直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
1、直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
(2)两种研究方法：
2、弦长问题
圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：①已知直线与圆的方程求圆的弦长；②已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等.
解决圆的弦长问题的方法：
几何法 如图所示，设直线被圆截得的弦为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 则有关系式：
代数法 若斜率为的直线与圆相交于、两点， 则(其中). 特别地，当时，；当斜率不存在时，.
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用.
【例1】．若()，则直线被圆所截得的弦长为( ).
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵圆心到直线的距离，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D.
【例2】．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 .
【答案】
【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，
∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，
又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是.
【变式1】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】B
【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，
∴，，∴，∴．
方法技巧：求解弦长问题的常用方法：直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题.常用的方法有：
根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；
②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题.
【变式2】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设的中点为，由，可得，则，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数的取值范围．
【解析】设的中点为，因为，所以，
因为，所以，所以或，
因为直线与圆相交，所以，所以，
因为，所以实数的取值范围是，，故选．
【变式3】函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是________.
答案：
解析： 由题意可知，函数的图象是以为圆心，半径为的上半圆.
函数的图象是恒过点的直线.如图所示
若使得函数 与函数的图象有两个不同的公共点
则需直线夹在半圆的切线与过点的直线之间即
直线过点与点
又直线为半圆的切线
圆心到直线：的距离等于半径
即，解得
故答案为：
【变式4】已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
解 (1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，
由题意，得＝，
解得a＝－6(舍)或a＝2，
所以圆的半径为r＝＝，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，
则|AB|＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋3＝0.
弦心距d＝，得|AB|＝2＝2，
解得k＝－，直线方程为y＝－x＋.
综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.
3、切线问题
①求过圆上一点的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程.
②求过圆外一点的圆的切线方程的方法
几何法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即. 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出.
③圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
【例3】．已知圆x2+y2＝5，则过点P（2，﹣1）的圆C的切线方程是 ．
【分析】根据题意，分析可得点P在圆上，求出直线OP的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝5，点P（2，﹣1）满足22+（﹣1）2＝5，即点P在圆上，
则kOP＝＝﹣，则切线的斜率k＝2，即切线的方程为y+1＝2（x﹣2），变形可得2x﹣y＝5，
即切线的方程为2x﹣y＝5；
故答案为：2x﹣y＝5．
【例4】．设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：圆心到直线的距离，所以.
考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离．
【变式5】直线y＝a（x﹣1）+2（a∈R）过定点A，则过点A且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为（ ）
A．3x﹣4y+5＝0 B．3x+4y﹣5＝0
C．3x+4y﹣5＝0或x＝1 D．3x﹣4y+5＝0或x＝1
【分析】根据题意，设要求直线为直线l，由直线y＝a（x﹣1）+2的方程得到定点A的坐标，进而分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求直线为直线l，
直线y＝a（x﹣1）+2，变形可得y﹣2＝a（x﹣1），过点A，
有，则有，故A的坐标为（1，2），
若直线l的斜率存在，则直线可以表示为y＝a（x﹣1）+2，即ax﹣y﹣a+2＝0，
则有＝1，解可得a＝，此时直线l的方程为y＝（x﹣1）+2，
变形可得3x﹣4y+5＝0
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，与圆x2+y2＝1相切，符合题意；
综上，直线的方程为3x﹣4y+5＝0或x＝1；
故选：D．
【变式6】若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 由题意易知圆心C(－1，2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.
【变式7】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长最小值为.
故选：B
【例5】过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______．
答案：
解析： 直线可看作已知圆与以为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．
【详解】
解：圆可化为,圆心，半径为，
过原点作的切线，切点分别为，，直线可看作已知圆与以为直径的圆的交线，
以为直径的圆的方程为，即，
两式相减得，即直线的方程为，
故答案为：．
【变式8】（2022·湖南湘潭·高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】∵圆，
∴圆心，半径为1，
设点关于x轴的对称点为，则，
∴，
所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为.
故选：B.
【变式9】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为___________．
【答案】2
【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】⊙M：，则，
圆心为，半径，由：，
圆心到直线的距离，所以切线长，
所以四边形的面积的最小值为．
【变式10】已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
【解析】（1）设圆的方程为：，
根据题意得，故所求圆M的方程为：
（2）如图
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
4、圆与圆的位置关系
(1)设圆：()，圆：()，
方法 位置关系 几何法： 圆心距与、的关系 代数法： 两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 无解
外切 一组实数解
相交 两组不同的实数解
内切 () 一组实数解
内含 () 无解
(2)圆与圆位置关系的应用
设圆：，①；圆：，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①-②，得，③
方程③表示圆与的公共弦所在直线的方程.
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程.
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.
【例6】．分别求当实数为何值时，两圆：，：相交和相切.
【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，得：，：，
则圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，，
从而，当，即
∴时，两圆相交，
当，即时，两圆外切，当，即时，两圆内切，
∴当或时，两圆相切.
易错提醒：圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，∵当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含.
【变式11】已知圆与圆有公共点，则a的取值范围是________．
答案：
解析： 因为圆与圆有公共点，
所以两圆位置关系为外切、相交、内切，
所以得到，
因为，故解得，
即的取值范围为.
故答案为：.
【变式12】圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有 条．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系分析可得两圆相离，据此分析可得答案．
【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝4，圆心C1（0，1），半径为2，
圆C2：（x﹣3）2+y2＝4，圆心C2（3，0），半径为1，
两圆的圆心距为＞2+1＝3，正好大于两圆的半径之和，故两圆相离，
故两圆的公切线有4条，
故答案为：4．
【变式13】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________________．
答案 4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
【例7】．已知两圆：和：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解析】(1)证明：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
两圆圆心距，，
∴圆和相交；
(2)圆和圆的方程左、右分别相减，得，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离，
故公共弦长为.
方法技巧：两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距，半弦长，半径所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
5.隐圆问题
【例8】已知圆：，为坐标原点，点，若圆上存在点使得，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆：，得圆心，设，，
，得，化简得，
为以为圆心，以2为半径的圆上，则圆与圆有公共点，满足：，
即，解得，或，故选A．
【变式14】设圆，定点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是________．
答案：
解析：
解：根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆，
所以圆，圆心为，半径为，
则两圆圆心距为：，
因为圆O上存在两点到A的距离为，
所以圆与圆相交，
所以，解得：.
所以r的取值范围是：.
故答案为：
【变式15】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】
考点：两圆的位置关系．
【变式16】已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．
【详解】
由，消去参数得，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，
，
∴的最大值为．
故选：C.
实战精训
【】．已知圆的方程为，当圆心到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B．-5 C． D．5
答案： A
解析： 圆心为半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式易得的斜率，再由垂直关系可得．
【详解】
解：因为圆的方程为，配方可得，
所以圆的圆心为半径，
直线可化为，恒过定点，
当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，
由斜率公式可得的斜率为，
由垂直关系可得：，解得，
故选：．
【点睛】
本题考查点到直线的距离和直线与圆的位置关系，属基础题．
【】．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据垂径定理得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离解得，最后根据直角三角形得结果．
【解析】根据垂径定理得圆心到直线距离为，
所以，从而直线倾斜角为，
因此，故选B．
【】．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2
C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
答案 D
解析 在直线mx＋y＋1＝0的方程中，
令x＝0，则y＝－1，
则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)．
由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，
则点(0，－1)是圆C的圆心，
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
则圆C的半径r＝＝.
因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.
***（备用）若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围是____.
答案：
解析：
可设，其中可转化为，，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解
【详解】
设，可转化为，，
画出图形，如图所示：
关于的方程有且只有一个实数解等价于两函数图像只有一个交点
直线恒过点，圆心坐标为，半径为1，
当直线与圆刚好相切时， 解得，
当直线与圆相交于时，，故直线的斜率取值范围为
故答案为：
【】．若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将方程转化为半圆与直线有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有，，
半圆与直线有两个不同交点时．
直线一定过，
由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为1，．故选C．
【】．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的斜率的取值范围是
答案： 2k≤2，
解析： 由圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，则圆心为（2，2），半径为，设直线为y＝kx，圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于r=，
∴整理得：k2﹣4k+1≤0，解得：2k≤2，
【】．过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的圆心坐标为,以为直径的圆的方程为,
与已知圆的方程相减，得到,此即切点弦所在的直线的方程.
故选：C.
【】．直线y＝x+b被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长的最大值是 ；若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有4个，则b的取值范围是 ．
【分析】①当直线过圆心时所截的弦长取最大值；②利用数形结合法将题意转化为d＜1，再解绝对值不等式即可得到答案．
【解答】解：①设圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心为C（1，1），半径r＝2，
当直线y＝x+b过圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心C（1，1）时，即当b＝0时，此时直线截圆得到的弦为直径，
即直线y＝x+b被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长的最大值2r＝4．
②若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有4个，
设圆心C到直线y＝x+b的距离为d，
则d＜1，即，解得，
则b的取值范围是．
【】．已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于( )
A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57
答案 C
解析 由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切．
因为A(1，0)，B(1，6)，
所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，
圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
因为两圆相切，
所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|，
解得m＝57或m＝－3.
【】．已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案： B
解析： 通过将圆与两条切线夹角转化成直角三角形中的边角关系来进行求解，辅助图形加以求解即可
【详解】
当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则，∴，即，解得，故选B．
【】．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
【】．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．9 B．4 C. D.
答案 A
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1，2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，所以＋＝
(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值是9.
【】．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用切线长公式得，娵在的垂直平分线上，求出直线方程，利用几何意义，求出点到此直线的距离即为所求最小值．
【解析】由于与中，，，
所以与全等，所以有，则在线段的垂直平分线上，根据、，中点为，，因此垂直平分线方程为，即，因为表示、两点间的距离，所以最小值就是到直线的距离，
由点到直线的距离公式得最小值为＝，故选B．
【】．已知直线和圆.
（1）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（2）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是．
【解析】（1）证明：将的方程整理为，
由，解得，，
则无论为何值，直线过定点．
圆即
因为
所以点在圆内，故无论为何值，直线总与圆有交点；
（2）由（1）知点在圆的内部，直线与圆相交．
圆心，半径为5，，
当截得的弦长最小时，，由于，
则的斜率为，即有，解得．
此时最短弦长为，
故当时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是．
【】．已知圆与动直线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
（1）求M的轨迹方程；
（2）已知点，当时，求l的方程及的面积.
【答案】（1）；（2），的面积为.
【解析】（1）直线过定点，
圆可化为，圆心，
设动点，因为M为AB中点，
∴即，∴在以为直径的圆上，
易知中点为，，∴半径为
∴点M的轨迹方程为.
（2）由（1）得M的轨迹为圆，圆心为，半径为，
因为点，M均在圆上，
又，由圆的性质可知，
又，∴，
∴直线l的方程为，即，
到直线的距离为，
到直线（直线）的距离为，
又，
∴，
综上得，l的方程为，的面积为.
【】．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的、两点，且(为坐标原点)，求直线的斜率；
（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
答案： （1）；（2）；（3）.
试题分析：（1）设点的坐标为，根据列出方程化简，即可求解轨迹方程；
（2）依题意知，且，则点到边的距离为1，列出方程，即可求解；
（3）根据题意，，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，联立两个圆的方程，即可求解。
【详解】
（1）由题，设点的坐标为，
因为，即，整理得，
所以所求曲线的轨迹方程为。
（2）依题意，，且，
由圆的性质，可得点到边的距离为1，
即点到直线的距离为，解得，
所以所求直线的斜率为。
（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，
是直线上的动点，设，
则圆的圆心为，且经过坐标原点，
即圆的方程为，
又因为在曲线上，
由，可得，
即直线的方程为，
由且，可得，解得，
所以直线过定点。
【】．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，﹣2)，B(4，0)，圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率为k的直线l经过点B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝，求点P的坐标；
（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．
【解析】（1）设圆C的方程为，
因为圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)
所以，解得，
所以圆C的方程为：，其标准方程为，
（2）设P(x，y)，由PQ与圆C切于点Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，
所以，整理得，
又点P在直线l：上，
由，得或
所以P(3，﹣2)或(，)，
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T是该圆上任意一点
则K为MN中点，设CK＝d，则圆K的半径为
因为，所以，
因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，)，
对于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，
故点T总在以C(﹣1，0)为圆心，2为半径的圆上或其内部，
故直线l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，
所以，解得或．
四、参考答案直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
1、直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
(2)两种研究方法：
2、弦长问题
圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：①已知直线与圆的方程求圆的弦长；②已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等.
解决圆的弦长问题的方法：
几何法 如图所示，设直线被圆截得的弦为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 则有关系式：
代数法 若斜率为的直线与圆相交于、两点， 则(其中). 特别地，当时，；当斜率不存在时，.
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用.
【例1】．若()，则直线被圆所截得的弦长为( ).
A、 B、 C、 D、
【例2】．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 .
【变式1】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
方法技巧：求解弦长问题的常用方法：直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题.常用的方法有：
根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；
②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题.
【变式2】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【变式3】函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是________.
【变式4】已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
3、切线问题
①求过圆上一点的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程.
②求过圆外一点的圆的切线方程的方法
几何法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即. 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出.
③圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
【例3】．已知圆x2+y2＝5，则过点P（2，﹣1）的圆C的切线方程是 ．
【例4】．设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是 ．
【变式5】直线y＝a（x﹣1）+2（a∈R）过定点A，则过点A且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为（ ）
A．3x﹣4y+5＝0 B．3x+4y﹣5＝0
C．3x+4y﹣5＝0或x＝1 D．3x﹣4y+5＝0或x＝1
【变式6】若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式7】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______．
【变式8】（2022·湖南湘潭·高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（ ）
A． B． C． D．3
【变式9】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为___________．
【变式10】已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
4、圆与圆的位置关系
(1)设圆：()，圆：()，
方法 位置关系 几何法： 圆心距与、的关系 代数法： 两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 无解
外切 一组实数解
相交 两组不同的实数解
内切 () 一组实数解
内含 () 无解
(2)圆与圆位置关系的应用
设圆：，①；圆：，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①-②，得，③
方程③表示圆与的公共弦所在直线的方程.
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程.
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.
【例6】．分别求当实数为何值时，两圆：，：相交和相切.
易错提醒：圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，∵当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含.
【变式11】已知圆与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【变式12】圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有 条．
【变式13】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________________．
【例7】．已知两圆：和：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
方法技巧：两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距，半弦长，半径所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
5.隐圆问题
【例8】已知圆：，为坐标原点，点，若圆上存在点使得，则的取值范围为
A． B． C． D．
【变式14】设圆，定点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是________．
【变式15】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 .
【变式16】已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
实战精训
【】．已知圆的方程为，当圆心到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B．-5 C． D．5
【】．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则
A．4 B． C． D．
【】．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2 C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
【】．若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【】．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的斜率的取值范围是
【】．过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【】．直线y＝x+b被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长的最大值是 ；若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有4个，则b的取值范围是 ．
【】．已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于( )
A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57
【】．已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【】．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
【】．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．9 B．4 C. D.
【】．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是
A． B． C． D．
【】．已知直线和圆.
（1）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（2）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【】．已知圆与动直线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
（1）求M的轨迹方程；
（2）已知点，当时，求l的方程及的面积.
【】．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的、两点，且(为坐标原点)，求直线的斜率；
（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
【】．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，﹣2)，B(4，0)，圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率为k的直线l经过点B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝，求点P的坐标；
（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．
