弧长公式
一、选择题（共16小题）
1、从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A、π B、2π
C、4π D、6π21世纪教育网版权所有
2、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A、 B、sin0.521cnjy
C、2sin0.5 D、tab0.521世纪教育网
3、己知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、π D、2π
4、一钟表的分针长10cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（ ）
A、30cm B、5cm
C、5πcm D、cm
5、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A、2 B、
C、2sin1 D、sin2
6、设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
8、半径为1cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A、cm B、cm
C、cm D、cm
9、正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
10、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A、2 B、sin2
C、 D、2sin121世纪教育网版权所有
11、一钟表的分针长10cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）
A、70cm B、cm21世纪教育网
C、cm D、cm
12、在半径为2的圆中，弧长为3所对的圆心角是（ ）
A、π B、21*cnjy*com
C、 D、π
13、在四面体ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M 是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（ ）
A、 B、
C、 D、
15、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）
A、arccos（﹣） B、arccos（﹣）
C、arccos（﹣） D、arccos（﹣）
16、已知一球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为（ ）
A、1 B、
C、2 D、2
二、填空题（共3小题）
17、已知球O的半径为2，圆O1是一小圆，，A、B是圆O1上两点，若∠AO1B=，则A，B两点间的球面距离为 _________ ．21世纪教育网版权所有
18、已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是 _________ ．
19、已知弧长5πcm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是 _________ cm．
三、解答题（共3小题）21世纪教育网
20、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）21*cnjy*com
21、在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积．
22、如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．
答案与评分标准
一、选择题（共16小题）
1、从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A、π B、2π
C、4π D、6π21cnjy
考点：弧长公式；直线与圆的位置关系。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：先求出圆心和半径，结合图形求出两切线的夹角为2θ，进而求出劣弧对的圆心角，从而求出劣弧长．
解答：解：圆x2+y2﹣12y+27=0 即 x2+（y﹣6）2=9，设两切线的夹角为2θ，则 sinθ==，∴θ=30°，
∴2θ=60°，劣弧对的圆心角是120°，劣弧长为×2π×3=2π，21世纪教育网版权所有
故选 B．21*cnjy*com
点评：本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求弧长的方法．
2、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A、 B、sin0.5
C、2sin0.5 D、tab0.5
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径为，
点评：本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．
3、己知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ）
A、 B、
C、π D、2π
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．
解答：解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y=10的距离为
∴弦长为2×
根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，
较短弧长为×2π×2=π，较长的弧长为4π﹣π=3π21cnjy
∴两段弧长之差的绝对值等于2π21世纪教育网版权所有
故选D21世纪教育网
点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．
4、一钟表的分针长10cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（ ）
A、30cm B、5cm
C、5πcm D、cm
点评：本题考查弧长公式l=α?r的应用，是基础题．易错点是角度和弧度的转化，利用弧长公式解题时要把圆心角的单位化为弧度．
5、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A、2 B、21*cnjy*com
C、2sin1 D、sin2
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解答：解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO==，
从而弧长为α?r=，
故选B．
点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
6、设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
考点：弧长公式。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：先求出北纬60°圈所在圆的半径，是A、B两地在北纬60°圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，
设地球的中心为O，解三角形求出∠AOB的大小，利用弧长公式求A、B这两地的球面距离．
解答：解：北纬60°圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上的弧长=θ×（θ是A、B两地在北纬60°圈上对应的圆心角），
故 θ=，∴线段AB=×=，21*cnjy*com
设地球的中心为O，则△AOB中，由余弦定理得=R2+R2﹣2R2cos∠AOB，
∴cos∠AOB=，∠AOB=，A、B这两地的球面距离是，
故选 B．
点评：本题考查弧长公式的应用，以及利用余弦定理解三角形求圆心角的大小．
7、已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：弧长公式。
专题：常规题型。
分析：根据扇形的面积公式建立等式关系，求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2个半径加弧长即可求出周长．
解答：解：设扇形的半径为R，则R2α=2，
∴R2=1，∴R=1，
∴扇形的周长为2R+α?R=2+4=6
故选C
点评：本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题．
8、半径为1cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A、cm B、cm
C、cm D、cm
点评：本题主要考查弧长公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式l=αr，此题比较简单．
9、正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（ ）
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A、 B、21世纪教育网21cnjy
C、 D、
考点：弧长公式；棱柱的结构特征。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：由题设条件知，在正方体表面上与点A距离是的曲线是三个圆心角为，半径为的圆弧，此曲线的长度是的3倍，由此能求出其结果．
点评：本题考查弧长公式的应用，解题时要认真审题，仔细观察，避免出错．
10、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A、2 B、sin2
C、 D、2sin1
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，弧长公式求弧长即可．
解答：解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1
故半径为
这个圆心角所对的弧长为2×=
故选C
点评：本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．
11、一钟表的分针长10cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）
A、70cm B、cm21世纪教育网
C、cm D、cm21cnjy
考点：弧长公式。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：分针每60分钟转一周，转过2π弧度，先求出35分钟分针转过的弧度数，代入弧长公式计算弧长．
解答：解：经过35分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为 2π×=，分针的端点所转过的长为×10=（cm），
故选 D．
点评：本题考查弧长公式的应用，弧长等于弧长所对圆心角的弧度数乘以半径．
12、在半径为2的圆中，弧长为3所对的圆心角是（ ）
A、π B、
C、 D、π21*cnjy*com
点评：主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记，弧长公式为：l=．
13、在四面体ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：先求出DG、DH的长，利用直角三角形中的边角关系求出∠DAG、∠DAH，得到∠CAG=∠HAB 的大小，弧长公式求得=、以及、的大小，这条曲线的长度是+++．
解答：解：如图 勾股定理求出DG===DH，21cnjy
tan∠DAG==，∴∠DAG==∠DAH，
∴∠CAG=∠HAB=﹣=，21世纪教育网
∴由弧长公式得==×=，
=×=，21世纪教育网版权所有
∴这条曲线的长度是+++=+++×=．
故答案为，21*cnjy*com
故选D．
点评：本题考查直角三角形中的边角关系，弧长公式的应用．本题中这条曲线是以A为球心，以为半径的球与四面体表面的交线．
14、已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M 是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：轨迹方程；弧长公式。
专题：计算题。
分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．
解答：解：直线AB的方程为x+y=4，设点M（m，n），M'（x，y），
则，
即m=x2，n=y2．因为m+n=4（1≤m≤2），
则．
所以点M′的轨迹为一段圆弧，且圆心角为，所以弧长为2×=，
故选C
点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少．
15、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）
A、arccos（﹣） B、arccos（﹣）
C、arccos（﹣） D、arccos（﹣）
考点：球内接多面体；弧长公式。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意求出正四面体的棱长，利用余弦定理求出∠AOB，然后求出A与B两点间的球面距离．
解答：解：半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，所以正四面体扩展为正方体的外接球与圆柱球相同，正方体的对角线就是外接球的直径，所以正四面体的棱长为：；
21cnjy21*cnjy*com
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A与B两点间的球面距离为：1×arccos（﹣）=arccos（﹣）
故选C．
点评：本题是基础题，考查正四面体的外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，球面距离的求法，是常考题型．
16、已知一球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为（ ）
A、1 B、
C、2 D、2
点评：本题主要考查了球面距离以及解等腰三角形的能力，属于基础题．
二、填空题（共3小题）
17、已知球O的半径为2，圆O1是一小圆，，A、B是圆O1上两点，若∠AO1B=，则A，B两点间的球面距离为 ．
考点：弧长公式。
专题：综合题；数形结合；综合法。
分析：由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2由此知三角形AOB是等边三角形，由此可以求出∠AOB的值，进而利用弧长公式求A，B两点间的球面距离．
解答：解：由题设知，OA=OB=2
在圆O1中有，又∠AO1B=
在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=221cnjy
所以在△AOB中，OA=OB=AB=2，
则△AOB为等边三角形，可得∠AOB=60°21世纪教育网
由弧长公式l=rθ（r为半径）得A，B两点间的球面距离lAB=rθ=2×
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点评：本题的考点是弧长公式，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，求解方法固定先求两点间的弦长，再求球心角角，再由弧长公式求弧长．
18、已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是 ．
点评：利用弧长公式l=Rα求圆中的弧长时，一定要注意公式中的角α的单位是弧度．
19、已知弧长5πcm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是 15 cm．
考点：弧长公式。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．
解答：解：由弧长公式l=知，
R===15
故答案为：15．
点评：本题考查弧长公式，要注意计算正确，是基础题．
三、解答题（共3小题）
20、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
考点：弧长公式。
分析：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
解答：解：[法一]设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD?OD?cos60°=OC2
即，
解得（米）21cnjy
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
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[法二]连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，21世纪教育网
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°
在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2?CD?AD?cos120°=．
∴AC=700（米）．（6分）．
在直角△HAO中，AH=350（米），，21*cnjy*com
∴（米）．
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
点评：本题主要考查用余弦定理求三角形边长．
21、在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积．
考点：弧长公式。
专题：计算题。
分析：设扇形AOB所在圆半径为R，此扇形内切圆的半径为r，由图可知R=r+，由弧长公式求R，可得r，代入内切圆的面积进行计算．
解答：解：设扇形AOB所在圆半径为R，此扇形内切圆的半径为r，如图所示，
则有R=r+，．
由此可得r=．
则内切圆的面积．
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点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是求r与R的关系，体现了数形结合的数学思想．221*cnjy*com 1cnjy
22、如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．21世纪教育网
