几何概型
一、选择题（共20小题）
1、若在区间[1，4]内任取实数a，在区间[0，3]内任取实数b，则方程ax2+2x+b=0有实根的概率为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
2、下列结论不正确的是（ ）
A、事件A是必然事件，则事件A发生的概率是1
B、几何概型中的m（m是自然数）个基本事件的概率是非零的常数
C、任何事件发生的概率总是区间[0，1]上的某个数
D、频率是随机的，在试验前不能确定
3、已知△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5，在AB边上任选一点P，则∠APC＜90°的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、在坐标平面上，从满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整数的点（x，y）中任意取出三个不同的点，则此三点构成三角形的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、（2011?福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
A、 B、
C、 D、
6、在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
7、在区间[﹣，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
9、如图，阴影是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、π+2
10、如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
11、在区间上随机取一个x，sinx的值介于与之间的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
12、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
13、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
14、如图所示，点A（1，0），B是曲线y=3x2+1上一点，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
15、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点D，则AD的长不小于AC的长的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
16、在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
17、已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
18、已知区域，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
19、已知Ω={（x，y）|x+y≤10，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，若向区域f（x）上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
20、在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，10]的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
21、已知集合A=，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是 _________ ．
22、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，现从中任抽一名同学，该同学的百米测试成绩为m，m∈[13，14）∪[17，18]，则事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的概率为 _________ ．
23、如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是 _________
24、为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 _________ ．
25、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 _________ ．21世纪教育网版权所有
26、在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 _________ ．
三、解答题（共4小题）
27、已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
28、某斑主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）
（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；
（2）该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10人谈话，求在学习时间是1个小时的学生中选出的人数；
（3）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．
29、（理科）某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动（下面简称为“活动”）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（文科）先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m，n，确定函数f（x）=x2+mx+n2，设函数f（x）有零点为事件A．21世纪教育网版权所有
（I）求事件A的概率P（A）；
（II）设函数g（x）=x2+12P（A）x﹣4的定义域为[﹣5，5]，记“当x0∈[﹣5，5]时，则g（x0）≥0”为事件B，求事件B的概率P（B）．
30、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若在区间[1，4]内任取实数a，在区间[0，3]内任取实数b，则方程ax2+2x+b=0有实根的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
考点：二次函数的性质；几何概型。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；数形结合。
分析：先把方程ax2+2x+b=0有实根，转化为△=4﹣4ab≥0，进而得b≤．，再画出图象，利用面积比来计算概率即可．
解答：解：方程ax2+2x+b=0有实根，等价于△=4﹣4ab≥0?ab≤1?b≤．
画出对应图象如下：
因为∫14dx=2ln2．
故所求概率p==．
故选 D．
点评：本题主要考查二次函数的性质以及几何概型和数形结合思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．
2、下列结论不正确的是（ ）
A、事件A是必然事件，则事件A发生的概率是1 B、几何概型中的m（m是自然数）个基本事件的概率是非零的常数
C、任何事件发生的概率总是区间[0，1]上的某个数 D、频率是随机的，在试验前不能确定
考点：概率的基本性质；随机事件；几何概型。
专题：阅读型。
分析：根据频率、概率、随机事件的定义，依次分析选项，对于A，由必然事件的概率为1，可得其正确；对于B，由概率的定义可得其错误；对于C，根据概率的定义，任何事件发生的概率总是在区间[0，1]，可得其正确；对于D，根据频率的定义，在试验前不能确定频率的大小，则其正确；即可得答案．21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；几何概型。
专题：计算题。
分析：三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5的三角形是一个直角三角形，在AB边上任选一点P，当CP⊥AB时，得到的角APC是直角三角形，当点P在线段BP上时，角APC是锐角，有射影定理得到BP的长度，根据几何概型公式得到结果．
解答：解：由题意知三角形是一个直角三角形，
当CP⊥AB时，21世纪教育网
得到的角APC是直角三角形，
当点P在线段BP上时，角APC是锐角，
由射影定理得到BP=，
根据几何概型公式得到P==，
故选C．
点评：本题考查几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题．
4、在坐标平面上，从满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整数的点（x，y）中任意取出三个不同的点，则此三点构成三角形的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；几何概型。
专题：计算题。
分析：由题意可得：在1≤x≤4，1≤y≤4中存在的整数点（x，y）共有16个，可得从这些整数点中任意取出三个不同的点的取法有C163=560种．由题意可得：从中任意取出三个不同的点则此三点共线的取法有：44种，此三点不共线的取法有：560﹣44=516种，进而计算出此三点构成三角形的概率．
解答：解：由题意可得：在1≤x≤4，1≤y≤4中存在的整数点（x，y）共有16个，
所以从这些整数点中任意取出三个不同的点的取法有C163=560种．
若从中任意取出三个不同的点能够构成三角形，则此三点不共线，
所以由图所示：从中任意取出三个不同的点则此三点共线的取法有：44种，
所以此三点不共线的取法有：560﹣44=516种，
所以此三点构成三角形的概率是：．
故选A．
点评：本题主要是借助于三角形成立的条件考查古典概型，解决此类问题的关键是根据排列与组合正确的计算出基本事件总，再计算出符合条件的基本事件数，在计算时要做到不重不漏，进而根据古典概率模型的公式可得答案．
5、（2011?福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
解答：解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．
故选C．
点评：本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．
6、在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出的值介于0到之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解．
解答：解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，
即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，
需使或
∴或，区间长度为，
由几何概型知的值介于0到之间的概率为．
故选A．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
7、在区间[﹣，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之之间的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．
解答：解：所有的基本事件构成的区间长度为
∵解得或
∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为
由几何概型概率公式得
cos x的值介于0到之间的概率为P=
故选A．
点评：本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式．易错题．
8、ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．
解答：解：已知如图所示：
长方形面积为2，
以O为圆心，1为半径作圆，
在矩形内部的部分（半圆）面积为
因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣
故选B．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
9、如图，阴影是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、π+2
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：先根据题意得出“水滴”部分的详细构成情况，如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形构成，从而利用和的面积即可求得“水滴”部分的面积=S半圆+S△ABC+2S弓形即可．
解答：解：如图，
“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，
∴“水滴”部分的面积
=S半圆+S△ABC+2S弓形AmB
=++2（﹣）
=．
故选C．
点评：本小题主要考查圆的参数方程的应用、圆的标准主程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
10、如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．
解答：解：是几何概型
所有的基本事件Ω=
设能输出数对（x，y）为事件A，则A=
S（Ω）=1
S（A）=∫01x2dx==
故选A
点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．
11、在区间上随机取一个x，sinx的值介于与之间的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
分析：解出关于三角函数的不等式，使得sinx的值介于到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率．
解答：解：∵＜sinx，
当x∈[﹣，]时，
x∈（﹣，）
∴在区间上随机取一个数x，
sinx的值介于到之间的概率P==，
故选A．
点评：本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
12、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．
解答：解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：
以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．
这个小正方体的体积为1，
大正方体的体积为27，
故安全飞行的概率为p=．
故选D．
点评：本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．
13、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
故选D．
点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．
14、如图所示，点A（1，0），B是曲线y=3x2+1上一点，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形OABC的面积，并将他们代入几何概型计算公式进行解答．
解答：解：将x=1代入y=3x2+1得y=4，故B点坐标为（1，4）
S矩形OABC=4
而阴影部分面积为：∫01（3x2+1）dx=2
故投点落在图中阴影内的概率P==
故选A
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解
15、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点D，则AD的长不小于AC的长的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：欲求AD的长不小于AC的长的概率，先求出D点可能在的位置的长度，AC的长度，再让两者相除即可．
解答：解：在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为，
在AB上取点M，使AM=1，则若D点在线段MB上，满足条件．
∵|MB|=﹣1，|AB|=
∴AD的长不小于AC的长的概率为=1﹣
故选C
点评：本体主要考查了概率里的古典概型，做题时要认真分析，判断属于哪种概率类型．
16、在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题；数形结合。
分析：本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及P到正方形四边的距离均不小于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
解答：解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：
其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：
则正方形的面积S正方形=9
阴影部分的面积 S阴影=1
故P到正方形四边的距离均不小于1的概率P==
故选A．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
17、已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
18、已知区域，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求区域的面积，然后求比值即可．
解答：解：如右图，曲线y=和y=x的交点为A（1，1），
∴曲线y=和y=x在[0，1]围成的区域的面积为：
S=∫01=
故所求概率为=．
故选A．
点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．
19、已知Ω={（x，y）|x+y≤10，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，若向区域f（x）上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．
解答：解：依题意可在平面直角坐标系中作出集合Ω与A所表示的平面区域（如图），
由图可知SΩ=50，SA=，
则点P落入区域A的概率为．
故选C．
点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，对应面积的大小，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
20、在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，10]的概率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查几何概型的应用，解题时注意将代数问题转化为几何的面积问题即可．
二、填空题（共6小题）
21、已知集合A=，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是 ．
考点：交集及其运算；几何概型。
分析：先化简集合B，求出A∩B，再利用几何概型的意义求解．
解答：解：B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}，
∴事件“x∈A∩B”的概率是
故填；
点评：长度型的几何概型的概率计算公式是，事件d对应的长度/整个事件D对应的长度．
22、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，现从中任抽一名同学，该同学的百米测试成绩为m，m∈[13，14）∪[17，18]，则事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的概率为 0.14 ．
考点：频率分布直方图；几何概型。
专题：计算题。
分析：根据直方图中两组的频率之和，及频率的计算公式（即小矩形面积），结合题意可得事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的频率，进而可得答案．
解答：解：由频率的意义可知，[13，14）和[17，18]的频率之和是0.06×1+0.08×1，
∵每小组矩形的面积即为频率，
∴事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的频率是0.06×1+0.08×1=0.14．
故填：0.14．
点评：本题考查频率分布直方图，属于统计内容，考查分析频率分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．
23、如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是
考点：概率的基本性质；几何概型。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个几何概型，
试验包含的所有事件是∠BAD，
如图，连接AC交弧DE于P，
则，21世纪教育网
∴∠CAB=30°，
满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点
∴概率P=，
故答案为：
点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．
24、为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 9 ．
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考点：模拟方法估计概率；几何概型。
专题：计算题。
分析：根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率P（A）=，根据公式=可求．
解答：解：本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，
而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面=．
故答案为：9．
点评：本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题．解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．
25、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 ．
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．
解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，
此点到圆心的距离小于的面积为，
由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=
故答案为：
点评：本题考查几何概型问题，属基础知识的考查．
26、在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 ．
落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率P==．
故答案为：21*cnjy*com
点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．
三、解答题（共4小题）
27、已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
考点：函数与方程的综合运用；几何概型。
专题：计算题。
分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有12种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．
解答：解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2}中任一元素21*cnjy*com
∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1）（0，2）
（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b
当a＞b时，a的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件数为6．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）==
（2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6﹣×2×2=4
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）===．
点评：考查学生函数与方程的综合运用能力，以及排列组合，求事件概率的能力．
28、某斑主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）
（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；
（2）该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10人谈话，求在学习时间是1个小时的学生中选出的人数；
（3）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．
考点：频率分布直方图；分层抽样方法；众数、中位数、平均数；几何概型。
分析：（1）根据频率分布直方图，读出其数据，计算可得答案，
（2）根据题意，易得抽取的比例，再由频率分布直方图可得学习时间是1个小时的学生数，按比例计算可得答案，
（3）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，可得试验的全部结果所构成的区域，计算可得其面积，由几何概型的意义，计算可得答案．
解答：解：（1）平均学习时间为小时；（4分）
（2）根据题意，从50名学生中抽取10名学生调查，则抽取比例为，
再由频率分布直方图可得学习时间是1个小时的学生为20人，
则这部分应抽取的人数为；（7分）
（3）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，
试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|18≤x≤21，18≤y≤20}，
面积SΩ=2×3=6．事件A表示“22时甲、乙正在学习”，
所构成的区域为A={（x，y）|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为SA=1×1=1，
这是一个几何概型，所以．（12分）
点评：本题考查频率分布直方图的运用，往往与计算平均数、方差，求频率，分层抽样相联系，是高考的新热点之一．
29、（理科）某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动（下面简称为“活动”）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（文科）先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m，n，确定函数f（x）=x2+mx+n2，设函数f（x）有零点为事件A．
（I）求事件A的概率P（A）；
（II）设函数g（x）=x2+12P（A）x﹣4的定义域为[﹣5，5]，记“当x0∈[﹣5，5]时，则g（x0）≥0”为事件B，求事件B的概率P（B）．21*cnjy*com
考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数；几何概型。
专题：图表型。
分析：（理科）先由统计图得出参加活动1次、2次、3次的学生数（I）由参加活动1次、2次、3次的学生数可以算得参加活动的人均次数，（II）参加活动次数恰好相等分为都是1次、都是2次、都是3次，三种情况，每一种都要考虑到．
（文科）（I）先由先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m，n，知基本事件空间中基本事件总数，又有事件A所包含的基本事件应满足条件可知事件A的个数，（II）事件A的概率P（A）已知，可以求得g（x0）≥0成立的x0的范围
解答：（本小题满分12分）
（理科）解：由题图知，参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10、50、40．
（Ⅰ）该合唱团学生参加活动的人均次数=2.3．（4分）
（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概p0==．（8分）21*cnjy*com
（文科）解：（Ⅰ）由题意知基本事件空间中基本事件总数为36，事件A所包含的基本事件应满足条件：m2﹣4n2≥0，即m≥2n，它们分别是：m=2，n=1；m=3，n=1；m=4，n=1，2；m=5，n=1，2；m=6，n=1，2，3，
共包含9个基本事件，
所以（6分）
（Ⅱ）当x°∈[﹣5，5]时，g（x°）≥0，即x°2+3x°﹣4≥0，其解集为[﹣5，﹣4]∪[1，5]
这是一个几何概型，基本事件空间的大小是区间[﹣5，5]的长度为10，事件B包含的基本事件的大小是区间[﹣5，﹣4]和[1，5]的长度之和为5
所以，（12分）
点评：几何概型与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，
30、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．
即两数之和为5的概率为．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件总数为36，
满足条件的事件有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，
记点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，21*cnjy*com
∴P（C）==
即点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．
点评：本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．是一个基础题．
