门头沟区 2022-2023 学年度第一学期期末调研试卷
九 年 级 数 学 2022.12
1．本试卷共 8 页，三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。
考
2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。
生
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。请使用 2B 铅笔填
须
涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。
知
4．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
第 1- 8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个．
x 1 x y
1．如果 ，那么 的值是
y 3 y
2 4 3 1
A． B． C． D．
3 3 4 4
2. 已知⊙O 的半径为 4，如果点 P 在⊙O 内，那么 OP 的长可能是
A．3 B． 4 C．5 D．6
A
3．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如果 AC= 3，BC = 4，那么 sin A 的值是
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
C B
4．如果将抛物线 y x2向上平移 3 个单位长度，得到新的抛物线的表达式是
2 2
A． y x 3 B． y x 3 C． y x2 3 D． y x2 3
5．如图，AD，BC 相交于点 O，且 AB∥CD．如果 AO=CO=2，BO=1，那么 OD 的值是
A B
A．3 B． 4 C．5 D．6
O
C D
6．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，如果∠CAB = 30°，那么∠ADC 的度数是 C
A．45° B．50° C．55° D．60° A B
O
D
7．二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，那么下列结论正确的是
y x =1
A． ac 0
B．b 2a -1 O 1 2 3 x
C．b2 4ac 0
D．一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的近似解为 x1 0.5， x 2 3.2
九年级第一学期期末数学试卷 第 1 页（共 8 页）
8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是
A．圆的面积 y 与它的半径 x； y
B．正方形的周长 y 与它的边长 x；
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积 y 与一边长 x；
O x
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间 y 与平均速度 x；
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9．如果 tan 1，那么锐角 = 度．
10．如果一个扇形的圆心角为 90°，半径为 2，那么该扇形的面积为 （结果保留 ）．
3
11．在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y 的图象经过点 A（1， y ），B（3， y ），那么1 2 y 与1 y 的2
x
大小关系是 y y （填“>”，“=”或“<”）． 1 2 A
D
E
12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E 是网格线的交点，那么 B
C
△ADE 的面积与△ABC 的面积的比是 ．
13．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大．这个二次函数的
表达式可以是 ．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，
A
立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．
其意思是：“如图，有一根竹竿 AB 不知道有多长，量出它在太
竹 D
阳下的影子 BC 长 150 寸，同时立一根 15 寸的小标杆 DE，它 标
竿
竿
的影子 EF 长 5 寸，则竹竿 AB 的长为多少？”． B C E F
答：竹竿 AB 的长为 寸．
C
15．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．
A B
如图，已知某公园石拱桥的跨度 AB=16 米，拱高 CD=4 米，那么 D
桥拱所在圆的半径 OA= 米．
O
16．如图 1，在等边△ABC 中，D 是 BC 中点，点 P 为 AB 边上一动点，设 AP=x，DP=y，如果 y 与 x 的函
数关系的图象如图 2 所示，那么 AB= ．
y
A
P
3
B D C
O x
图 1 图 2
九年级第一学期期末数学试卷 第 2 页（共 8 页）
三、解答题（本题共 68 分，第 17～22 题每小题 5 分，第 23～26 题每小题 6 分，第 27～28 题每小题 7 分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
0
17．计算： 2 4cos30 12 2 ．
B
18．如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，连接 CD．
D
请添加一个条件 ，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．
A C
19．下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图 1，⊙O．
求作：等边△ABC，使得等边△ABC 内接于⊙O． O
作法：①如图 2，作半径 OM； 图 1
②以 M 为圆心，OM 长为半径作弧，交⊙O 于点 A，B，连接 AB；
③以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交⊙O 于点 C；
M
④连接 AC，BC． O
∴△ABC 就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： 图 2
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图 2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 OA，OB，MA，MB．
由作图可知 MA=MB=OM =OA=OB，
∴△OAM，△OBM 是等边三角形．
∴∠AOM=∠BOM= °．
∴ ∠AOB=120°．
∵ AB AB，
1
∴∠ACB= ∠AOB=60°．（ ）（填推理的依据）
2
∵BC=BA，
∴△ABC 是等边三角形．
九年级第一学期期末数学试卷 第 3 页（共 8 页）
y
20．已知二次函数 y x2 2x 3 4
3
（1）求此二次函数图象的顶点坐标； 2
1
（2）求此二次函数图象与 x 轴的交点坐标；
x
–4 –3 –2 –1O 1 2 3 4
–1
（3）当 y 0时，直接写出 x 的取值范围．
–2
–3
–4
21．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 在 AB 上，CA= CD，过点 B 作 BE⊥CD，交 CD 的延长线
于点 E． A E
（1）求证：△ABC∽△DBE； D
（2）如果 BC = 5，BE= 3，求 AC 的长．
C B
m
22．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y k x 2 1（ k 0）的图象与反比例函数 y （m 0）
x
的图象的一个交点为 A（ 2 ，n）．
y
m 4
（1）求反比例函数 y 的表达式；
x 3
2
（2）当 x 1时，对于 x 的每一个值，一次函数 y k x 2 1 1
x
m –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4
（ k 0）的值大于反比例函数 y （m 0）的值， –1
x
–2
直接写出 k 的取值范围． –3
–4
23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”
的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．
P
他们利用无人机在点 P 处测得定都阁顶端 A 的 α
β
俯角 α为 45°，定都阁底端 B 的俯角 β 为 60°，
此时无人机到地面的垂直距离 PC 为 46 3 米，
求定都阁的高 AB．（结果保留根号） A
B C
九年级第一学期期末数学试卷 第 4 页（共 8 页）
24．某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路
径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（x 单
位：m），距地面的垂直高度为 y（单位：m），现测得 x 与 y 的几组对应数据
如下：
水平距离 x /m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 y /m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
y/m
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x/m
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 1.6m 的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石
柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
25．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC ，垂足
为 E．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线； C
1 D
（2）如果 tan B ，DE = 1，求 AB 的长．
2
E
A BO
九年级第一学期期末数学试卷 第 5 页（共 8 页）
26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（ ， 2x1 y ），N（ x ， y ）在抛物线 y ax bx 1 （ a 0）上，1 2 2
其中 x x ，设抛物线的对称轴为 x t ． 1 2
（1）当 t 1时，如果 y y 1，直接写出 x ， x 的值； 1 2 1 2
（2）当 x 1， x 3时，总有 y y 1，求 t 的取值范围． 1 2 2 1
y
4
3
2
1
x
–4 –3 –2 –1O 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
27．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上，连接 AD，在直线 AC 右侧作 AE⊥AD，且 AE=AD，
连接 BE 交 AC 于点 F．
（1）如图 1，当 AC=BC 时，
① 依题意补全图 1，猜想∠ADC 与∠CAE 之间的数量关系，并证明；
② 用等式表示线段 BF，EF 的数量关系，并证明．
（2）如图 2，当 AC=mBC(m>0)时，直接用含 m 的等式表示线段 BF，EF 的数量关系．
A
A
B D C B D C
图 1 图 2
九年级第一学期期末数学试卷 第 6 页（共 8 页）
28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点M (x1，y1) ，给出如下定义：当点 N(x2，y2 )，满足 x1 x2 y1 y2时，
称点 N 是点 M 的等积点．
已知点 M（1，2）．
（1）在 N (6，3)， N ( 3， 1 )， N ( 4， 2 )中，点 M 的等积点是__________； 1 2 3
2
（2）如果点 M 的等积点 N 在双曲线 y 上，求点 N 的坐标；
x
（3）已知点 P（6，2），Q（2，a），⊙Q 的半径为 1，连接 MP，点 A 在线段 MP 上．如果在⊙Q 上
存在点 A 的等积点，直接写出 a 的取值范围．
y
10
9
8
7
6
5
4
3
M
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–1
–2
–3
–4
九年级第一学期期末数学试卷 第 7 页（共 8 页）
以下为草稿纸
九年级第一学期期末数学试卷 第 8 页（共 8 页）门头沟区 2022-2023 学年度第一学期期末调研
九年级数学答案及评分参考 2022.12
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B D A C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 45 1: 4 略 450 10 4
三、解答题（本题共 68 分，第 17～22 题每小题 5 分，第 23～26 题每小题 6 分，第 27～
28 题每小题 7 分）
17．（本小题满分 5 分）
3
解：原式 =1 4 2 3 2.………………………………………………………………4 分
2
=3 ．……………………………………………………………………………5 分
18．（本小题满分 5 分）
解：添加条件正确；…………………………………………………………………………2 分
证明过程正确．…………………………………………………………………………5 分
19．（本小题满分 5 分）
解：（1）作图正确；…………………………………………………………………………3 分
（2）依据正确．…………………………………………………………………………5 分
20．（本小题满分 5 分）
2
解：（1） y x2 2x 3 x2 2x 1 1 3 x 1 4，
∴抛物线的顶点坐标为（1， 4）．……………………………………………2 分
2
（2）令 y 0，则 x 2x 3 0 .
解得 x 1，x 3． 1 2
∴抛物线与 x 轴的交点坐标为( 1，0) ， (3，0) ． …………………………4 分
（3） 1 x 3 ．……………………………………………………………………5 分
21．（本小题满分 5 分）
（1）证明：∵ CA=CD，
∴ ∠A =∠ADC ．
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 1 页（共 5 页）
∵∠ADC =∠BDE，
∴ ∠A =∠BDE ．……………………………………………………………1 分
∵∠ACB = 90°，BE⊥CD，
∴ ∠ACB =∠E = 90°．…………………………………………………………2 分
∴ △ABC∽△DBE．…………………………………………………………3 分
（2）解：在 Rt△BCE 中，∠E = 90°，BC = 5，BE = 3．
∴ 由勾股定理得 CE=4．…………………………………………………………4 分
∵ △ABC∽△DBE，
AC BC
∴ ．
DE BE
∵ AC=DC，
AC 5
∴ ．
4 AC 3
5
∴ AC ．………………………………………………………………………5 分
2
22．（本小题满分 5 分）
解（1）∵A( 2 ，n)在一次函数 y k(x 2) 1（ k 0）的图象上，
∴n= k( 2 2) 1 1 . …………………………………………………………1 分
∴点 A 的坐标为( 2 ， 1 ).
m
∵点 A 在反比例函数 y （m 0）的图象上，
x
∴m 2.………………………………………………………………………………2 分
2
∴反比例函数的表达式为 y . ………………………………………………3 分
x
（2） k≥1.…………………………………………………………………………………5 分
23．（本小题满分 6 分）
解：过点 A 作 AD⊥PC 于 D. …………………………………………………………………1 分
根据题意，得∠PAD=α=45°，∠PBC=β=60°. P
α
PC β
在 Rt△PBC 中，PC= 46 3 ， tan PBC ，
BC
46 3
∴ tan 60 .
BC
A
46 3 D
∴ 3 .
BC
∴ BC 46.………………………………………3 分
∵∠ABC=∠ADC =∠BCD=90°，
B C
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 2 页（共 5 页）
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴AB=DC，AD=BC=46.…………………………………………………………………4 分
在 Rt△PAD 中，∠PDA=90°，∠PAD=45°，
∴∠PAD=∠APD=45°.
∴PD=AD= 46. ……………………………………………………………………………5 分
∴AB=DC= 46 3 46.
答：定都阁的高为（ 46 3 46）米. …………………………………………………6 分
24．（本小题满分 6 分）
解：（1）略；…………………………………………………………………………………1 分
（2）3.2；…………………………………………………………………………………2 分
2
（3）设二次函数表达式为 y a x 5 3.2 （ a 0）.
∵ 该抛物线经过点（0，0.7），
2
∴ 0.7 a 0 5 3.2.
解得 a 0.1.……………………………………………………………………3 分
2
∴二次函数表达式为 y 0.1 x 5 3.2 .…………………………………4 分
（4）1 或 9．……………………………………………………………………………6 分
25．（本小题满分 6 分）
解：（1）连接OD . C
∵DE⊥AC， D
∴ DEC 90 ．………………………………1 分
E
∵AB = AC， A BO
∴∠B=∠C．
∵OB = OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB．…………………………………………………………………2 分
∴OD∥AC．
∴ EDO DEC 90 ．
∴DE⊥OD．
∴DE 是⊙O 的切线．……………………………………………………………3 分
C
（2）连接 AD．
D
∵AB 是⊙O 的直径，
∴ ADB 90 ． E
A B
∵ O AB = AC，
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 3 页（共 5 页）
∴∠B=∠C，BD=CD．
1
∵ tan B ，
2
1
∴ tanC tan B ．
2
在 Rt△CDE 中， DEC 90 ，DE = 1，
DE 1
∵ tanC ，
CE 2
∴CE 2．………………………………………………………………………4 分
由勾股定理得：CD 5 ．
∴ BD 5 ．
1 AD
在 Rt△ABD 中， ADB 90 ， tan B ，
2 BD
5
∴ AD ．……………………………………………………………………5 分
2
5
由勾股定理得： AB ．………………………………………………………6 分
2
26．（本小题满分 6 分）
解：（1） x 0 ， x 2．…………………………………………………………………2 分 1 2
（2）当 x1 1时， y1 a b 1．
当 x 3时， y2 9a 3b 1．2
∵ y ， 2 y1
∴9a 3b 1 a b 1．
∴ 2a b．
∵ a 0，
∴ 2a 0
b
∴ 1．即： t 1．…………………………………………………………4 分
2a
又∵ y ， 1 1
∴ a b 1 1．
∴ a b．
∵ a 0，
∴ 2a 0
b 1 1
∴ ．即： t ．
2a 2 2
1
∴ t 1．……………………………………………………………………6 分
2
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 4 页（共 5 页）
27．（本小题满分 7 分）
解：（1）① 依题意，补全图 1． ………………………………………………………1 分
猜想：∠ADC = ∠CAE． ……………………………………………………2 分
证明：∵∠ACB=90°，AE⊥AD，
∴∠ADC +∠DAC = 90°，∠CAE +∠DAC = 90°．
∴∠ADC = ∠CAE． …………………………………………………3 分
② 线段 BF，EF 的数量关系：BF=EF．
证明：过点 E 作 EM⊥AC 于 M．……………………………………………4 分
∴∠AME = ∠ACB=90°． A
又∵∠ADC = ∠CAE，AE=AD，
∴△AME≌△DCA．
E
∴ME = AC．………………5 分 M
又∵AC = BC， F
∴ME = BC．
又∵∠MFE = ∠CFB， B D C
∠FME = ∠ACB=90°，
∴△EMF≌△BCF．
∴BF = EF．……………………………………………………………6 分
（2）线段 BF，EF 的数量关系：EF=mBF． …………………………………………7 分
28．（本小题满分 7 分）
解：（1） N1 ， N3 ． …………………………………………………………………………2 分
（2）设 N（m，n）．
∵点 N 是点 M（1，2）的等积点，
∴m=2n． …………………………………………………………………………3 分
2
∵点 N 在双曲线 y 上，
x
2
∴ n ．
m
解得： n 1，m 2．
∴N（2，1），N（ 2 ， 1）．…………………………………………………5 分
5
（3）1 ≤a≤6 10 ．……………………………………………………………7 分
2
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
九年级第一学期期末数学答案与评分参考 第 5 页（共 5 页）
