边经过点，且，则实数的a值是( )
A． B． C．或 D．1
变式1-2-4：已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为______．
(三)由单位圆求三角函数值
【例1-3】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
A. B． C． D．
变式1-3-1：角的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，则________，若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则转过的角度为________．
变式1-3-2：已知角的终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
(四)已知角的终边在直线上求三角函数值
【例1-4】已知角的终边落在射线上，求，的值．
变式1-4-1：已知的终边落在直线上，求，的值
变式1-4-2：是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为( )
A． B． C． D．
考点二 三角函数值符号的判定
解题方略：三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．
(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号
【例2-1】坐标平面内点的坐标为，则点位于第( )象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
变式2-1-1：若为第四象限角，则( )
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )
A． B． C． D．
变式2-1-3：下列各式：
①； ②； ③； ④.
其中符号为负的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限
【例2-2】已知，则角位于第________象限．
变式2-2-1：已知且，则是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
变式2-2-2：若角满足，，则在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2-2-3：若，且，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式2-2-4：已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
变式2-2-6：在中，A为钝角，则点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2-2-7：已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]5.2.1 三角函数的概念
知识点1 任意角的三角函数
1．定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
，，．
2．推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则：
，，．
注：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离，那么，，
知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
考点一 三角函数的定义及应用
解题方略：
(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
，，.
注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．
(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标，则对应角的正弦值，余弦值，正切值.
注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．
(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
(一)利用定义求角的三角函数值
【例1-1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知点，则，则.
变式1-1-1：若角的终边经过点，则_______，______，________．
【答案】；；
【解析】因为，所以，
则．
变式1-1-2：已知角的终边过点，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边过点，
所以，
所以，
变式1-1-3：(多选)已知函数的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值可能是( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】AC
【解析】由题意，可知或，
当点是时，由三角函数的定义有，所以；
当点是时，由三角函数的定义有，.
变式1-1-4：(多选)若角的终边上有一点，且，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由三角函数的定义可知，，
又，则，解得或，
(二)由三角函数值求终边上的点或参数
【例1-2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为角终边经过点，且，所以，解得
变式1-2-1：已知角的终边经过点，且，则( )
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，解得．
变式1-2-2：已知是角终边上一点，且，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是角终边上一点，，故点位于第二象限
所以，，整理得：，因为，所以.
变式1-2-3：已知角的终边经过点，且，则实数的a值是( )
A． B． C．或 D．1
【答案】B
【解析】由题设，且，即，
∴，则，解得或，综上，.
变式1-2-4：已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为______．
【答案】0或
【解析】因为角的终边上有一点，
所以，解得或.
(三)由单位圆求三角函数值
【例1-3】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角的终边与单位圆交于点，所以根据三角函数的定义可知，．
变式1-3-1：角的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，则________，若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则转过的角度为________．
【答案】；
【解析】的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为
可得：，且，则有：
点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，可得：
变式1-3-2：已知角的终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的终边与单位圆交于点,
故 ，
故，
所以，
(四)已知角的终边在直线上求三角函数值
【例1-4】已知角的终边落在射线上，求，的值．
【解析】设射线上任一点，则，，
，.
变式1-4-1：已知的终边落在直线上，求，的值
【答案】或
【解析】①若的终边在第一象限内，设点是其终边上任意一点
，
②若的终边在第三象限内，设点是其终边上任意一点
，
变式1-4-2：是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，解得，因此，.
考点二 三角函数值符号的判定
解题方略：三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．
(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号
【例2-1】坐标平面内点的坐标为，则点位于第( )象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】，，则点位于第二象限，
变式2-1-1：若为第四象限角，则( )
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【解析】法一：因为为第四象限角，，
所以的终边在第三象限、第四象限或y轴的负半轴上，所以.
法二：因为为第四象限角，，，.
变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，则是第四象限角，故；
，则是第一象限角，故；
，则是第二象限角，故；
，则10是第三象限角，故，故选D.
变式2-1-3：下列各式：
①； ②； ③； ④.
其中符号为负的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】，故；在第二象限，故；
在第二象限，故，.
(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限
【例2-2】已知，则角位于第________象限．
【答案】二或三
【解析】当为第一象限角时，，，；
当为第二象限角时，，，
当为第三象限角时，，，
当为第四象限角时，，，
综上，若，则位于第二或第三象限
变式2-2-1：已知且，则是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】D
【解析】，则是第三、四象限的角，，则是第二、四象限的角
∴是第四象限的角
变式2-2-2：若角满足，，则在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.
变式2-2-3：若，且，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】由可知,异号，从而是第二或第三象限角．
由可知，异号，从而是第三或第四象限角．
综上可知，是第三象限角．
变式2-2-4：已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】因为点P在第四象限，所以有，由此可判断角的终边在第三象限．
变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.
变式2-2-6：在中，A为钝角，则点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】在中，A为钝角，则B为锐角，则，则点在第二象限
变式2-2-7：已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】∵，，∴角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴ ∴ .
