选修三7.3离散型随机变量的数字特征
知识储备
题型专练
离散型随机变量的均值及其应用
均值的线性性质及其应用
3、均值在决策问题中的应用
4、离散型随机变量的方差及其应用
5、方差的性质及其应用
6、方差在决策问题中的应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
离散型随机变量的均值及其应用
1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 2 3
P
则X的数学期望为_________．
【答案】
【详解】由得，，
∴.
2.已知随机变量的概率分布如表所示，其中，，成等比数列，当取最大值时，______．
0 1
【答案】0
【详解】，，均为正数.根据题意可得，
又，即，当且仅当取等号，
所以，即，
解得，当取最大值时，则，
所以.
3.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
均值的线性性质及其应用
1.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
2.已知随机变量的分布列如下：
2 4 6
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，由，得，解得.故选：B.
3.已知随机变量的分布列是
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.故选：C.
均值在决策问题中的应用
1.甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
【详解】
（1）设乙公司送餐员送餐单数为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故的所有可能取值为、、、、，
故的分布列为：
228 234 240 247 254
故.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
，
则甲公司送餐员日平均工资为元，
因为乙公司送餐员日平均工资为元，，
所以推荐小王去乙公司应聘.
2.甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.
【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故的所有可能取值为、、、、，
故的分布列为：
228 234 240 247 254
故.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
，
则甲公司送餐员日平均工资为元，
因为乙公司送餐员日平均工资为元，，
所以推荐小王去乙公司应聘.
离散型随机变量的方差及其应用
1.随机变量的分布列如下表：
0 1
P a b
且，则______.
【答案】
【详解】因为，又，
所以，.
2.设随机变量的概率分布列如下表所示：
1 2 3
其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．
【答案】
【详解】因为，，成等差数列，则，其在分布列中，
所以，又因为机变量的均值，
且,故
所以的方差为
方差的性质及其应用
1.已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，则，
则，又，所以．
2.（多选题）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ）
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．P(ξ≥1)＝0.46 D．P(ξ＝0)＝0.66
【答案】BD
【详解】由，
由ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知
，所以，故B正确．
又，，故D正确．故选：BD.
方差在决策问题中的应用
1.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
课后精练
1.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，
； ，，则实验次数的分布列如下：
所以此人实验次数的期望是.
2.（多选题）已知随机变量的分布列为
若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【详解】由分布列性质知：，解得：，B正确；
，，A正确；
由均值的性质知：，C正确；
，D正确.故选：ABCD.
3.（多选题）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意得，
．
因为，所以，
所以，又，所以，
故不可能成立，而选项A，B，C均有可能成立.
4.甲 乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则___________.
【答案】
【详解】由题意易知，的可能取值为、、，
若，则；若，则；
若，则，故.
5.一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
【答案】（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
6.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.
.
（2）
的可能取值为.
，
，
.
故的分布列为
2 3 4 5
所以.
7.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 20
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
【详解】
（1）当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.
所以关于的函数解析式为.
（2）①X可能的取值为60，70，80，并且，，.
X的分布列为
60 70 80
0.1 0.2 0.7
X的数学期望为.
X的方差为.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为.
Y的方差为由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.
另外，虽然，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为.
由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.选修三7.3离散型随机变量的数字特征
知识储备
题型专练
离散型随机变量的均值及其应用
均值的线性性质及其应用
3、均值在决策问题中的应用
4、离散型随机变量的方差及其应用
5、方差的性质及其应用
6、方差在决策问题中的应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
离散型随机变量的均值及其应用
1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 2 3
P
则X的数学期望为_________．
2.已知随机变量的概率分布如表所示，其中，，成等比数列，当取最大值时，______．
0 1
3.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
均值的线性性质及其应用
1.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知随机变量的分布列如下：
2 4 6
若，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知随机变量的分布列是
则（ ）
A． B． C． D．
均值在决策问题中的应用
1.甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
2.甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
离散型随机变量的方差及其应用
1.随机变量的分布列如下表：
0 1
P a b
且，则______.
2.设随机变量的概率分布列如下表所示：
1 2 3
其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．
方差的性质及其应用
1.已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ）
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．P(ξ≥1)＝0.46 D．P(ξ＝0)＝0.66
方差在决策问题中的应用
1.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
课后精练
1.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）已知随机变量的分布列为
若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（多选题）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.甲 乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则___________.
5.一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
6.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
7.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 20
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
