小专题3 水平面内圆周运动的临界与极值问题
1.水平面内匀速圆周运动的临界状态
(I)绳形成的临界状态有两种:
张力最小时(等于零)的即将松弛状态与张力最大时即将断裂的状态.
(II)接触面形成的临界状态也有两种:
一是即将分离时的弹力为零状态;
二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态.
2.动态分析方法
(I)分析物体受力,在沿半径方向上列出动力学方程,在垂直于半径方向上列出平衡方程.
(II)确定方程中的不变量与变化量
(III)由两个方程分析变量的变化情况,需注意变量的取值范围.
3圆锥摆动态变化中的临界与极值
细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”.
由图1 可得:、由此可知：
(I)当悬线长度l一定时，，即悬线与竖直方向的夹角θ随着小球角速度ω的增大而增大、悬线中张力增大。
(II)若悬线的长度l和悬线与竖直方向的夹角θ均不相同，但是l和cosθ的乘积l cosθ相同，则角速度ω就相同，乘积l cosθ实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m和悬线长度l各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
(III)小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角θ＝00时，得到角速度ω0＝，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当ω＞ω0时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜ω0，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图2所示）。
(IV)在图3中,由竖直方向上的平衡方程及水平方向上的动力学方程可得:
当时,小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，类似于图2;
当时,细线AB将被拉紧，而细线BC则处于松弛状态,细线AB中张力随ω增大而增大;
当时,图中AB、BC两线都被拉紧.两线中张力随ω的变化情况是:ω增大时,AB线中张力甲图中增大、乙图中减小、丙图中不变;BC线中张力都增大.
当时,甲丙两图中两线仍是拉紧的,乙图中BC拉紧AB松弛.拉紧的线中张力都是随ω的增大而增大的.
【题组一】绳中张力形成的临界与极值问题
1.如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 ( )
A．AC先断 B．BC先断
C．两线同时断 D．不能确定哪根线先断
【答案】Ａ
【解析】对A球进行受力分析，A球受重力、支持力、拉力FA三个力作用，拉力的分力提供A球做圆周运动的向心力，得：水平方向FAcosα＝mrAω2，同理，对B球：FBcosβ＝mrBω2，
由几何关系，可知cosα＝，cosβ＝.所以：＝＝＝.由于AC>BC，所以FA>FB，即绳AC先断．
2.如图所示为研究离心现象的简易装置，将两个杆垂直固定在竖直面内，在垂足O1和水平杆上的O2位置分别固定一力传感器，其中O1O2=l，现用两根长度相等且均为l的细线拴接一质量为m的铁球P，细线的另一端分别固定在O1、O2处的传感器上.现让整个装置围绕竖直杆以恒定的角速度转动，使铁球在水平面内做匀速圆周运动，两段细线始终没有出现松弛现象，且保证O1、O2和P始终处在同一竖直面内.则
A.O1P的拉力的最大值为 B.O1P的拉力的最大值为
C.O2P的拉力的最小值为 D.O2P的拉力的最小值为0
【答案】AC
【解析】 由题意知两绳与竖直方向间夹角均为300，由竖直方向上合力为零得、水平方向由牛顿第二定律得，可以看出，随角速度的增大，O1P上张力增大、O2P上张力减小，故当时O1P上张力取得最小值、O2P上张力取得最大值，由以上两式解得T1min=T2max＝，在保证两段细线始终没有出现松弛现象的前提下，O2P上张力最小可减小到零，此时O1P上张力达到最大，结合可解得T1max=,B、D正确A、C错误。
3.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成角，绳b在水平方向且长为，当轻杆绕轴AB以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．如b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】ＡC
【解析】由于小球在水平面内做匀速圆周运动,合力沿水平方向指向圆心,而b绳沿水平方向,故其重力只能由a的拉力在竖直方向上的分力来平衡,可知A正确.当角速度较小时b绳处于松弛状态,分析小球受力,由力的平衡及牛顿第二定律得及.解得,,可见此时a绳与竖直方向间的夹角随角速度的增大而增大,当后b绳上出现张力;之后角速度再增大而a绳与竖直方向间夹角不再改变,则a上的张力也不再改变,B错误C正确.当时b绳中无张力,剪断b绳对小球运动状态不发生影响,D错误.
4.如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕竖直直径匀速转动时，
A. 细绳对小球的拉力可能为零
B. 细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C. 细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D. 当ω=时，金属圆环对小球的作用力为零
【答案】CＤ
【解析】分析小球受力如图所示，在竖直方向上由平衡条件有，水平方向上牛顿第二定律有，其中小球的转动半径。由知N与T一个增大、一个减小，再可知在角速度增大的过程中T增大、N减小，故绳对小球的拉力不可能为零，A错误。由知只有当时才有T＝N,故B错误。若T=mg，由可得N＝mg，代入可得，故C正确。将ω=代入得，结合解得、N=0,D正确。
5.如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R。质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用。则ω可能为
A、 B、 C、 D、
【答案】Ｂ
【解析】因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力，细绳要产生拉力，绳要处于绷紧状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为：F=mω2r，根据几何关系，其中r=Rsin60°一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的第一个临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得：Fmin=2mgsin60°，即2mgsin60°=mωmin2Rsin60°，解得：ωmin=．当绳子拉力达到2mg时，此时角速度最大，对小球进行受力分析得：竖直方向：Nsin30°﹣（2mg）sin30°﹣mg=0、水平方向：Ncos30°+（2mg）cos30°=mωmax2Rsin60°,解得：ωmax=,故ACD错误，B正确.
6.在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3m的小正三棱柱abc俯视如图。长度为L=1m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m=0.5kg、不计大小的小球。初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0=2m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上（不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失）。已知细线所能承受的最大张力为7N，则下列说法中正确的是：
A．细线断裂之前，小球角速度的大小保持不变
B．细线断裂之前，小球的速度逐渐减小
C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π（s）
D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9（m）
【答案】ＣＤ
【解析】A、B细线断裂之前，绳子拉力与速度垂直，不做功，不改变小球的速度大小，故小球的速度大小保持不变，由圆周运动的速度与角速度的关系式v=r，随r减小，小球角速度增大，故A、B错误；绳子刚断裂时，拉力大小为7N，由F=m，解得此时的半径为r=m，由于小球每转120°半径减小0.3m，则知小球刚好转过一周，细线断裂，则小球运动的总时间为t=，其中r1=1m，r2=0.7m，r3=0.4m，v0=2m/s，解得t=0.7π（s），故C正确；小球每转120°半径减小0.3m，细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9m，故D正确．
【题组二】接触面间摩擦力形成的临界与极值问题
1.如图所示，置于圆形水平转台上的小物块随转台转动．若转台以角速度ω0=2rad/s．转动时，物块恰好与平台发生相对滑动．现测得小物块与转轴间的距离l1=0.50m，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2． 则( AC )
A.小物块与转台间的摩擦因数为μ=0.2
B.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为1rad/s．
C.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为rad/s．
D. 若小物块质量变为原来2倍，则水平转台转动的角速度最大为2rad/s
【答案】AC
【解析】物块恰好与平台发生相对滑动时摩擦力恰好等于最大静摩擦力．由于物块在水平面内做圆周运动，向心力只能由摩擦力提供，故有，解得，A正确。若，可知最大角速度，B错误C正确。若小物块质量变为原来2倍，虽然物块所受静摩擦力的最大值变为原来的2倍，但同样角速度的情况下物体所需向心力也是原来的2倍，故不发生相对滑动的最大角速度与原来相同，或直接由可以看出故不发生相对滑动的最大角速度与物块的质量无关，D错误。
2.如图，在个半径为R的大圆环上套有一个质量为m的小圆环(忽略大小可着作质点)，大圆环烧过圆心的竖直轴做角速度为ω的匀速调周运动，小圆环一直相对于大圆环静止。小圆环与大圆环圆心连线与竖直轴成θ(0°<θ<90°）角，则下列关于小圆环所受弹力和摩擦力的说法正确的是
A. 小圆环可能不受弹力
B. 小圆环所受弹力方向可能指向圆心
C. 小圆环可能不受摩擦力
D. 小圆环所受摩擦力与大圆环相切向下
【答案】C
【解析】分析小环受力如图，小圆环受到重力，设大圆环对小圆环弹力N、大圆环对小圆环静摩擦力f沿图示方向。小圆环一直相对于大圆环静止，随大圆环一起做匀速圆周运动，
在竖直方向上由平衡条件有，在水平方向上由牛顿运动定律有，解得，，由于G，，的大小未知，则N取值可正可负，即小圆环所受得弹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心，大圆环对小圆环静摩擦力一定取正值，则小圆环所受摩擦力与大圆环与所设方向相同即沿大环切线向上；故只有B正确。
3.如图所示，质量相等的A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法中正确的是（ ）
A. 线速度
B. 运动周期
C. 筒壁对它们的弹力
D. 它们受到的摩擦力
【答案】D
【解析】A和B共轴转动，角速度相等即周期相等，由v=rω知，A转动的半径较大，则A的线速度较大，故A、B错误。A和B做圆周运动靠弹力提供向心力，由N=mrω2知，A的半径大，则NA＞NB.在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，两物体重力相等，则摩擦力相等，即fA=fB，故它们受到的合力FA合＞FB合，C错误，D正确。
4.如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为1：2，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动．两圆盘上分别放置质量为m1和m2的小物体，m1=2m2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同．m1距甲盘圆心r，m2距乙盘圆心2r，此时它们正随盘一起做匀速圆周运动．下列判断正确的是（ ）
A．m1和m2的线速度之比为1：4
B．m1和m2的向心加速度之比为2：1
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
【答案】BC
【解析】在不打滑的情况下两盘边缘的线速度大小相等，由及甲、乙圆盘的半径之比为1：2可知甲乙两转动的角速度之比为2：1，故两物体m1、m2随盘一起做匀速圆周运动的角速度之比为2：1，因m1距甲盘圆心r、m2距乙盘圆心2r，由可知m1和m2的线速度之比为1：1，由可知m1和m2的向心加速度之比为2：1，A错误B正确。当m1开始滑动时对应于甲盘的角速度，有，解得；同理当m2开始滑动时对应于甲盘的角速度，有，解得；由于，可知m1先开始滑动，C正确D错误。
5.如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b质量均为m，c的质量为，a与转轴OO’的距离为L，b、c与转轴OO’的距离为2L且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度的大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴地绕轴加速转动，下列说法正确的是（ ）
A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从圆盘上滑落
B.当a、b和c均未相对圆盘滑动时，a、c所受摩擦力的大小相等
C.b 和c均未相对圆盘滑动时，它们的线速度相同
D.b开始相对圆盘滑动时的转速是
【答案】ＢＤ
【解析】当圆盘加速转动时，角速度逐渐增大，初始阶段每个物体所受的静摩擦力均增大，由于物体随圆盘缓慢加速转动，可认为摩擦力全部提供向心力，每个物体转动的角速度相等，由可知b所需向心力最大、a、c所需向心力较小且相等，但b、c线速度大小相等、方向相同且大小大于a的线速度。当b即将开始滑动时有，可得转速为，所以Ｂ、Ｄ正确。
6.如图所示叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，ABC的质量分别为3m、2m、2m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，BC离转台中心的距离分别为r、1.5r．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．C与转台间的摩擦力大小等于A与B间的摩擦力大小
B．B对A的摩擦力大小一定为3μmg
C．随着转台角速度ω增大，A物体最先脱离水平转台转台的
D．角速度一定满足：
【答案】AD
【解析】三个物体保持相对静止，随转台一起做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，则fA=3mrω2f，fC=2m×1.5rω2=3mrω2，可知C与转台间的摩擦力大小等于A与B间的摩擦力大小，故A正确．A与B间的摩擦力是静摩擦力，不一定达到最大静摩擦力，故其大小不一定等于3μmg，B错误．当接触面间即将发生相对滑动时，根据μmg=mRω2可得临界角速度ω=，由于C的转动半径大、临界角速度小，故当角速度增大时，C先达到最大静摩擦力即先滑动脱离水平转台，此时转台的角速度满足ω≤，故C错误，D正确．
【题组三】接触面间弹力形成的临界与极值问题
1.用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图像是图中的( )
【答案】C
【解析】小球角速度ω较小，未离开锥面对，设细线的张力为FT，线的长度为L，锥面对小球的支持力为FN，则有FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，可得出：FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ，可见随ω由0开始增加，FT由mgcosθ开始随ω2的增大，线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，FT·sinα＝mω2Lsinα，得FT＝mω2L，可见FT随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．
2.如图所示，转动轴垂直与光滑水平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端栓接一质量为m的小球B，绳长l＞h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A小球始终受三个力的作用
B细绳上的拉力始终保持不变
C要使球离开水平面角速度 A至少为
D若小球飞离了水平面则线速度为
【答案】C
【解析】当小球角速度较小时，小球受重力、支持力和拉力三个力作用，当小球角速度较大时，小球会脱离水平面，小球受重力和拉力两个力作用，故A错误．小球在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向上的合力为零，当小球脱离水平面后，角速度增大时，绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大，故B错误．当小球刚好离开水平面时，受重力和拉力作用，根据牛顿第二定律得，Tcosθ=mg，Tsinθ=mlsinθω2，联立解得，故C正确，D错误．
3.如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ=30°，此时绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则
A．当时，细绳的拉力为0
B．当时，物块与转台间的摩擦力为0
C．当时，细绳的拉力大小为
D．当时，细绳的拉力大小为
【答案】C
【解析】当转台角速度较小时，物块只在重力、支持力、摩擦力作用下随转台转动，静摩擦力提供向心力。当静摩擦力恰好达到最大值时细线即将产生拉力，此时，解得。再随着转台转动角速度的增大，细绳上拉力增大，物块与转台间压力减小、摩擦力减小，当物块与转台间压力减小到零时物块即将离开台面，此时压力、摩擦力皆为零。对物块，在水平方向上有，竖直方向上有，解得。由此可见：当时细绳中张力为零，A正确；当时物块与台面间存在摩擦力，B错误；当时物块已离开台面，在水平方向上，得，C正确；当时，在水平方向上，即，在竖直方向上有，且有，解得D错误。
4.表面光滑的直圆锥体，顶角为2 ，底面固定在水平面上，如图所示．质量为m的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶点．绳长为l，且不能伸长，质量不计.今使小球在圆锥面上以角速度 绕OH轴匀速转动，求
(1) 锥面对小球的支持力N和细绳的张力T；
(2) 当 增大到某一值 c时小球将离开锥面，这时 c及T又各是多少？
【答案】 (1) ； (2) ；
【解析】以r表示小球所在处圆锥体的水平截面半径．对小球写出牛顿定律方程为
①
②
其中 ③
联立求解得：
(1)
(2)
?????
【题组四】混合临界与极值问题
1.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0．25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8N，A、B间的动摩擦因数为0．4，B与转盘间的动摩擦因数为0．1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F（g=10m/s2）,以下说法中正确的是（ ）
A. 当转盘的角速度=2rad/s时，A、B间的静摩擦力达到最大值
B. 当转盘的角速度在0<ω<2rad/s范围内时，细线中的拉力随ω的增大而增大
C. 当细线中的拉力F=6N时，A与B即将相对滑动；
D. 当转盘的角速度=6rad/s时，细线中的拉力达到最大值
【答案】CD
【解析】对于A物体，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力到达最大静摩擦力时，，解得：。当绳子刚有拉力时，，，当时，细线中的拉力随ω的增大而增大。当时，A、B两物体刚好分离，此时，，解得，绳子未断。当时，只有A脱离B物体，只有B物体做匀速圆周运动，，解得，
2.如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍， A 放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2 转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是：（ ）
A． 时，A、B 相对于转盘会滑动
B． 时，绳子一定有弹力
C．范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
D． 范围内增大时，B 所受摩擦力变大
【答案】ABC
【解析】A、B运动的角速度相等，B的运动半径大于A的运动半径，所以B需要的向心力大于A需要的向心力，而AB与盘间的最大静摩擦力相等，故当B与盘之间摩擦力达到最大静摩擦时，绳中开始出现弹力，此时，所以角速度小于时，B相对于盘静止，绳子上无拉力，当角速度大于时，随着角速度的增大，A与盘之间摩擦力增大，当达到最大静摩擦时，对A有 ,对B有,联立解得（或直接对整体有可得），所以角速度小于时，A、B相对于盘静止；，当角速度大于时，A、B开始相对于盘滑动，而角速度范围内时，B受到的摩擦力一直保持最大值不变，A受到的摩擦力随角速度的增大而增大，直到相对于盘滑动，ABD正确，C错误。
3.如图所示，质量分别为m和的A、B两个物块（可视为质点）在水平圆盘上沿直径方向放置，与转盘的动摩擦因数均为 （可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。A离轴的距离为R，B离轴的距离为，两物块用一根细绳连在一起。A、B随圆盘以角速度 一起做匀速圆周运动，且与圆盘保持相对静止，下列说法正确的是（ ）
A. A所受的合外力与B所受的合外力大小相等
B. B所受摩擦力方向指向圆心
C. 若，细绳无张力
D. 若，A、B两物块与圆盘发生相对滑动
【答案】BCD
【解析】A和B两个物体做匀速圆周运动的向心力都是靠绳子的拉力和静摩擦力提供，由可知角速度相等，而，则，故A错误。B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，故B正确。在B达到最大静摩擦力之前，细线中没有弹力，则2mω2 2R<μ·2mg，解得：，故C正确。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得：，，解得，故时，A和B两物块与圆盘发生相对滑动，则D正确。
4.如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C, 圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动.三个物体与圆盘的动摩擦因数均为 ,最太静摩擦力认为等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA=OB=BC=r=0.2m，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，已知重力加速度为g=10m/s2,则对于这个过程，下列说法正确的是( )
A. A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B. B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变
C. 当时整体会发生滑动
D. 当 时，在增大的过程中B、C间的拉力不断增大
【答案】BC
【解析】当圆盘转速从零增大时,向心力先由静摩擦力提供.三个物体的角速度相等,由可知,因为C的半径最大,质量最大,故C所需的向心力增加最快,最先达到最大静摩擦力,此时 ,计算得出: ,当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后,BC间细绳开始产生拉力,B的摩擦力继续增大,达最大静摩擦力后,AB之间绳开始有产生力的作用,随着角速度增大,A的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A与B的摩擦力也达到最大时,且BC的拉力大于AB整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动,此时A与B还受到绳的拉力,对C可得: ,对AB整体可得: ,计算得出: ,当 时整体会发生滑动,故A错误,BC正确;当时，在增大的过程中B、C间的拉力逐渐增大，故D错误。
5.如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的静摩擦力一直增大
B．A受到的静摩擦力是先增大后减小
C．A受到的合外力一直在增大
D．B受到的静摩擦力先增大，后保持不变
【答案】CD
【解析】开始时转速比较小，两个物体都由静摩擦力提供向心力，根据：得，，知当角速度逐渐增大时，B物体先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，B物体由绳子的拉力和最大静摩擦力提供向心力，随着角速度增大，拉力增大;对于A物体有,联立有,可见A物体的摩擦力随着角速度的而减小，当拉力增大到一定程度，A物体所受的摩擦力减小到零后反向，角速度增大，A物体的摩擦力反向增大，所以A所受的摩擦力先增大后减小，又增大，方向先是指向圆心，然后背离圆心，B物体的静摩擦力一直增大达到最大静摩擦力后不变，故CD正确.
6.如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°。两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍。当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2。
（1）求杆转动角速度的最小值；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，求细线断裂时转动的角速度；
【答案】 （1） （2）
【解析】（1）角速度最小时，沿杆向上，则
………………①
………………②
……………………③
………………④
（2）当小环有上滑趋势，细线拉力达到最大时，杆转动的角速度最大，
………………⑤
………………⑥
………………⑦
ω
图2
图3
1图
4题图
6题图小专题3 水平面内圆周运动的临界与极值问题
1.水平面内匀速圆周运动的临界状态
(I)绳形成的临界状态有两种:
张力最小时(等于零)的即将松弛状态与张力最大时即将断裂的状态.
(II)接触面形成的临界状态也有两种:
一是即将分离时的弹力为零状态;
二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态.
2.动态分析方法
(I)分析物体受力,在沿半径方向上列出动力学方程,在垂直于半径方向上列出平衡方程.
(II)确定方程中的不变量与变化量
(III)由两个方程分析变量的变化情况,需注意变量的取值范围.
3圆锥摆动态变化中的临界与极值
细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”.
由图1 可得:、由此可知：
(I)当悬线长度l一定时，，即悬线与竖直方向的夹角θ随着小球角速度ω的增大而增大、悬线中张力增大。
(II)若悬线的长度l和悬线与竖直方向的夹角θ均不相同，但是l和cosθ的乘积l cosθ相同，则角速度ω就相同，乘积l cosθ实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m和悬线长度l各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
(III)小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角θ＝00时，得到角速度ω0＝，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当ω＞ω0时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜ω0，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图2所示）。
(IV)在图3中,由竖直方向上的平衡方程及水平方向上的动力学方程可得:
当时,小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，类似于图2;
当时,细线AB将被拉紧，而细线BC则处于松弛状态,细线AB中张力随ω增大而增大;
当时,图中AB、BC两线都被拉紧.两线中张力随ω的变化情况是:ω增大时,AB线中张力甲图中增大、乙图中减小、丙图中不变;BC线中张力都增大.
当时,甲丙两图中两线仍是拉紧的,乙图中BC拉紧AB松弛.拉紧的线中张力都是随ω的增大而增大的.
【题组一】绳中张力形成的临界与极值问题
1.如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 ( )
A．AC先断 B．BC先断
C．两线同时断 D．不能确定哪根线先断
2.如图所示为研究离心现象的简易装置，将两个杆垂直固定在竖直面内，在垂足O1和水平杆上的O2位置分别固定一力传感器，其中O1O2=l，现用两根长度相等且均为l的细线拴接一质量为m的铁球P，细线的另一端分别固定在O1、O2处的传感器上.现让整个装置围绕竖直杆以恒定的角速度转动，使铁球在水平面内做匀速圆周运动，两段细线始终没有出现松弛现象，且保证O1、O2和P始终处在同一竖直面内.则
A.O1P的拉力的最大值为 B.O1P的拉力的最大值为
C.O2P的拉力的最小值为 D.O2P的拉力的最小值为0
3.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成角，绳b在水平方向且长为，当轻杆绕轴AB以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．如b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
4.如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕竖直直径匀速转动时，
A. 细绳对小球的拉力可能为零
B. 细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C. 细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D. 当ω=时，金属圆环对小球的作用力为零
5.如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R。质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用。则ω可能为
A、 B、 C、 D、
6.在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3m的小正三棱柱abc俯视如图。长度为L=1m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m=0.5kg、不计大小的小球。初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0=2m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上（不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失）。已知细线所能承受的最大张力为7N，则下列说法中正确的是：
A．细线断裂之前，小球角速度的大小保持不变
B．细线断裂之前，小球的速度逐渐减小
C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π（s）
D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9（m）
【题组二】接触面间摩擦力形成的临界与极值问题
1.如图所示，置于圆形水平转台上的小物块随转台转动．若转台以角速度ω0=2rad/s．转动时，物块恰好与平台发生相对滑动．现测得小物块与转轴间的距离l1=0.50m，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2． 则( AC )
A.小物块与转台间的摩擦因数为μ=0.2
B.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为1rad/s．
C.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为rad/s．
D. 若小物块质量变为原来2倍，则水平转台转动的角速度最大为2rad/s
2.如图，在个半径为R的大圆环上套有一个质量为m的小圆环(忽略大小可着作质点)，大圆环烧过圆心的竖直轴做角速度为ω的匀速调周运动，小圆环一直相对于大圆环静止。小圆环与大圆环圆心连线与竖直轴成θ(0°<θ<90°）角，则下列关于小圆环所受弹力和摩擦力的说法正确的是
A. 小圆环可能不受弹力
B. 小圆环所受弹力方向可能指向圆心
C. 小圆环可能不受摩擦力
D. 小圆环所受摩擦力与大圆环相切向下
3.如图所示，质量相等的A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法中正确的是（ ）
A. 线速度
B. 运动周期
C. 筒壁对它们的弹力
D. 它们受到的摩擦力
4.如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为1：2，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动．两圆盘上分别放置质量为m1和m2的小物体，m1=2m2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同．m1距甲盘圆心r，m2距乙盘圆心2r，此时它们正随盘一起做匀速圆周运动．下列判断正确的是（ ）
A．m1和m2的线速度之比为1：4
B．m1和m2的向心加速度之比为2：1
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
5.如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b质量均为m，c的质量为，a与转轴OO’的距离为L，b、c与转轴OO’的距离为2L且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度的大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴地绕轴加速转动，下列说法正确的是（ ）
A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从圆盘上滑落
B.当a、b和c均未相对圆盘滑动时，a、c所受摩擦力的大小相等
C.b 和c均未相对圆盘滑动时，它们的线速度相同
D.b开始相对圆盘滑动时的转速是
6.如图所示叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，ABC的质量分别为3m、2m、2m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，BC离转台中心的距离分别为r、1.5r．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．C与转台间的摩擦力大小等于A与B间的摩擦力大小
B．B对A的摩擦力大小一定为3μmg
C．随着转台角速度ω增大，A物体最先脱离水平转台转台的
D．角速度一定满足：
【题组三】接触面间弹力形成的临界与极值问题
1.用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图像是图中的( )
2.如图所示，转动轴垂直与光滑水平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端栓接一质量为m的小球B，绳长l＞h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A小球始终受三个力的作用
B细绳上的拉力始终保持不变
C要使球离开水平面角速度 A至少为
D若小球飞离了水平面则线速度为
3.如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ=30°，此时绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则
A．当时，细绳的拉力为0
B．当时，物块与转台间的摩擦力为0
C．当时，细绳的拉力大小为
D．当时，细绳的拉力大小为
4.表面光滑的直圆锥体，顶角为2 ，底面固定在水平面上，如图所示．质量为m的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶点．绳长为l，且不能伸长，质量不计.今使小球在圆锥面上以角速度 绕OH轴匀速转动，求
(1) 锥面对小球的支持力N和细绳的张力T；
(2) 当 增大到某一值 c时小球将离开锥面，这时 c及T又各是多少？
【题组四】混合临界与极值问题
1.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0．25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8N，A、B间的动摩擦因数为0．4，B与转盘间的动摩擦因数为0．1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F（g=10m/s2）,以下说法中正确的是（ ）
A. 当转盘的角速度=2rad/s时，A、B间的静摩擦力达到最大值
B. 当转盘的角速度在0<ω<2rad/s范围内时，细线中的拉力随ω的增大而增大
C. 当细线中的拉力F=6N时，A与B即将相对滑动；
D. 当转盘的角速度=6rad/s时，细线中的拉力达到最大值
2.如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍， A 放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2 转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是：（ ）
A． 时，A、B 相对于转盘会滑动
B． 时，绳子一定有弹力
C．范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
D． 范围内增大时，B 所受摩擦力变大
3.如图所示，质量分别为m和的A、B两个物块（可视为质点）在水平圆盘上沿直径方向放置，与转盘的动摩擦因数均为 （可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。A离轴的距离为R，B离轴的距离为，两物块用一根细绳连在一起。A、B随圆盘以角速度 一起做匀速圆周运动，且与圆盘保持相对静止，下列说法正确的是（ ）
A. A所受的合外力与B所受的合外力大小相等
B. B所受摩擦力方向指向圆心
C. 若，细绳无张力
D. 若，A、B两物块与圆盘发生相对滑动
4.如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C, 圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动.三个物体与圆盘的动摩擦因数均为 ,最太静摩擦力认为等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA=OB=BC=r=0.2m，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，已知重力加速度为g=10m/s2,则对于这个过程，下列说法正确的是( )
A. A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B. B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变
C. 当时整体会发生滑动
D. 当 时，在增大的过程中B、C间的拉力不断增大
5.如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的静摩擦力一直增大
B．A受到的静摩擦力是先增大后减小
C．A受到的合外力一直在增大
D．B受到的静摩擦力先增大，后保持不变
6.如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°。两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍。当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2。
（1）求杆转动角速度的最小值；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，求细线断裂时转动的角速度；
ω
图2
图3
1图
4题图
6题图
