选修三7.2离散型随机变量及其分布列
知识储备
题型专练
1、离散型随机变量的判断
2、离散型随机变量分布列的性质与应用
3、求离散型随机变量的分布列
4、两点分布及其应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一：离散型随机变量的判断
1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【答案】C
【详解】逐一考查所给的选项：A中取到产品的件数是一个常量而不是变量,B,D中的量也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.本题选择C选项.
2.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
【答案】D
【详解】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.故选D.
3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．
①某宾馆每天入住的旅客数量是；
②某水文站观测到一天中珠江的水位；
③西部影视城一日接待游客的数量；
④阅海大桥一天经过的车辆数是.
【答案】②
【解析】①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②
题型二：离散型随机变量分布列的性质与应用
1.随机变量的分布列如下表，其中，且，
2 4 6
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由概率的性质可得，由得
则，故选：A
2.随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，②
联立①②，得b，a+c，∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c．故选：D．
3.若随机变量的分布列为，则___________．
【答案】
【解析】由题可知.故答案为：.
4.设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：随机变量的分布列为，
，解得，．
题型三：求离散型随机变量的分布列
1.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80
若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：
消费次数 1 2 3 4 5
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.
【答案】（1）公司获得的平均利润为元；（2）分布列答案见解析.
【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为元，
第二次消费时，公司获得利润为元，
所以两次消费中，公司获得的平均利润为元，
（2）因为公司成本为元，所以消费一次公司获得的平均利润为元，消费两次公司获得的平均利润为元，消费三次公司获得的平均利润为元，消费四次公司获得的平均利润为元，
消费五次公司获得的平均利润为元，
的所有可能的取值为，
，
，
，
，
，
.故的分布列为
50 45 40 35 30
0.6 0.2 0.1 0.05 0.05
2.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
【详解】
（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有种情况．
（2）的可能取值为1,2,3,4，
由（1）可得：，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
题型四：两点分布及其应用
1.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
，故选：C
课后精练
1.（多选题）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
【答案】AD
【详解】对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故选项B错误；对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．故选：AD
2.（多选题）设随机变量的分布列为
，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】随机变量的分布列为,
， 解得，
故A正确；，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故答案为：A、B、C.
3.（多选题）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的有（ ）
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
【答案】ABD
【详解】因为，解得，故A正确；
由分布列知,，
，故BD正确，C错误.故选：ABD
4.随机变量的分布列如表格所示，，则的最小值为______．
1 0
【答案】9
【详解】根据概率分布得，且，
，当且仅当时取等号，即的最小值为9
5.已知随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若，则的值为________.
【答案】0.2
【详解】当时，由得，所以.
6.一个袋中装有形状 大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的的值；
（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判断是不是离散型随机变量.
【答案】（1）答案见解析；（2）的可能取值为6，11，16，21，为离散型随机变量.
【解析】（1）
0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球
（2）由题意可得，而的可能取值为0，1，2，3，
故的可能取值为6，11，16，21.
显然，为离散型随机变量.
7.某城市建设集团塔吊工人师傅的税前月工资按下述方法计取：固定工资元，每工作一小时再获取元，从该公司塔吊师傅中任意抽取一名，设其月工作时间为小时（且），获取的税前工资为元.
（1）当时，求的值；
（2）写出和之间的关系式；
（3）若，求的值.
【详解】
（1）当时，表示该师傅该月工作了小时，所以；
（2）由题意可得（且）；
（3），即，即.
因为，所以，
所以.选修三7.2离散型随机变量及其分布列
知识储备
题型专练
1、离散型随机变量的判断
2、离散型随机变量分布列的性质与应用
3、求离散型随机变量的分布列
4、两点分布及其应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
题型一：离散型随机变量的判断
1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
2.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．
①某宾馆每天入住的旅客数量是；
②某水文站观测到一天中珠江的水位；
③西部影视城一日接待游客的数量；
④阅海大桥一天经过的车辆数是.
题型二：离散型随机变量分布列的性质与应用
1.随机变量的分布列如下表，其中，且，
2 4 6
则（ ）
A． B． C． D．
2.随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（ ）
A． B． C． D．
3.若随机变量的分布列为，则___________．
4.设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型三：求离散型随机变量的分布列
1.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80
若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：
消费次数 1 2 3 4 5
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.
2.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
题型四：两点分布及其应用
1.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
课后精练
1.（多选题）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
2.（多选题）设随机变量的分布列为
，则 ( )
A． B．
C． D．
3.（多选题）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的有（ ）
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
4.随机变量的分布列如表格所示，，则的最小值为______．
1 0
5.已知随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若，则的值为________.
6.一个袋中装有形状 大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的的值；
（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判断是不是离散型随机变量.
7.某城市建设集团塔吊工人师傅的税前月工资按下述方法计取：固定工资元，每工作一小时再获取元，从该公司塔吊师傅中任意抽取一名，设其月工作时间为小时（且），获取的税前工资为元.
（1）当时，求的值；
（2）写出和之间的关系式；
（3）若，求的值.
