5.2.1 同角三角函数的基本关系
知识点1 同角三角函数的基本关系sin
1、平方关系：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，即.
2、商数关系：同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即其中．
3、公式常见变形：
①；
②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦；；⑧．
⑨
注：
同角并不拘泥于角的形式，如，成立，但是就不一定成立．
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
解题策略：
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式化成正弦、余弦，或者利用公式化成正切 表达式中含有,与
“1”的变换 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式进行变形、转化 表达式中含有或
(一)已知一个三角函数值求其他三角函数值
【例1-1】若为第三象限角，且，则( )
A． B． C． D．
变式1-1-1：已知，，则等于( )
A． B． C． D．
变式1-1-2：已知，则( )
A． B． C． D．
变式1-1-3：已知，且，则( )
A． B． C． D．
(二)利用平方关系求参数
【例1-2】若，且，，则实数的值是__________．
变式1-2-1：已知，且为第二象限角，则m的值为__________.
变式1-2-2：已知，，且，求实数的值．
(三)由条件等式求值
【例1-3】已知，则_________．
变式1-3-1：已知，，则( )
A． B． C． D．
变式1-3-2：已知，则的值是( )
A． B． C． D．
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
解题策略：利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
【例2】化简：．
变式2-1：化简的结果是( )
A． B． C． D．
变式2-2：已知，其中是第三象限角.
(1)化简；
(2)若，求，.
考点三 正余弦齐次式的计算
解题策略：正余弦齐次式处理技巧：
已知
(1)分式齐1次式：
(2)分式齐2次式：
(3)齐2次整式：
【例3】如果，那么___________.
变式3-1：已知，则___________．
变式3-2：若，则的值是( )
A． B． C． D．
变式3-3：已知，则______．
变式3-4：已知，求下列各式的值.
(1)； (2).
变式3-5：已知．
(1)求的值； (2)求的值．
变式3-6：已知，则______.
考点四 和之间的关系
解题策略：与和有关的公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
注：
利用可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；
利用可以实现角的弦切互化；
利用的关系可实现和积转化，，，这三个式子，知一可求二
【例4】若第三象限角，且，则( )
A． B． C． D．
变式4-1：(多选)已知，，则下列选项中正确的有( )
A． B． C． D．
变式4-2：已知，则的值为( )
A． B． C． D．
变式4-3：已知，则( )
A． B． C． D．
变式4-4：已知，且，则( )
A． B． C． D．
变式4-5：已知，则______．
变式4-6：已知，．
(1)求的值； (2)求的值．
变式4-7：《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则( )
A． B． C． D．
考点五 恒等式的证明
【例5】求证：.
变式5-1：求证：．
变式5-2：(1)； (2).
变式5-3：求证：
(1)＝； (2)5.2.1 同角三角函数的基本关系
知识点1 同角三角函数的基本关系sin
1、平方关系：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，即.
2、商数关系：同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即其中．
3、公式常见变形：
①；
②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦；；⑧．
⑨
注：
同角并不拘泥于角的形式，如，成立，但是就不一定成立．
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
解题策略：
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式化成正弦、余弦，或者利用公式化成正切 表达式中含有,与
“1”的变换 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式进行变形、转化 表达式中含有或
(一)已知一个三角函数值求其他三角函数值
【例1-1】若为第三象限角，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，.
变式1-1-1：已知，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，.
变式1-1-2：已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，所以，
所以，
变式1-1-3：已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则
又，所以．
(二)利用平方关系求参数
【例1-2】若，且，，则实数的值是__________．
【答案】1
【解析】因为，所以 即 解得：
又 整理得：
即 解得：或(舍去) ．
变式1-2-1：已知，且为第二象限角，则m的值为__________.
【答案】4
【解析】由得，，或，
又为第二象限角，，，把m的值代入检验得，.
变式1-2-2：已知，，且，求实数的值．
【答案】8
【解析】因为，，且，则，
又，所以，解得或，
当时，，不满足题意，
当时，，，满足题意．所以
(三)由条件等式求值
【例1-3】已知，则_________．
【答案】2
【解析】因为，所以，
即，所以，
即，所以.
变式1-3-1：已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
整理得，解得或，
由，得，，所以，
所以，所以．
变式1-3-2：已知，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由同角三角函数关系式及题意可得且，
所以，.
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
解题策略：利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
【例2】化简：．
【答案】
【解析】
．
变式2-1：化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．
变式2-2：已知，其中是第三象限角.
(1)化简；
(2)若，求，.
【答案】(1)；(2),
【解析】(1)是第三象限角，，，，，
，
∴.
(2)，，则.
考点三 正余弦齐次式的计算
解题策略：正余弦齐次式处理技巧：
已知
(1)分式齐1次式：
(2)分式齐2次式：
(3)齐2次整式：
【例3】如果，那么___________.
【答案】1
【解析】由，得．
变式3-1：已知，则___________．
【答案】
【解析】因为，若，则，与不符，矛盾，
所以，，所以，，
因此，.
变式3-2：若，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
.
变式3-3：已知，则______．
【答案】
【解析】，．
变式3-4：已知，求下列各式的值.
(1)； (2).
【答案】(1)； (2)10
【解析】(1)因为，所以原式
(2)原式=.
又，故原式
变式3-5：已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)； (2)
【解析】(1)解法一：∵，，
∴，
分子分母同时除以，得，
即，解得．
解法二：∵，∴，
即，∴，∴．
(2)∵，∴．
变式3-6：已知，则______.
【答案】5
【解析】因为，所以
.
考点四 和之间的关系
解题策略：与和有关的公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
注：
利用可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；
利用可以实现角的弦切互化；
利用的关系可实现和积转化，，，这三个式子，知一可求二
【例4】若第三象限角，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为第三象限角，所以，
因为，且，解得或，则.
变式4-1：(多选)已知，，则下列选项中正确的有( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，可得，
因为，所以，由解得，
所以，故A正确；，故B错误；
，故C正确；，故D正确；
变式4-2：已知，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，即，解得，
所以，
变式4-3：已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，因此.
变式4-4：已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，
∴，又∵，
∴，即.
变式4-5：已知，则______．
【答案】16
【解析】由，得
所以，所以
变式4-6：已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】(1)把平方后得，，可得，
可得，由，可得，，有．
由，有．
(2)由(1)有，①，解得，可得．
②，解得，可得．
变式4-7：《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即
故有
解得或. 因为，则，故.
考点五 恒等式的证明
【例5】求证：.
【解析】证明：∵右边＝
＝＝左边，.
变式5-1：求证：．
【解析】证明：左边＝＝右边．
所以原式成立．
变式5-2：(1)； (2).
【解析】(1) (2)
.
所以原式成立.
所以原式成立.
变式5-3：求证：
(1)＝； (2)
【解析】(1)左边=
=右边.
(2)左边=
＝右边.
