5.1 任意角和弧度制
知识点1 角的概念的推广
1．定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点。
一般用小写希腊字母表示角：、、
2．分类
注：用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向、旋转量
①旋转中心：作为角的顶点；
②旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；
③旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于，于是就会出现720 ， -540 等角度。
3．终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．
注：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
知识点2 象限角和轴线角
1．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
2．轴线角
若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点3 弧度制的定义和公式
1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，书写时可省略．
2．公式
角的弧度数公式 (表示弧长)
角度与弧度的换算 ①； ②
弧长公式
扇形面积公式
注：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
考点一 象限角和终边相同的角
解题方略：
1、象限角的2种判断方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2、求或所在象限：的步骤
①分类讨论法：
(1)将的范围用不等式(含有，且)表示；
(2)两边同除以或乘以；
(3)对进行讨论，得到或所在的象限．
②几何法：
(1)先把各象限均分为n等份
(2)从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四；一、二、三、四，…
(3)原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域．
注：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180°可得角的终边
3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角
(一)终边相同的角
【例1-1】下列各角中与角终边相同的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以与终边相同．
变式1-1-1：与终边相同的角是( )
A． B． C． D．
【解析】与角终边相同的角为：， 当时，．
变式1-1-2：在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ．
【答案】－675°或－315°
【解析】所有与终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令，得，
解得，从而或，代入得或.
变式1-1-3：若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是____________.
【答案】
【解析】由题可知： 关于直线对称的一个角为
所以角的集合为
变式1-1-4：下列与的终边相同的角的集合中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，故与其终边相同的角的集合为：
或
角度制和弧度制不能混用
变式1-1-5：已知角是锐角，若与的终边相同，则的所有取值之和为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知，，可得，，又由是锐角，
可得或或，则的所有取值之和为.
变式1-1-6：设集合，，那么( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
【答案】B
【解析】M中，，是奇数
N中，，是整数，因此必有.
(二)象限角
【例1-2】角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，所以角和角是终边相同的角
因为角是第二象限角，所以角是第二象限角.
变式1-2-1：角是第( )象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】且，故为第三象限角.
变式1-2-2：4弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵4 rad ≈rad，∴，故其终边在第三象限.
变式1-2-3：已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)； (2)； (3)．
【解析】(1)∵，
∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第一象限角．
(2)∵，
∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第四象限角．
(3)∵，
∴在范围内，终边与角相同的角是角，它是第三象限角．
变式1-2-4：(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以
则有
故当，时，，α为第一象限角；
当，时，，α为第三象限角．
变式1-2-5：若α是第四象限角，则90 －α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由题知，，
故,在第二象限，
变式1-2-6：已知α锐角，那么2α是( )
A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故A正确，D也可能是轴线角
变式1-2-7：若是第一象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
【答案】D
【解析】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
变式1-2-9：(1)设分别是第一、二、三、四象限角，判断是哪个象限的角；
(2)设是第二象限角，判断是哪个象限的角．
【解析】(1)当是第一象限角时，,则，当，是第一象限的角，当，是第三象限的角，
当是第二象限角时，,则，当，是第一象限的角，当，是第三象限的角.
当是第三象限角时，,则，当，是第二象限的角，当，是第四象限的角，
当是第四象限角时，,则，当，是第四象限的角，当，是第二象限的角，
综上，当是第一、二象限角，是第一或第三象限的角；当是第三、四象限角，是第二或第四象限的角.
(2)是第二象限角，则
所以：，
当时，为第一象限角；
当时，为第二象限角.
当时，为第四象限角.
所以是一、二或四象限的角.
(三)区域角的表示
【例1-3】集合中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】终边落在x轴正半轴上：
，的偶数倍，
终边落在x轴负半轴上：，，的奇数倍
故终边落在x轴上，的整数倍
变式1-3-1：集合中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是___________(填序号).
【答案】④
【解析】当时，集合，当时，集合，
则可得出角所表示的取值范围为④.
变式1-3-2：如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
(1) (2)
【答案】(1)； (2)或
【解析】如题图①，以OA为终边的角为；以OB为终边的角为，
所以阴影部分内的角的集合为：；
如题图②，以OA为终边的角为；以OB为终边的角为.
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为:或.
考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
角的弧度数公式 (表示弧长)
角度与弧度的换算 ①； ②
弧长公式
扇形面积公式
【例2】已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
设扇形半径为，则，，所以扇形的面积．
变式2-1：已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为___________.
【答案】
【解析】设扇形面积为，圆心角所对的弧长为
则，∴，
∴圆心角的弧度数为.
变式2-2：已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的周长为，所以，即
故扇形的面积为.
变式2-3：一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．
【答案】
【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则．①
由扇形的面积公式，得．②
由①②得，，
∴．∴扇形的圆心角为．
变式2-4：(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项正确的有( )
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
【答案】ABC
【解析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为，
则由题意得 或
可得圆心角的弧度数是4或1，半径是1或2.
变式2-5：若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝ cm.
【答案】
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由(cm)，
所以 (cm)
变式2-6：已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为( )
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】设扇形半径为，易得，则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则
变式2-7：已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解析】(1)因为α＝100°＝100×＝，所以S扇形＝lr＝αr2＝××4＝.
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇形＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝＝2.5.1 任意角和弧度制
知识点1 角的概念的推广
1．定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点。
一般用小写希腊字母表示角：、、
2．分类
注：用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向、旋转量
①旋转中心：作为角的顶点；
②旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；
③旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于，于是就会出现720 ， -540 等角度。
3．终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．
注：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
知识点2 象限角和轴线角
1．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
2．轴线角
若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点3 弧度制的定义和公式
1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，书写时可省略．
2．公式
角的弧度数公式 (表示弧长)
角度与弧度的换算 ①； ②
弧长公式
扇形面积公式
注：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
考点一 象限角和终边相同的角
解题方略：
1、象限角的2种判断方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2、求或所在象限：的步骤
①分类讨论法：
(1)将的范围用不等式(含有，且)表示；
(2)两边同除以或乘以；
(3)对进行讨论，得到或所在的象限．
②几何法：
(1)先把各象限均分为n等份
(2)从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四；一、二、三、四，…
(3)原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域．
注：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180°可得角的终边
3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角
(一)终边相同的角
【例1-1】下列各角中与角终边相同的是( )
A． B． C． D．
变式1-1-1：与终边相同的角是( )
A． B． C． D．
变式1-1-2：在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ．
变式1-1-3：若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是____________.
变式1-1-4：下列与的终边相同的角的集合中正确的是( )
A． B．
C． D．
变式1-1-5：已知角是锐角，若与的终边相同，则的所有取值之和为( )
A． B． C． D．
变式1-1-6：设集合，，那么( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
(二)象限角
【例1-2】角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式1-2-1：角是第( )象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
变式1-2-2：4弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式1-2-3：已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)； (2)； (3)．
变式1-2-4：(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式1-2-5：若α是第四象限角，则90 －α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式1-2-6：已知α锐角，那么2α是( )
A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角
变式1-2-7：若是第一象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
变式1-2-9：(1)设分别是第一、二、三、四象限角，判断是哪个象限的角；
(2)设是第二象限角，判断是哪个象限的角．
(三)区域角的表示
【例1-3】集合中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )
A． B． C． D．
变式1-3-1：集合中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是___________(填序号).
变式1-3-2：如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
(1) (2)
考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例2】已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积( )
A． B． C． D．
变式2-1：已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为___________.
变式2-2：已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为( )
A． B． C． D．
变式2-3：一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．
变式2-4：(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项正确的有( )
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
变式2-5：若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝ cm.
变式2-6：已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为( )
A． B． C．3 D．2
变式2-7：已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
