第七章 万有引力与宇宙航行
小专题1 行星及其运动的空间几何关系
在天体运行过程中所涉及到的空间几何关系的问题中，常见的情景有阳光照射下的昼夜问题、日食与月食问题、通讯信号传输问题、天文观测问题、卫星地面覆盖区域问题等。
1.在昼夜问题中到达地球的阳光可认为是 光线，与 的光线组成了地球的影区边界，据此可分析人造卫星的可视时间、绕地球飞行的载人飞船观测到的日食时间、发生日食的次数等。
2.在信号传输问题中，信号源与接收者之间的信号传播路径沿 ，信号能直达的临界状态是 ；无线电信号在空中及太空中传播的速度等于真空中的光速c。
3.在天文观测问题、卫星地面覆盖区域问题中，观测者、人造卫星可作为质点处理，临界线段是与运动轨迹圆、星体表面相切的直线，作出相应的几何图形可获得必要的几何关系。
【答案】1.平行光线；地表相切；2.最短距离即直线路径；二者连线与地表相切
【题组一】太阳光照及信号传输问题
1.始终定点在某地面上方的人造卫星，称为地球同步卫星，已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，下列正确的说法是
A．株洲的正上方可能就有一颗地球同步卫星
B．一天内地球同步卫星能接收太阳光的时间为12小时
C．若使用地球同步卫星转播电视信号，只要一颗就能覆盖全球
D．离地面高度约为地球半径2.5倍的人造卫星，周期约为0.35天
【答案】D
【解析】同步卫星的轨道平面只能在赤道平面内,我国陆地处于北半球,我国境内任一处上空均不可能有同步卫星,A错误.如图所示,,由于同步卫星的轨道半径远大于地球半径,一天内同步卫星的光照时间大于12小时,B错误.因同步卫星只能在赤道上空,故无论多少颗同步卫星都覆盖不了两极区域,C错误.由开普勒第三定律知,,D正确.
2.人造地球卫星都带有太阳能帆板，太阳能帆板在阳光照射下可将太阳能转化为电能供卫星上的仪器设备使用。可是卫星每圈总有一段时间在地球的影子里运动，在这段时间内，太阳能帆板无法供电，卫星只能依靠备用电源。若某卫星在赤道平面内环绕地球做匀速圆周运动，周期为地球近地卫星周期的倍，当太阳直射赤道时，这颗卫星的太阳能帆板在卫星运动一周内无法供电的时间约为（地球近地卫星周期约为 90分钟，不考虑光的折射和反射）D
A．5分钟 B．30分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】D
【解析】当某卫星周期为地球近地卫星周期的倍时,由知该卫星轨道半径为近地卫星轨道半径即地球半径的2倍.如图,由图中几何关系知,卫星运行一周无法提供电的时间内转过的圆心角为,即其运行周期的六分之一时间内无法提供电能.由开普勒第三定律知该卫星的运行周期为,故,D正确.
3.天黑4小时在赤道上的某人，在正上方天空上仍然可观察到一颗人造地球卫星飞行.设地球半径为Ｒ，下表列出卫星在不同轨道上飞行速度的大小：
轨道半径r R 1.5R 2R 2. 5R 3R
v(Km/S) 7.9 6.5 5.6 5. 1 4.6
则这颗卫星飞行速度大小V一定是
a. b.
c. d.
【答案】D
【解析】如图所示，天黑４小时赤道上的人从Ａ点随地球转动到点，转过的圆心角为６０0.由于卫星在人正上方，即只能在的延长线上，又由于卫星本身不发光，只有当太阳光能照射到卫星时卫星才能被人看到，由此可知卫星的位置最低在Ｂ点，即其轨道半径最小等于２Ｒ，故由表中数据知Ｄ正确。
4.宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ）
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为
D. 飞船周期为
【答案】AD
【解析】由几何关系知，可得飞船飞行的轨道半径为，故飞船绕地球运动的线速度，A正确。 由牛顿第二定律有，故得飞船飞行周期为：，D正确。飞船每次“日全食”过程经历的时间为飞船转过角所需的时间，即，故一天内飞船经历“日全食”的次数为T0/T，B、C均错误。
5.发射了一颗距离地面的高度为地球半径R0的圆形轨道上运行的地球卫星，卫星轨道平面与赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g。
⑴求出卫星绕地心运动周期T
⑵设地球自转周期T0，该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，并在连续不断地向地球发射电磁波，则在赤道上某一点的人能连续接收到该电磁波的时间是多少？
【答案】(1）⑵
【解析】(1）
(2)设人在B1位置刚好看见卫星出现在A1位置，最后
在B2位置看到卫星从A2位置消失，
OA1=2OB1
有 ∠A1OB1=∠A2OB2=π/3
从B1到B2时间为t
则有
6.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
【答案】
【解析】如下图所示：
设O和分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有：
①
②
②式中，T1表示探月卫星绕月球转动的周期．
由以上两式可得： ③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，
应有： ④
上式中，．
由几何关系得： ⑤
⑥
由③④⑤⑥得： ⑦
【题组二】星体观测
1.如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为，则M、N的运动周期之比等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当M、N连线与M、O连线间的夹角最大时连线MN与卫星N的运动轨迹相切,故两卫星的轨迹半径满足.再由得,D正确.
2．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是
A． 轨道半径越大，周期越长
B． 轨道半径越大，速度越大
C． 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D． 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【答案】AC
【解析】 据＝mR，可得，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；据＝，可得，可知轨道半径越大则速度越小，故选项B错误；如果测得周期，则有M＝，其中R是P的轨道半径；如果测得张角θ，则该星球半径为：r＝R，所以M＝＝πr3ρ＝π（R）3ρ，则ρ＝，故选项C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球密度，选项D错误．
3.一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可知该卫星的轨道半径为地球半径的2倍，如图所示，某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长所对应的圆心角2θ满足：，有，故最大弧长为，A正确．
4.在天文观测中，地球与太阳的连线和地球与被观测行星的连线的夹角称为行星对地球的视角。当视角最大时，地球上观测此行星的时机最佳。如图是地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动的示意图，它们的轨道半径分别为r1与r2，r1>r2，下列说法正确的是 （ ）
A．地球的公转周期T1和行星公转周期T2满足
B．该行星的最大视角
C．该行星的最大视角
D．若某时刻该行星恰处于最佳观测位置，则到下次最佳观测位置相隔的时间可能小于地球的公转周期
【答案】ACD
【解析】由开普勒第三定律可知A正确。如图所示，当该行星与地球连线相切于该行星的运动轨迹时，行星视角达到最大：，B错误C正确。以地球为参考系，在相邻两次最佳观测位置的时间间隔内，行星与地球连线相对地球转过的角度为，则以太阳为参考系时，行星比地球绕太阳多转过的圆心角度为，所经历的时间满足，解得，由于，故有可能小于T1，D正确。
5.（2016课标I）17．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6．6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A．1h B．4h C．8h D．16h
【答案】B
【解析】设地球的半径为R，周期T=24h，地球自转周期的最小值时，三颗同步卫星的位置如图所示，所以此时同步卫星的半径r1=2R，由开普勒第三定律得：，可得，故A、C、D错误，B正确。
6.均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北两极等少数地区外的“全球通信”。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，下面列出的是关于卫星中任意两颗卫星间距离s的表达式，其中正确的是
A． B． C．R D．
【答案】BC
【解析】根据万有引力提供向心力得：，r为轨道半径。根据地球表面处万有引力等于重力得：，得：GM=gR2。根据题意画出俯视三颗同步通信卫星的几何位置图象：
根据几何关系得：L=r=．根据同步卫星处万有引力等于重力得：，r=，，，。由于GM=gR2，r=R，，，所以L=r=R，BC正确．
7.已知地球半径R=6390km、自转周期T=24h、表面重力加速度g=9.8m/s2，电磁波在空气中的传播速度c=3×108m/s，不考虑大气层对电磁波的影响。要利用同一轨道上数量最少的卫星，实现将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端的目的，则
A．卫星数量最少为2颗
B．信号传播的时间至少为8.52×10-2s
C．卫星运行的最大向心加速度为4.9m/s2
D．卫星绕地球运行的周期至少为24h
【答案】ABC
【解析】一颗卫星所能覆盖的地面范围在赤道平面内对应的圆心小于1800，故地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端至少需要2颗卫星，A正确。如图所示，信号从A点传播到B点所需时间最短时对应传播距离最短，则经由的中转卫星数目最少、卫星离地高度最低，由于至少需要两颗卫星，则每颗卫星所覆盖的地面范围在赤道平面内对应的圆心最多为900，否则所需卫星数目将超过两颗。由此可知，信号传播的最短距离为4R，最短时间为，B正确；此时卫星加速度最大，由图知卫星轨道半径，再由及可得，C正确。由同步通讯卫星轨道半径：，故卫星运行周期小于同步卫星运行周期24h，D错误
8.如图所示，P是一颗地球同步卫星，已知球半径为R，地球表面处的重力加速度为R，地球自转周期为T。
（1）设地球同步卫星对地球的张为2θ，求同步卫星的轨道半径r和sinθ的值。
（2）要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上，A，B之间的区域，∠AOB＝，则卫星可定位在轨道某段圆弧上，求该段圆弧的长度l（用r和θ表示）
【答案】(1)、(2)
【解析】设地球和同步卫星的质量分别为M、m，
得、
（2）如图所示，
所以
9人们通过对月相的观测发现,当月球恰好是上弦月时,如图甲所示，人们的视线方向与太阳光照射月球的方向正好是垂直的,测出地球与太阳的连线和地球与月球的连线之间的夹角为，当月球正好是满月时，如图乙所示,太阳、地球、月球大致在一条直线上且地球在太阳和月球之间,这时人们看到的月球和在白天看到的太阳一样大(从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫做视角,物体在视网膜上所成像的大小决定于视角）。已知嫦娥飞船贴近月球表面做匀速圆周运动的周期为T,月球表面的重力加速度为g0,试估算太阳的半径。
【答案】
【解析】设太阳半径为R日、月球半径为R月，地月、地日之间的距离分别为r地月、r地日
质量为m的物体在月球表面受到的重力mg0＝GMm/R2
质量为m′的嫦娥飞船贴近月球表面运动，有GMm’/R月2＝m′()R月
在观察上弦月时，由几何关系r地月/ r地日＝cosθ，
当月球正好是满月时，月球和太阳看起来一样大，由几何关系R月/R日=
由于天体之间的距离远大于天体的半径
故
联立解得R日＝
R
O
A
4图
A1
A2
B1
B2
O
6题图第七章 万有引力与宇宙航行
小专题1 行星及其运动的空间几何关系
在天体运行过程中所涉及到的空间几何关系的问题中，常见的情景有阳光照射下的昼夜问题、日食与月食问题、通讯信号传输问题、天文观测问题、卫星地面覆盖区域问题等。
1.在昼夜问题中到达地球的阳光可认为是 光线，与 的光线组成了地球的影区边界，据此可分析人造卫星的可视时间、绕地球飞行的载人飞船观测到的日食时间、发生日食的次数等。
2.在信号传输问题中，信号源与接收者之间的信号传播路径沿 ，信号能直达的临界状态是 ；无线电信号在空中及太空中传播的速度等于真空中的光速c。
3.在天文观测问题、卫星地面覆盖区域问题中，观测者、人造卫星可作为质点处理，临界线段是与运动轨迹圆、星体表面相切的直线，作出相应的几何图形可获得必要的几何关系。
【题组一】太阳光照及信号传输问题
1.始终定点在某地面上方的人造卫星，称为地球同步卫星，已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，下列正确的说法是
A．株洲的正上方可能就有一颗地球同步卫星
B．一天内地球同步卫星能接收太阳光的时间为12小时
C．若使用地球同步卫星转播电视信号，只要一颗就能覆盖全球
D．离地面高度约为地球半径2.5倍的人造卫星，周期约为0.35天
2.人造地球卫星都带有太阳能帆板，太阳能帆板在阳光照射下可将太阳能转化为电能供卫星上的仪器设备使用。可是卫星每圈总有一段时间在地球的影子里运动，在这段时间内，太阳能帆板无法供电，卫星只能依靠备用电源。若某卫星在赤道平面内环绕地球做匀速圆周运动，周期为地球近地卫星周期的倍，当太阳直射赤道时，这颗卫星的太阳能帆板在卫星运动一周内无法供电的时间约为（地球近地卫星周期约为 90分钟，不考虑光的折射和反射）D
A．5分钟 B．30分钟 C．分钟 D．分钟
3.天黑4小时在赤道上的某人，在正上方天空上仍然可观察到一颗人造地球卫星飞行.设地球半径为Ｒ，下表列出卫星在不同轨道上飞行速度的大小：
轨道半径r R 1.5R 2R 2. 5R 3R
v(Km/S) 7.9 6.5 5.6 5. 1 4.6
则这颗卫星飞行速度大小V一定是
a. b.
c. d.
4.宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ）
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为
D. 飞船周期为
5.发射了一颗距离地面的高度为地球半径R0的圆形轨道上运行的地球卫星，卫星轨道平面与赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g。
⑴求出卫星绕地心运动周期T
⑵设地球自转周期T0，该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，并在连续不断地向地球发射电磁波，则在赤道上某一点的人能连续接收到该电磁波的时间是多少？
6.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
【题组二】星体观测
1.如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为，则M、N的运动周期之比等于
A． B． C． D．
2．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是
A． 轨道半径越大，周期越长
B． 轨道半径越大，速度越大
C． 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D． 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
3.一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)
A. B. C. D.
4.在天文观测中，地球与太阳的连线和地球与被观测行星的连线的夹角称为行星对地球的视角。当视角最大时，地球上观测此行星的时机最佳。如图是地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动的示意图，它们的轨道半径分别为r1与r2，r1>r2，下列说法正确的是 （ ）
A．地球的公转周期T1和行星公转周期T2满足
B．该行星的最大视角
C．该行星的最大视角
D．若某时刻该行星恰处于最佳观测位置，则到下次最佳观测位置相隔的时间可能小于地球的公转周期
5.（2016课标I）17．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6．6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A．1h B．4h C．8h D．16h
6.均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北两极等少数地区外的“全球通信”。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，下面列出的是关于卫星中任意两颗卫星间距离s的表达式，其中正确的是
A． B． C．R D．
7.已知地球半径R=6390km、自转周期T=24h、表面重力加速度g=9.8m/s2，电磁波在空气中的传播速度c=3×108m/s，不考虑大气层对电磁波的影响。要利用同一轨道上数量最少的卫星，实现将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端的目的，则
A．卫星数量最少为2颗
B．信号传播的时间至少为8.52×10-2s
C．卫星运行的最大向心加速度为4.9m/s2
D．卫星绕地球运行的周期至少为24h
8.如图所示，P是一颗地球同步卫星，已知球半径为R，地球表面处的重力加速度为R，地球自转周期为T。
（1）设地球同步卫星对地球的张为2θ，求同步卫星的轨道半径r和sinθ的值。
（2）要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上，A，B之间的区域，∠AOB＝，则卫星可定位在轨道某段圆弧上，求该段圆弧的长度l（用r和θ表示）
9人们通过对月相的观测发现,当月球恰好是上弦月时,如图甲所示，人们的视线方向与太阳光照射月球的方向正好是垂直的,测出地球与太阳的连线和地球与月球的连线之间的夹角为，当月球正好是满月时，如图乙所示,太阳、地球、月球大致在一条直线上且地球在太阳和月球之间,这时人们看到的月球和在白天看到的太阳一样大(从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫做视角,物体在视网膜上所成像的大小决定于视角）。已知嫦娥飞船贴近月球表面做匀速圆周运动的周期为T,月球表面的重力加速度为g0,试估算太阳的半径。
R
O
A
4图
