第七章 万有引力与宇宙航行
小专题2 星体的追及相遇类问题
1.同一轨道平面内绕同一方向运行的运动天体，在两次相距最近的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或
2.同一轨道平面内绕同一方向运行的运动天体，在两次相距最远的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或 。从一次相距最近到一次相距最远的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或 。
3.同一轨道平面内绕相反方向运行的运动天体，在相邻两次相距最远或相邻两次相距最近的时间内，两天体转过的圆心角 ：可表达为 或 。
4.不在同一轨道平面内的卫星或行星，相距最近的时刻只能在特定的位置，两次相距最近的时刻只能是 ，且 。
5.两星体绕同一中心天体运行时，还可采用相对角速度的方法分析求解：以转动较慢的星体为参考系，转动较快的星体以相对角速度绕中心天体转动，其相对角速度，转过相对角度时经历的时间为 。
【答案】1.多运行整数圈；；2.多运行整数圈；；；多运行半圈的奇数倍；； 3.之和为；； 4.两星各运行半圈的奇数倍或各运行整数圈；运行快的比慢的多运行整数圈 5.
【题组一】同一平面内的同向运行
1.太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但天文学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星日绕太阳运行的圆轨道半径为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意知每经过时间t行星A比行星B多运动一周：，再由开普勒第三定律可知，两式结合可得，A正确。
2.2019年将出现“火星合日”的天象。“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示已知地球、火星绕太阳运行的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知
A．“火星合日”约每1年出现一次
B．“火星合日”约每2年出现一次
C．火星的公转半径约为地球公转半径的倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
【答案】BC
【解析】设地球绕太阳运动的角速度为，由知火星绕太阳的角速度为。以地球为参考系，则火星绕太阳的角速度为，其中负号表示火星相对地球是反向转动的，则从一次“火星合日”到下一次“火星合日”的过程中火星相对地球绕太阳倒退一周，所经历的时间为，而，故A错误B正确。由开普勒第三定律有，故C正确D错误。
3.据路透社2019年4月24日报道，日前，美国“洞察号”火星探测器搭载的法国科研设备在火星上检测到了疑似地震的波动，或将证明火星仍是一颗活跃的星球。这也是人类首次在另一颗星球上记录到地震震动。假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r1=2.4×1011m，地球的轨道半径r2=1.5×1011m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间：（ ）
A.1.4年 B.4年 C.2.0年 D.1年
【答案】C
【解析】再次相距最近时地球比火星多转一圈,即,再由及有,C正确.
另解：设火星、地球绕太阳运行角速度分别为、，由得，以火星为参考系，地球绕太阳运行角速度为，则火星与地球两次相邻最近的时间内，以火星为参考系地球绕太阳恰好运动一周，即，C正确。
4.如图所示有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2.在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星相距最近）则（ ）
A.经过时间t=T1+T2两行星将第二次相遇
B.经过时间两行星将第二将相遇
C.经过时间两行星第一次相距较远
D.经过时间两行星第一次相距最远
【答案】BD
【解析】 从第一次到第二次相距最近，只需要：，解得，A错误B正确；从相距最近到第一次相距最远时需满足，,C错误D正确。
5.（2014课标I，19）（多选）（难）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列说法正确的是
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【答案】BD
【解析】设地球轨道半径为R，地外行星轨道半径为nR，地球公转周期为T＝1年，则开普勒第三定律得地外行星的公转周期为，若要求地外行星每年都出现冲日现象，则要求相邻两次冲日时间间隔，而,有即，解得，故A错误。对于木星，n=5.2,代入得可见在2015年2月9日左右就会出现木星冲日现象，B正确。对天王星，n=19,可得、对土星n=9.5,,故C错误。由可见n越大Δt越小，故D正确。
6.人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，hA． a、b线速度大小之比为
B． a、c角速度之比为
C． b、c向心加速度大小之比
D．a下一次通过c正上方所需时间等于
【答案】C
【解析】卫星a与卫星b做圆周运动所需向心力均来自于地球的引力,由得、,故A错误.由于b、c转动角速度均与地球自转角速度相等,故a、c角速度之比与a、b角速度之比相等:B错误.由得 b、c向心加速度大小之比为,C正确.得,再结合可得卫星a运行周期为.同理卫星b及c运转周期为.当a下一次通过c正上方时,a比c多转一周,即,解得,D错误.
【题组二】其它情况
1.在地球周围现一平面内的两颗卫星A和B，绕地球转动的线速度分别为v1、v2，则两卫星由距离最近转至距离最远时所需的时间最短的是（已知v1>v2，地球半径为R，表面重力加速度为 g）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由有，当两卫星同向转动时，由相距最近到相距最远的最短时间内角速度大的卫星多转半周，可得，A正确；当两卫星反向转动时，由相距最近到相距最远的最短时间内两卫星共转动半周，可得，BCD皆错误。
2.人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动,卫星乙是地球同 步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的倍,某时刻两卫星和地心在同一直线上，且 乙在甲的正上方(称为相遇），如图所示。在这以后，甲运动8 周的时间内，它们相遇了
A.4次 B. 3次 C. 2次 D.1次
【答案】B
【解析】由于两卫星只能在图示位置或由图示位置转过半圈的位置才能相遇，故由知T乙＝5T甲，当乙运动0.5圈、1圈、1.5圈时，甲刚好运动了2.5圈、5圈、7.5圈，即甲运动8圈时间内二者相遇3次。
3.地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R=1.50×1011m，运转周期为T=3.16×107s．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期，如图甲或图乙所示，该行星的最大视角θ=14.5°．求
（1）该行星的轨道半径r和运转周期T1（sin14.5°=0.25，最终计算结果均保留两位有效数字）
（2）若已知地球和行星均为逆时针转动，以图甲和图乙为初始位置，分别经过多少时间能再次出现观测行星的最佳时期．（最终结果用T、T1、θ 来表示）
【答案】（1）3.8×1010m；4.0×106s（2）
【解析】（1）由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大可得行星的轨道半径r为：
r=Rsinθ
代入数据得
r=3.8×1010m
设行星绕太阳的运转周期为T′，由开普勒第三定律有：
代入数据得T1=4.0×106s
（2）如图所示，以地球为参考系，行星相对地球绕太阳转动的角速度为
当再次出现观测行星的最佳时期时角度关系为：＝（π±2θ），
由=π±2θ可解得：
t=
4.设地球的质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船，由静止开始自P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动.若一年后飞船在D点掠过地球上空，且再过两个月又在Q处掠过地球上空，如图所示，根据以上条件，求地球与太阳间的万有引力的大小.（忽略飞船受地球和太阳的万有引力作用的影响）
【答案】
【解析】设地球公转周期为T，则两个月时间为，两个月时间地球绕太阳转过60°角.
设地球公转半径为R，则由几何关系得：
DQ=R PD=aT2
PQ=a(T)2
F=ma
PQ=PD+DQ
解得：R=
所以地球与太阳间的万有引力为：
F=MR=.
5.从地球表面向火星发射火星探测器．设地球和火星都在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动．火星轨道半径Rm为地球轨道半径R0的1.5倍．简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，成为一个绕地球运行的人造卫星；第二步，在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机．在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，使探测器沿半个椭圆轨道（该椭圆长轴两端分别与地球公转轨道及火星公转轨道相切）射到火星上．如图（a）所示．已知地球半径Re=6.4×106m，重力加速度g=10m/s2．
（1）为使探测器成为绕地球运行的人造卫星，探测器在地面附近至少要获得多大的速度（不考虑地球自转）．
（2）求火星探测器的飞行时间为多少天（已知=2.2，1年为365天）．
（3）当探测器绕地球运行稳定后，在某年 3月 1 日零时测得探测器与火星之间的角度为60°，如图（b）所示．求应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到天，已知=1.2，1年为365天）
【答案】（1）8.0km/s（2）251天（3）同年的 4月11日
【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：
=m
而GM=g
联立解得：v==8.0km/s
（2）探测器和地球都围绕太阳运动，设探测器的周期为t，地球周期为T0．依据开普勒第三定律有：
t=年=502天
探测器的飞行时间t1==251天
（3）为使探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星恰好运行到这一点，必须选择适当时机点燃火箭发动机．
地球公转的运动周期Td=365天
地球公转的角速度 ωd==0.968°/天
火星公转周期Tm=365=365×1.8=657天
火星公转角速度ωm=360°/657天=0.548°/天
探测器从点燃火箭发动机至到达火星所需时间为t1==251天
探测器运行至火星的251天内，火星运行的角度为θm=ωmt1=0.548°/天×251天=137.5°
为了使探测器到达火星轨道时，正好射到火星上，那么探测器在椭圆轨道近日点点燃火箭发动机时，火星应在其远日点的切点之前137.5°处，即探测器点燃发动机时，与火星的角度应为180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为 60°（火星在前，探测器在后），为使其角度成为 42.5°，必须等待一段时间，设为t天，使二者达到角距离42.5°的合适位置．t 满足
60°-42.5°=（ωd-ωm）t
t===41.6≈42(天)
因此点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日．第七章 万有引力与宇宙航行
小专题2 星体的追及相遇类问题
1.同一轨道平面内绕同一方向运行的运动天体，在两次相距最近的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或
2.同一轨道平面内绕同一方向运行的运动天体，在两次相距最远的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或 。从一次相距最近到一次相距最远的时间内，运行快的天体比运行慢的天体 ：可表达为 、或 。
3.同一轨道平面内绕相反方向运行的运动天体，在相邻两次相距最远或相邻两次相距最近的时间内，两天体转过的圆心角 ：可表达为 或 。
4.不在同一轨道平面内的卫星或行星，相距最近的时刻只能在特定的位置，两次相距最近的时刻只能是 ，且 。
5.两星体绕同一中心天体运行时，还可采用相对角速度的方法分析求解：以转动较慢的星体为参考系，转动较快的星体以相对角速度绕中心天体转动，其相对角速度，转过相对角度时经历的时间为 。
【题组一】同一平面内的同向运行
1.太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但天文学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星日绕太阳运行的圆轨道半径为
A.B.C.D.
2.2019年将出现“火星合日”的天象。“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示已知地球、火星绕太阳运行的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知
A．“火星合日”约每1年出现一次
B．“火星合日”约每2年出现一次
C．火星的公转半径约为地球公转半径的倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
3.据路透社2019年4月24日报道，日前，美国“洞察号”火星探测器搭载的法国科研设备在火星上检测到了疑似地震的波动，或将证明火星仍是一颗活跃的星球。这也是人类首次在另一颗星球上记录到地震震动。假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r1=2.4×1011m，地球的轨道半径r2=1.5×1011m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间：（ ）
A.1.4年 B.4年 C.2.0年 D.1年
4.如图所示有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2.在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星相距最近）则（ ）
A.经过时间t=T1+T2两行星将第二次相遇
B.经过时间两行星将第二将相遇
C.经过时间两行星第一次相距较远
D.经过时间两行星第一次相距最远
5.（2014课标I，19）（多选）（难）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列说法正确的是
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
6.人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，hA． a、b线速度大小之比为
B． a、c角速度之比为
C． b、c向心加速度大小之比
D．a下一次通过c正上方所需时间等于
【题组二】其它情况
1.在地球周围现一平面内的两颗卫星A和B，绕地球转动的线速度分别为v1、v2，则两卫星由距离最近转至距离最远时所需的时间最短的是（已知v1>v2，地球半径为R，表面重力加速度为 g）（ ）
A. B. C. D.
2.人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动,卫星乙是地球同 步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的倍,某时刻两卫星和地心在同一直线上，且 乙在甲的正上方(称为相遇），如图所示。在这以后，甲运动8 周的时间内，它们相遇了
A.4次 B. 3次 C. 2次 D.1次
3.地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R=1.50×1011m，运转周期为T=3.16×107s．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期，如图甲或图乙所示，该行星的最大视角θ=14.5°．求
（1）该行星的轨道半径r和运转周期T1（sin14.5°=0.25，最终计算结果均保留两位有效数字）
（2）若已知地球和行星均为逆时针转动，以图甲和图乙为初始位置，分别经过多少时间能再次出现观测行星的最佳时期．（最终结果用T、T1、θ 来表示）
4.设地球的质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船，由静止开始自P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动.若一年后飞船在D点掠过地球上空，且再过两个月又在Q处掠过地球上空，如图所示，根据以上条件，求地球与太阳间的万有引力的大小.（忽略飞船受地球和太阳的万有引力作用的影响）
5.从地球表面向火星发射火星探测器．设地球和火星都在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动．火星轨道半径Rm为地球轨道半径R0的1.5倍．简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，成为一个绕地球运行的人造卫星；第二步，在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机．在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，使探测器沿半个椭圆轨道（该椭圆长轴两端分别与地球公转轨道及火星公转轨道相切）射到火星上．如图（a）所示．已知地球半径Re=6.4×106m，重力加速度g=10m/s2．
（1）为使探测器成为绕地球运行的人造卫星，探测器在地面附近至少要获得多大的速度（不考虑地球自转）．
（2）求火星探测器的飞行时间为多少天（已知=2.2，1年为365天）．
（3）当探测器绕地球运行稳定后，在某年 3月 1 日零时测得探测器与火星之间的角度为60°，如图（b）所示．求应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到天，已知=1.2，1年为365天）
