人教A版选修三7.1条件概率与全概率公式
知识储备
二、题型专练
1、求条件概率
2、概率的乘法公式及其应用
3、条件概率性质的应用
4、全概率公式及其应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一：求条件概率
1、某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则＝_______，
＝__________
求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．
二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．
2.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
3.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
题型二：概率的乘法公式及其应用
1.已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.
2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
题型三：条件概率性质的应用
1.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
2.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
3.已知事件A与B独立，当时，若，则 （ ）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
题型四：全概率公式及其应用
1.（多选题）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别点总量的，，，次品率分别为，，，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为
A. B. C. D.
4.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，现从这三个地区任抽取一个人．
求此人感染此病的概率；
若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
课后精练
1.一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.
2.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）
A． B． C． D．
3.（多选）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（多选题）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
5.有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
6.已知某超市购进一批冰箱，这些冰箱来自上海，来自广州，上海冰箱的合格率为，广州冰箱的合格率为．若用、分别表示来自上海、广州的冰箱，表示冰箱为合格品，试求：、、、各为多少？
7.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
从乙盒取出2个红球的概率；
已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
8.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.人教A版选修三7.1条件概率与全概率公式
知识储备
二、题型专练
1、求条件概率
2、概率的乘法公式及其应用
3、条件概率性质的应用
4、全概率公式及其应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一：求条件概率
1、某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则＝_______，
＝__________
【答案】
【解析】
由已知，，，
∴ ，
故答案为，
求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．
二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．
2.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
【答案】
【解析】
设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
3.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
【答案】C
【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，故选：C.
题型二：概率的乘法公式及其应用
1.已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.
【答案】
【详解】设事件表示“血检呈阳性”，事件表示“患该种疾病”.依题意知，，由条件概率公式，得.
2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
[解] 记A＝{从2号箱中取出的是红球}，
B＝{从1号箱中取出的是红球}，
则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
P(A)＝P(AB∪A )＝P(AB)＋P(A )＝
P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
题型三：条件概率性质的应用
1.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
【答案】
【解析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，
又，，，
故.
故答案为：.
2.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
【详解】A
由题意，，是两两互斥的事件，
，，；
，由此知，②正确；
，；
而
.
由此知①③不正确；
，，是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确；
故选：A.
3.已知事件A与B独立，当时，若，则 （ ）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
【答案】C
【详解】因事件A与B独立，且，则，即,由对立事件概率公式得.故选：C
题型四：全概率公式及其应用
1.（多选题）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；
故选：BCD．
2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别点总量的，，，次品率分别为，，，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】
解：由题意得它是次品的概率为．
3.一批产品共有10件，其中有2件次品，其余皆为正品．现从中任取2件来检验，若发现有次品，则认为这批新产品不合格．但在检验时，1件正品被误判为次品的概率为0.05，而1件次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品通过检验的概率．
【解答】解：设表示“这批产品是合格的”事件，表示“取出的2件产品有件次品”事件，1，，由题设可知，，，
又因为，，，
所以（A），
所以这批产品通过检验的概率为0.56．
4.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，现从这三个地区任抽取一个人．
求此人感染此病的概率；
若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解：设第i个地区，，2，3；感染此病．
；；．
；；．
，
．
课后精练
1.一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.
【答案】
【解析】
故答案为：
2.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，，
∴.故选：D.
3.（多选）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
由已知，，
由已知有，，，
所以，则A正确；
，则B正确；
事件、、不相互独立，故错误，即C错误
，则D正确；
综上可知正确的为ABD.
故选:ABD．
4.（多选题）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BC
【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
对于A，即，A错误.
对于B，
，B正确.
对于C，，C正确.
对于D，，D错误.故选：BC
5.有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．
（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．
（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为
6.已知某超市购进一批冰箱，这些冰箱来自上海，来自广州，上海冰箱的合格率为，广州冰箱的合格率为．若用、分别表示来自上海、广州的冰箱，表示冰箱为合格品，试求：、、、各为多少？
【解答】解：由题意，，，
表示来自上海的条件下，冰箱的合格率为；
表示来自广州的条件下，冰箱的不合格率为．
7.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
从乙盒取出2个红球的概率；
已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
【答案】解：设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球；从甲盒取出1个白球1个红球；从乙盒取出2个红球．
则，，两两互斥，且，
所以
．
．
8.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【详解】
（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，
从6名成员中挑选2名成员，有
，，，，，，，，
，，，，，，共有15种情况，
记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A
事件M所包含的基本事件数为，，，，
共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
不妨设女生乙为，
则，又由（1）知，
故．
（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，，
故．
