小专题4 圆周运动中的连接体问题
两个物体通过绳、杆或接触面发生相互作用，其中一个做圆周运动或两个物体一起做圆周运动的问题，称为圆周运动中的连接体问题。
处理圆周运动中的连接体问题，可从所涉及的已知量与未知量来利用整体法或隔离法选取研究对象，对研究对象依据平衡条件或牛顿第二定律列方程时，可采用正交分解法：沿半径与垂直于半径方向建立直角坐标系，在沿半径方向由向心加速度利用牛顿第二定律列式，在垂直于半径方向上对做匀速圆周运动的物体可利用平衡条件列式，再依据条件列出摩擦力方程、胡克定律方程、几何关系方程等联立求解。
整体与隔离法选取的依据不是两物体是否具有相同的加速度，而是已知量与待求量中是否涉及系统内部的相互作用，在求系统外力时可采用整体法，求系统内部作用时可采用隔离法。整体法中若系统内部物体的加速度不同时，整体所受的合力等于各自的质量与加速度乘积的矢量合。
【题组一】连接体中的定量计算
1.在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球，小球用细线连接起来，当转台匀速转动时，两小球与横杆保持相对静止，下列说法中正确的是（D ）
A.两小球的速率必相等
B.两小球的向心力大小必不相等
C.两小球的加速度大小必相等
D.两小球到转轴的距离与其质量成反比
【答案】Ｄ
【解析】两球共轴转动，角速度相同，因为细线对A、B两球的弹力相等，知A、B两球做圆周运动的向心力相等，有：m1r1ω2=m2r2ω2，所以：r1：r2=m2：m1，故B错误D正确；根据v=ωr知它们线速度与半径成正比，则与质量成反比，故A错误；根据a=ω2r知加速度与半径成正比，也即与质量成反比，故C错误。
2.如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时( )
A. 球B的速度为 B. 球A的速度大小为
C. 水平转轴对杆的作用力为1.5mg D. 水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】AC
【解析】球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有：，解得 v= ①，故A正确。由于A、B两球的角速度相等，由v=ωr得：球A的速度大小为：vA=vB=，故B错误。B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有：F-mg=，解得：F=1.5mg，可得水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C正确D错误．
3.在长为Ｌ的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小（ D ）
A. B. C. 2mg D.
【答案】Ｄ
【解析】设上半段的的拉力为F，取球A为对象，A球受到重力mg、上半段的拉力F、下半段的拉力2mg,故有,同理再对B球列方程，有，联立可得，D正确。
4.如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍．当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( )
A．1∶3 B．1∶6 C．4∶3 D．7∶6
【答案】Ｄ
【解析】当轻杆在水平面内做圆周运动时，两小球也在水平面内绕O点做圆周运动，转动半径分别为、。两小球同轴转动，角速度相同，向心力均是由细线拉力提供，对a球有：，对b球有，可得，Ｄ正确。
5.如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用长为L的细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。已知小球下摆到最低点时获得的速度大小为，以下说法正确的应是（ ）
A． 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M）g
A． 在释放瞬间，支架对地面压力为Mg
A． 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M）g
A． 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M）g。
【答案】BD
【解析】方法一：隔离法
在释放摆球的瞬间，支架竖直方向受到重力Mg和地面的支持力N1，由平衡条件知，N=Mg，根据牛顿第三定律得知，支架对地面的压力N1′=N1=Mg．故A错误，B正确．摆球到达最低点时，有：F-mg=m，联立可得细线的拉力：F=3mg结合牛顿第三定律，得支架对地面的压力大小为：N2=Mg+F=（3m+M）g．故C错误，D正确．
方法二：整体法
在释放摆球的瞬间，球具有竖直向下的重力加速度a=g，整体受到竖直向下重力（M+m)g和地面的支持力N1，由牛顿第二定律有:（M+m)g-N1=M×0+ma，解得N=Mg，根据牛顿第三定律得知，支架对地面的压力N1′=N1=Mg．故A错误，B正确．摆球到达最低点时，整体在竖直方向受到重力（M+m)g和地面的支持力N2，由牛顿第二定律有:N2-（M+m)g=M×0+m，解得：N2=3mg结合牛顿第三定律，得支架对地面的压力大小为：N2=Mg+F=（3m+M）g．故C错误，D正确．
6如图，在电机距轴O为r的处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为：( )
A、2mω2 r B、mω2 r C、mg+2mω2 r D、2mg+2mω2r
【答案】A
【解析】电机处于平衡，整体所受合力等于铁块转动所需向心力。铁块转动到最低点时具有向上的向心加速度，系统处于超重状态，对地面压力所大，此时地面对电机支持力N1满足N1－（M+m)g=0+mrω2；铁块转到最高点时具有竖直向下的向心加速度，系统处于失重状态，对地面的压力最小，此时地面对电机的支持力N2满足：（M+m)g-N2=0+mrω2，则由牛顿第三定律可得电机对地面最大压力和最小压力之差为：N1－N2＝2mrω2，A正确。
【题组二】连接体中的动态分析与临界状态
1.如图甲所示，倾角45°斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量为2m，滑块能恰好静止在粗糙的斜面上。在图乙中，换成让小球在水平面上做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，且转动逐渐加快，θ≤45°，在图丙中，两个小球对称在水平面上做圆周运动，每个小球质量均为m，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，在θ≤45°过程中，三幅图中，斜面都静止，且小球未碰到斜面，则以下说法中正确的是 （ ）
A．甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向右
B．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力不可能为零
C．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下
D．丙图小球转动的过程中滑块一定沿斜面向上运动
【答案】D
【解析】甲图中以滑块和斜面体为研究对象，整体受到重力、竖直向上的支持力、斜向右上方的绳的拉力及地面对斜面体沿水平方向的摩擦力，由平衡条件可知，摩擦力的方向水平向左，A错误。乙图中小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子拉力在竖直方向上的分力与小球的重力平衡：，有；物块重力沿斜面向下的分力为，当时滑块受到斜面的摩擦力沿斜面向下，此时有，同理可知当时滑块与斜面间的摩擦力恰好为零、当时滑块所受斜面的摩擦力沿斜面向上，故在θ≤45°的前提下BC均错误。再研究甲图，由于滑块能恰好静止在粗糙的斜面上，可知滑块与斜面间的最大静摩擦力为；在丙图中设滑块静止，两小球均在同一水平面内对称地作匀速圆周运动，两倾斜细绳对小球拉力在水平方向的分力提供向心力、竖直分力与重力平衡，故连接滑块的绳的拉力等于两小球的重力T=2mg，由于，故滑块只有是沿斜面向上加速滑动的，Ｄ正确。
2.质量为M的物体用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔与质量为m1、m2的物体相连，如图所示，M做匀速圆周运动的半径为r1，线速度为v1，角速度为ω1，若将m1 和m2之间的细线剪断，M仍将做匀速圆周运动，其稳定后的运动的半径为r2，线速度为v2，角速度为ω2，以下各量关系正确的是（ ）
A. r1=r2，v1＜v2
B. r2＞r1，ω2＜ω1
C. r2＜r1，ω2=ω1
D. r2＞r1，v1=v2
【答案】B
【解析】小球在细线的拉力作用下，在光滑水平面上做匀速圆周运动．根据平衡条件可知砝码的重力等于M圆周运动所需要的向心力．若将m1 和m2之间的细线剪断，此时砝码的重力小于M所需要的向心力，从而Ｍ做离心运动，导致半径变大．当小球再次做匀速圆周运动时，剩余砝码的重力与所需向心力相等，故有：r2＞r1．由于在M的半径增大的过程中，砝码的重力势能增大，则M的动能减小、速率减小，故有v1＞v2．由v=rω知：v减小/r增大，时ω减小，即有：ω2＜ω1，只有Ｂ正确。
3.如图所示，一根细线下端栓一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
【答案】BC
【解析】金属块Q保持在桌面上静止，对于金属块和小球整体研究，整体在竖直方向没有加速度，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于两个物体的总重力，保持不变．故A错误。设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L．P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有T=，
mgtanθ=mω2Lsinθ，得角速度ω=＝，周期T=，使小球改到一个更高一些的水平面上作匀速圆周运动时，θ增大，cosθ减小、h减小，则得到细线拉力T增大，角速度增大，周期T减小．对Q，由平衡条件得知，f=Tsinθ=mgtanθ，知Q受到桌面的静摩擦力变大，静摩擦力方向在改变．故B正确CD错误．
4.如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间最大静摩擦力Ffmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O（孔光滑，忽略小滑轮的影响），另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（取g＝10 m/s2，M、m均视为质点）（ ）
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
【答案】BCD
【解析】当M有远离轴心运动的趋势时有：mg＋Ffmax＝Mω2rmax；当M有靠近轴心运动的趋势时有：mg－Ffmax＝Mω2rmin；解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m，即0.08 m≤r≤0.32 m.故BCD正确。
5.如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球C静止放在轨道最低点，A，B，C质量相等．现给小球一水平向右的初速度v0，使小球在圆型轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v0必须满足（ ）（重力加速度为g）
A. 最小值为 B. 最大值为
C. 最小值为 D. 最大值为
【答案】ＣＤ
【解析】在最高点，速度最小时有：mg=m，解得：v1=．根据机械能守恒定律，有：2mgr+，解得：v1′=．在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m，解得：v2=．根据机械能守恒定律有：，解得：v2′=．所以为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v0必须满足：≤v0≤．故CD正确，A、B错误．
6.一质量为M的人手握长为l轻绳(不可伸长)一端，绳的另一端栓一质量为m的小球，今使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球刚好能经过圆周的最高点，则在小球运动过程中，下面说法正确的是：( )
A．人对地面的最小压力等于Mg B．人对地面的最小压力小于Mg
C．人对地面的最大压力等于(M+m)g D．人对地面的最大压力大于(M+m)g
【答案】BD
【解析】球刚好能经过圆周的最高点，最高点细线的拉力为零，但在其余各点细线都有拉力，当小球经过轨迹的上半周时，绳子对人拉力向上，故人对地面的最小压力一定是小于人的重力Mg，故A错误，B正确；小球在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力，在最低点时，拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：T-mg=m，可见拉力T大于重力mg，故人对地面的压力Ｎ＝Mg+T>（M+m）g，故C错误D正确.
5图
r
O
6图小专题4 圆周运动中的连接体问题
两个物体通过绳、杆或接触面发生相互作用，其中一个做圆周运动或两个物体一起做圆周运动的问题，称为圆周运动中的连接体问题。
处理圆周运动中的连接体问题，可从所涉及的已知量与未知量来利用整体法或隔离法选取研究对象，对研究对象依据平衡条件或牛顿第二定律列方程时，可采用正交分解法：沿半径与垂直于半径方向建立直角坐标系，在沿半径方向由向心加速度利用牛顿第二定律列式，在垂直于半径方向上对做匀速圆周运动的物体可利用平衡条件列式，再依据条件列出摩擦力方程、胡克定律方程、几何关系方程等联立求解。
整体与隔离法选取的依据不是两物体是否具有相同的加速度，而是已知量与待求量中是否涉及系统内部的相互作用，在求系统外力时可采用整体法，求系统内部作用时可采用隔离法。整体法中若系统内部物体的加速度不同时，整体所受的合力等于各自的质量与加速度乘积的矢量合。
【题组一】连接体中的定量计算
1.在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球，小球用细线连接起来，当转台匀速转动时，两小球与横杆保持相对静止，下列说法中正确的是（D ）
A.两小球的速率必相等
B.两小球的向心力大小必不相等
C.两小球的加速度大小必相等
D.两小球到转轴的距离与其质量成反比
2.如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时( )
A. 球B的速度为 B. 球A的速度大小为
C. 水平转轴对杆的作用力为1.5mg D. 水平转轴对杆的作用力为2.5mg
3.在长为Ｌ的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小（ D ）
A. B. C. 2mg D.
4.如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍．当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( )
A．1∶3 B．1∶6 C．4∶3 D．7∶6
5.如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用长为L的细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。已知小球下摆到最低点时获得的速度大小为，以下说法正确的应是（ ）
A． 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M）g
A． 在释放瞬间，支架对地面压力为Mg
A． 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M）g
A． 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M）g。
6如图，在电机距轴O为r的处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为：( )
A、2mω2 r B、mω2 r C、mg+2mω2 r D、2mg+2mω2r
【题组二】连接体中的动态分析与临界状态
1.如图甲所示，倾角45°斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量为2m，滑块能恰好静止在粗糙的斜面上。在图乙中，换成让小球在水平面上做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，且转动逐渐加快，θ≤45°，在图丙中，两个小球对称在水平面上做圆周运动，每个小球质量均为m，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，在θ≤45°过程中，三幅图中，斜面都静止，且小球未碰到斜面，则以下说法中正确的是 （ ）
A．甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向右
B．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力不可能为零
C．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下
D．丙图小球转动的过程中滑块一定沿斜面向上运动
2.质量为M的物体用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔与质量为m1、m2的物体相连，如图所示，M做匀速圆周运动的半径为r1，线速度为v1，角速度为ω1，若将m1 和m2之间的细线剪断，M仍将做匀速圆周运动，其稳定后的运动的半径为r2，线速度为v2，角速度为ω2，以下各量关系正确的是（ ）
A. r1=r2，v1＜v2
B. r2＞r1，ω2＜ω1
C. r2＜r1，ω2=ω1
D. r2＞r1，v1=v2
3.如图所示，一根细线下端栓一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
4.如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间最大静摩擦力Ffmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O（孔光滑，忽略小滑轮的影响），另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（取g＝10 m/s2，M、m均视为质点）（ ）
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
5.如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球C静止放在轨道最低点，A，B，C质量相等．现给小球一水平向右的初速度v0，使小球在圆型轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v0必须满足（ ）（重力加速度为g）
A. 最小值为 B. 最大值为
C. 最小值为 D. 最大值为
6.一质量为M的人手握长为l轻绳(不可伸长)一端，绳的另一端栓一质量为m的小球，今使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球刚好能经过圆周的最高点，则在小球运动过程中，下面说法正确的是：( )
A．人对地面的最小压力等于Mg B．人对地面的最小压力小于Mg
C．人对地面的最大压力等于(M+m)g D．人对地面的最大压力大于(M+m)g
5图
r
O
6图
