两个变量的线性相关
一、选择题（共10小题）
1、假设有两个分类变量m和n其2×2列联表为：
n1
n2
总计
m1
a
b
a+b
m2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
对于同一样本来说，能说明m和n有关的可能性最大的一组数据为（ ）21世纪教育网版权所有
A、a=8，b=7，c=6，d=5
B、a=8，b=6，c=7，d=5
C、a=5，b=6，c=7，d=8
D、a=5，b=6，c=8，d=7
2、遗传学研究发现，子女的身高与父母的身高相关，且子女的身高向人类的平均身高靠近，这种现象称为“回归”．现用x（单位：米）表示父母的身高，y（单位：米）表示子女的身高，则在下列描述中子女身高与父母身高关系的回归直线中，拟合比较好的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
3、为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t1和t2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，那么下列说法正确的是（ ）
A、t1和t2有交点（s，t）
B、t1和t2相交，但交点不是（s，t）
C、t1和t2必定重合
D、t1和t2必定不重合
4、对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ）
A、由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）
B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C、用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D、若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
5、下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）
气温/℃
18
13
10
4
﹣1
杯数
24
34
39
51
63
A、y=x+6 B、y=x+42
C、y=﹣2x+60 D、y=﹣3x+78
6、下列关系属于线性负相关的是（ ）
A、父母的身高与子女身高的关系
B、球的体积与半径之间的关系
C、汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程
D、一个家庭的收入与支出
7、有关线性回归的说法，不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、具有相关关系的两个变量不一定是因果关系
B、散点图能直观地反映数据的相关程度
C、回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D、任一组数据都有回归方程
8、如图给出了某种豆类生长枝数y（枝）与时间t（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=2t2 B、y=log2t
C、y=t3 D、y=2t
9、下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A、瑞雪兆丰年 B、名师出高徒
C、吸烟有害健康 D、喜鹊叫喜
10、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
R
0.82
0.78
0.69
0.85
M
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
二、填空题（共2小题）
11、某市居民2005～2009年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 _________ ，家庭年平均收入与年平均支出的回归直线方程一定过 _________ 点．
12、如图所示，有5组（x，y）数据，去掉 _________ 组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共3小题）
13、冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：
根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系21世纪教育网版权所有
？
14、某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
15、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了5月1日至5月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：21世纪教育网版权所有
日 期
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
温差x（°C）
10
12
11
13
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
（1）从5月1日至5月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．21世纪教育网版权所有
（2）根据5月2日至5月4日的数据，利用相关系数r判断y与x是否具有线性相关关系（参考数据：|r|＞0.75时，认为两变量有很强的线性相关；）
答案与评分标准
一、选择题（共10小题）
1、假设有两个分类变量m和n其2×2列联表为：
n1
n2
总计
m1
a
b
a+b
m2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
对于同一样本来说，能说明m和n有关的可能性最大的一组数据为（ ）21世纪教育网版权所有
A、a=8，b=7，c=6，d=5 B、a=8，b=6，c=7，d=5
C、a=5，b=6，c=7，d=8 D、a=5，b=6，c=8，d=7
纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
考点：两个变量的线性相关。
专题：图表型。
分析：描述中子女身高与父母身高关系的回归直线中，拟合效果越好，则两条直线的倾斜角越接近，我们逐一分析四个图形，寻找四个答案中直线的倾斜角最接近的图象，即为答案．
解答：解：回归直线拟合效果越好，
则两条直线的倾斜角越接近，
我们逐一分析四个图形，
直线的倾斜角最接近的图象为B，
故答案为B．
点评：回归直线中，拟合效果越好，则两条直线的倾斜角越接近，反之，两条直线的倾斜角越接近，则拟合效果越好．
3、为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t1和t2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，那么下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、t1和t2有交点（s，t） B、t1和t2相交，但交点不是（s，t）
C、t1和t2必定重合 D、t1和t2必定不重合
考点：两个变量的线性相关。
专题：常规题型。
分析：由题意知两组数据的样本中心点都是（s，t），根据数据的样本中心点一定在线性回归直线上，得到回归直线t1和t2都过点（s，t），得到结论．
解答：解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，
对变量y的观测值的平均值都是t，
∴两组数据的样本中心点都是（s，t）
∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，
∴回归直线t1和t2都过点（s，t）
∴两条直线有公共点（s，t）
故选A．
点评：本题考查线性回归方程，考查线性回归方程过这组数据的样本中心点，本题是一个基础题，没有运算只有理论知识的应用．
4、对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，） B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C、用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D、若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
考点：两个变量的线性相关。
专题：常规题型。
分析：线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强．
解答：解：样本中心点在直线上，故A正确，
残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，
R2越大拟合效果越好，故C不正确，
当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，
故选C
点评：本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．
5、下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）21世纪教育网版权所有
气温/℃
18
13
10
4
﹣1
杯数
24
34
39
51
63
A、y=x+6 B、y=x+42
C、y=﹣2x+60 D、y=﹣3x+78
考点：两个变量的线性相关。
专题：计算题。
分析：做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，因为回归直线方程一定过数据的样本中心点，所以把求得的结果代入四个选项中，能够成立的就是最接近的．
解答：解：由题意知=8.8
=42.2
∴本组数据的样本中心点是（8.8，42.2）
代入所给的四个选项，只有C符合，
故选C
点评：本题考查回归直线方程和样本中心点，这是一个新型的问题，这类问题可以作为高考题出现，题目会给出要用的公式，实际上是一个基础题．
6、下列关系属于线性负相关的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、父母的身高与子女身高的关系 B、球的体积与半径之间的关系
C、汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程 D、一个家庭的收入与支出
7、有关线性回归的说法，不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B、散点图能直观地反映数据的相关程度
C、回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D、任一组数据都有回归方程
考点：两个变量的线性相关。
专题：阅读型。
分析：具有相关关系的两个变量不一定是因果关系，散点图能直观的反映数据的相关程度，回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系，并不是任一组数据都有回归方程．
解答：解：具有相关关系的两个变量不一定是因果关系，故A正确，
散点图能直观的反映数据的相关程度，故B正确，
回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系，故C正确
并不是任一组数据都有回归方程，
例如当一组数据的线性相关系数很小时，
这组数据就不会有回归方程．故D 不正确
故选D
点评：本题考查两个变量的线性相关，考查线性相关关系的意义，考查散点图和线性回归方程的作用，本题是一个概念辨析问题．
8、如图给出了某种豆类生长枝数y（枝）与时间t（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=2t2 B、y=log2t
C、y=t3 D、y=2t
点评：本题考查函数模型的选择，本题解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，本题是一个基础题．
9、下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）21世纪教育网
A、瑞雪兆丰年 B、名师出高徒
C、吸烟有害健康 D、喜鹊叫喜
考点：两个变量的线性相关。
专题：阅读型。
分析：瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系．得到结论．
解答：解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，
名师出高徒也具有相关关系，
吸烟有害健康也具有相关关系，
故选D．
点评：本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
10、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
R
0.82
0.78
0.69
0.85
M
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（ ）21世纪教育网
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
考点：两个变量的线性相关。
专题：计算题；图表型；规律型。
分析：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．
解答：解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，
在四个选项中只有丁的相关系数最大，
残差平方和越小，相关性越强，
只有丁的残差平方和最小，
综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，
故选D．
点评：本题考查两个变量的线性相关，本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于线性相关的刻画．
二、填空题（共2小题）
11、某市居民2005～2009年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出的回归直线方程一定过 （12.98，9.48） 点．21世纪教育网
考点：两个变量的线性相关；众数、中位数、平均数。
专题：计算题。
分析：由题意知本题求一组数据的中位数，要把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是中位数，回归直线一定过样本中心点，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点．
解答：解：求居民收入的中位数，21世纪教育网
把居民收入这一栏数据按照从小到大排列，最中间的一个数字是13，
∴居民家庭年平均收入的中位数是13，
∵=12.98，
=9.48，
∴回归直线一定过（12.98，9.48）
故答案为：13；（12.98，9.48）
点评：对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．
12、如图所示，有5组（x，y）数据，去掉 D 组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
考点：两个变量的线性相关。
专题：阅读型；数形结合。
分析：根据线性相关的意义知，当所有的数据在一条直线附近排列时，这些事件具有很强的线性相关关系，在条件中所给的五组数据中只有D不在这条线附近，故去掉D点．
解答：解：∵A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，
D点离得远．
∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大
故答案为：D．
点评：本题考查两个变量的线性相关，考查观察散点图，考查具有线性相关关系的一组数据的特点，是一个基础题．21世纪教育网
三、解答题（共3小题）
13、冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：
根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？
考点：两个变量的线性相关。
专题：计算题。
分析：根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
解答：解：由已知数据得到如下2×2列联表21世纪教育网
由公式K2=≈13.11，
由于13.11＞10.828，
故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
点评：本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题，本题考查的知识点与其他的知识点联系不大，一般是单独出题．
14、某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
（Ⅱ）=5，
=50
又已知，．
于是可得：=
=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
点评：用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点．是两个系数之间的纽带，希望大学注意．
15、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了5月1日至5月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日 期
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
温差x（°C）
10
12
11
13
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
（1）从5月1日至5月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．21世纪教育网
（2）根据5月2日至5月4日的数据，利用相关系数r判断y与x是否具有线性相关关系（参考数据：|r|＞0.75时，认为两变量有很强的线性相关；）
所以事件A的概率为，21世纪教育网
故事件“m，n均不小于25”的概率；
（2）根据题意，易得==12，==27；
则r==﹣≈﹣0.756，
|r|＞0.75，
则y与x线性相关．
点评：本题考查等可能事件的概率计算与利用相关系数的计算及运用，注意相关系数r的计算公式即可．21世纪教育网
