小专题2 圆锥摆模型
在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥 ( https: / / baike. / doc / 5409225.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动 ( https: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )的圆心是O，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力F与重力G的合力。并有F合=mg·tanθ=mω2Lsinθ。由此式可得 cosθ=,这说明:
(1)做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无关，与摆线长度及角速度有关;
(2)当摆长一定时，角速度越大，θ越大。
由于绳子的拉力F=mg/cosθ=mg/(g/ω2L)=mω2L:
(3)可见绳子的拉力随角速度的增加而增大。
圆锥摆的周期公式 T=== :
(4)在地球表面同一地点，圆锥摆的周期 ( https: / / baike. / doc / 5569808.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )与 成正比,而与小球质量无关。若摆线L为定长，则ω越大，θ越大，周期越小。
【题组一】悬线圆锥摆
1.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球.给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是（ ）
A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B.小球只受重力和绳的拉力作用
C. θ越大，小球运动的速度越大 D. θ越大，小球运动的周期越大
【答案】BC
【解析】向心力是效果力，本题中小球只受到重力与绳的拉力两个力的作用，向心力是由二者的合力提供，或说是由拉力在水平方向上的分力提供，Ａ错误Ｂ正确．由得、，Ｃ正确Ｄ错误．
2.游乐园中的“空中飞椅”可简化成如图所示的模型图，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘上的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。其中P为处于水平面内的转盘，可绕轴转动，圆盘半径d＝24m，绳长l＝10 m。假设座椅随圆盘做匀速圆周运动时，绳与竖直平面的夹角，座椅和人的总质量为60 kg，则(g取10m/s2) ( )
A．绳子的拉力大小为650N B．座椅做圆周运动的线速度大小为5m/s
C．圆盘的角速度为0.5 rad/s D．座椅转一圈的时间约为1.3s
【答案】C
【解析】以小球为研究对象，受力分析如图所示，由题意知小球做匀速圆周运动，所合外力提供向心力，由图中几何关系可得，故A错误；根据，可得v＝15 m/s，B错误；再由，可得，所以C正确；周期，所以D错误。
3.如图，“旋转秋千”装置中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在“秋千”的不同位置。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是
A. A的角速度比B的大
B. A的线速度比B的大
C. A与B的向心加速度大小相等
D. 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
【答案】B
【解析】AB两个座椅具有相同的角速度根据公式：v=ω r，A的运动半径小，A的速度就小，故A错误，B正确；根据公式：a=ω2r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，故C错误；对任一座椅，受力如图所示：
由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ=mω2r，则得，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故D错误。
4.两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动则它们的:( )
A 运动周期相同
B、运动的线速度相同
C、运动的角速度相同
D、向心加速度相同
【答案】AC
【解析】两小球所需向心力都是由重力mg、细线拉力F的合力提供，设线长为、线与竖直方向的夹角为、悬点到圆周运动轨迹中心的高度为h，由力的合成可得，其中，解之得、、、，由于h相同不同，故ＡＣ正确。
5.如图所示,两根长度不同的细线分别系有两个完全相同的小球,细线的上端都系于点。设法让两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动。已知跟竖直方向的夹角为60°, 跟竖直方向的夹角为30°,下列说法正确的是( )
A. 细线和细线所受的拉力大小之比为
B. 小球和的角速度大小之比为
C. 小球和的向心力大小之比为
D. 小球和的线速度大小之比为
【答案】AD
【解析】对任一小球研究。设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则：Tcosθ=mg；解得：；所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比，故A正确；小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得：mgtanθ=mLsinθω2，得：．两小球Lcosθ相等，所以角速度相等，故B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为：F=mgtanθ，小球m1和m2的向心力大小之比为：，故C错误；根据v=ωr，角速度相等，得小球m1和m2的线速度大小之比为：，故D正确。
6.两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】小球做匀速圆周运动，受重力和细线的拉力作用，合力提供向心力，则：
mgtanθ=mω2Lsinθ，整理得：Lcosθ=是常量，即球处于同一高度，故B正确。
【题组二】锥形容器与球形容器
1.如图所示，一个小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，关于小球的受力情况，下列说法正确的是
A. 只受重力和支持力
B. 受重力、支持力和压力
C. 受重力、支持力和向心力
D. 受重力、压力和向心力
【答案】A
【解析】小球只受重力和支持力两个力的作用，由这两个力的合力提供向心力，向心力不是物体实际受到的力，是做圆周运动所需要提供的力，故A正确BCD错误。
2.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定．有一质量为m的小球紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球所在的高度为筒高的一半．重力加速度为g，则( )
A. 小球受到重力、支持力和向心力的作用
B. 小球受到的合力方向垂直筒壁斜向上
C. 小球做匀速圆周运动的向心加速度大小为
D. 小球做匀速圆周运动的角速度大小为
【答案】D
【解析】设该圆锥底边圆的半径与圆锥侧边的夹角为，
小球在光滑圆锥桶内壁受到自身重力竖直向下和内壁支持力垂直内壁向上，如图所示。二力的合力提供向心力，所以小球只受到两个力的作用选项，A错误。小球在水平面内做匀速圆周运动，所以重力和支持力的合力指向水平面内圆周运动的圆心，B错误。根据几何关系可得合力，，C错误。，，解得：，D正确。
3.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直．一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中（ ）
A．小球的向心加速度逐渐减小 B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小 D．小球运动的周期逐渐减小
【答案】CD
【解析】以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示：由牛顿第二定律得：mgtanθ=ma==mrω2，可知A、B的向心力大小相等，a=gtanθ，向心加速度不变，故A错误．角速度，由于半径减小，则角速度变大，故B错误．线速度，由于半径减小，线速度减小，故C正确，周期T=，角速度增大，则周期减小，故D正确．
4.如图，两个可视为质点的相同小球1、2分别在两竖直光滑圆锥的内侧面上以相同的角速度做匀速圆周运动．已知两圆锥面与水平面的夹角分别为30°和45°，则1球与2球（ ）
A．向心加速度大小之比为1： B．做圆周运动的半径之比为1：1
C．线速度大小之比为1： D． 离地面的高度之比为1：3
【答案】AD
【解析】设小球的质量为m，两个小球运动的向心力为两球受到的合外力，分别为：
F1向=mgtan30°=①；F2向=mgtan45°=mg②；由①式得小球1的加速度为a1=；由②式得小球2的加速度为a2=g；所以a1：a2=1：，选项A正确．由向心加速度的公式a=ω2R结合向心加速度的比值得：R1：R2=1：，选项B错误。由线速度的公式v=ωR得两球的线速度大小之比为1：，选项C错误．球1离地面的高度h1=R1tan30°=，球2离地面的高度h2=R2tan45°=R2，所以两球离地面的高度之比为h1：h2=1：3，选项D正确．
5.环球飞车是一种摩托车特技表演，2013年河南的一支环球飞车队创造了吉尼斯世界纪录——11人环球飞车，2015年他们再次打破了由他们自己创下的世界环球飞车记录。如图所示是简化模型，在一个大球内壁上有两个可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，观测发现小球1与大球球心的连线与竖直方向夹角为，小球2与大球球心的连线与竖直方向夹角为，则下列说法正确的是
A. 小球1、2的线速度之比是
B. 小球1、2的角速度之比是
C. 小球1、2的周期之比是
D. 小球1、2的加速度之比是
【答案】AB
【解析】设大铁丝网球半径为，小球与大球球心连线与竖直方向夹角为，则小球做圆周运动的轨道半径，由牛顿第二定律得，解得、、，再将代入可得：；；；选项AB正确，D错误.由得，选项C错误。
6.如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为a=53°和β=37°，则(sin37°=0.6)（ ）
A. A、B两球所受支持力的大小之比为3：4
B. A、B两球运动的周期之比为
C. A、B两球的角速度之比为
D. A、B两球的线速度之比为
【答案】CD
【解析】由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得，，则，A错误.小球受到的合外力：，，解得，则，故B错误.根据，得：，所以：，故C正确。根据得：，所以:，故D正确。
L
θ
m
4题图小专题2 圆锥摆模型
在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥 ( https: / / baike. / doc / 5409225.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动 ( https: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )的圆心是O，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力F与重力G的合力。并有F合=mg·tanθ=mω2Lsinθ。由此式可得 cosθ=,这说明:
(1)做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无关，与摆线长度及角速度有关;
(2)当摆长一定时，角速度越大，θ越大。
由于绳子的拉力F=mg/cosθ=mg/(g/ω2L)=mω2L:
(3)可见绳子的拉力随角速度的增加而增大。
圆锥摆的周期公式 T=== :
(4)在地球表面同一地点，圆锥摆的周期 ( https: / / baike. / doc / 5569808.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )与 成正比,而与小球质量无关。若摆线L为定长，则ω越大，θ越大，周期越小。
【题组一】悬线圆锥摆
1.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球.给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是（ ）
A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B.小球只受重力和绳的拉力作用
C. θ越大，小球运动的速度越大 D. θ越大，小球运动的周期越大
2.游乐园中的“空中飞椅”可简化成如图所示的模型图，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘上的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。其中P为处于水平面内的转盘，可绕轴转动，圆盘半径d＝24m，绳长l＝10 m。假设座椅随圆盘做匀速圆周运动时，绳与竖直平面的夹角，座椅和人的总质量为60 kg，则(g取10m/s2) ( )
A．绳子的拉力大小为650N B．座椅做圆周运动的线速度大小为5m/s
C．圆盘的角速度为0.5 rad/s D．座椅转一圈的时间约为1.3s
3.如图，“旋转秋千”装置中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在“秋千”的不同位置。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是
A. A的角速度比B的大
B. A的线速度比B的大
C. A与B的向心加速度大小相等
D. 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
4.两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动则它们的:( )
A 运动周期相同
B、运动的线速度相同
C、运动的角速度相同
D、向心加速度相同
5.如图所示,两根长度不同的细线分别系有两个完全相同的小球,细线的上端都系于点。设法让两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动。已知跟竖直方向的夹角为60°, 跟竖直方向的夹角为30°,下列说法正确的是( )
A. 细线和细线所受的拉力大小之比为
B. 小球和的角速度大小之比为
C. 小球和的向心力大小之比为
D. 小球和的线速度大小之比为
6.两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
A. B. C. D.
【题组二】锥形容器与球形容器
1.如图所示，一个小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，关于小球的受力情况，下列说法正确的是
A. 只受重力和支持力
B. 受重力、支持力和压力
C. 受重力、支持力和向心力
D. 受重力、压力和向心力
2.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定．有一质量为m的小球紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球所在的高度为筒高的一半．重力加速度为g，则( )
A. 小球受到重力、支持力和向心力的作用
B. 小球受到的合力方向垂直筒壁斜向上
C. 小球做匀速圆周运动的向心加速度大小为
D. 小球做匀速圆周运动的角速度大小为
3.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直．一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中（ ）
A．小球的向心加速度逐渐减小 B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小 D．小球运动的周期逐渐减小
4.如图，两个可视为质点的相同小球1、2分别在两竖直光滑圆锥的内侧面上以相同的角速度做匀速圆周运动．已知两圆锥面与水平面的夹角分别为30°和45°，则1球与2球（ ）
A．向心加速度大小之比为1： B．做圆周运动的半径之比为1：1
C．线速度大小之比为1： D． 离地面的高度之比为1：3
5.环球飞车是一种摩托车特技表演，2013年河南的一支环球飞车队创造了吉尼斯世界纪录——11人环球飞车，2015年他们再次打破了由他们自己创下的世界环球飞车记录。如图所示是简化模型，在一个大球内壁上有两个可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，观测发现小球1与大球球心的连线与竖直方向夹角为，小球2与大球球心的连线与竖直方向夹角为，则下列说法正确的是
A. 小球1、2的线速度之比是
B. 小球1、2的角速度之比是
C. 小球1、2的周期之比是
D. 小球1、2的加速度之比是
6.如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为a=53°和β=37°，则(sin37°=0.6)（ ）
A. A、B两球所受支持力的大小之比为3：4
B. A、B两球运动的周期之比为
C. A、B两球的角速度之比为
D. A、B两球的线速度之比为
L
θ
m
4题图
