同角三角函数间的基本关系
一、选择题（共19小题）21世纪教育网版权所有
1、函数y=sin2x+2cosx在区间上的最小值为，最大值为2，则α的范围是（ ）
A、
B、21世纪教育网
C、
D、
2、已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且cosθ=0.5，则α的值为（ ）
A、 B、arctan（﹣1）
C、 D、21cnjy21*cnjy*com
3、若2sinθ=﹣3cosθ，则2θ的终边所在象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限21cnjy21*cnjy*com
4、化简的结果是（ ）
A、cos5+sin5 B、﹣cos5﹣sin5
C、cos5﹣sin5 D、﹣cos5+sin521*cnjy*com
5、函数的值域是（ ）
A、[﹣] B、[﹣1，0]
C、[﹣] D、[﹣]
6、已知，则=（ ）
A、2 B、﹣2
C、3 D、﹣3
7、已知，且，则tanφ=（ ）
A、 B、
C、﹣ D、
8、若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知是第二象限角，则tanx=（ ）
A、 B、
C、 D、﹣
10、化简=（ ）
A、sin4+cos4 B、﹣sin4﹣cos4
C、sin4 D、cos4
11、若cosα=，α∈（﹣，0），则tanα=（ ）
A、﹣ B、21世纪教育网版权所有21世纪教育网
C、﹣﹣2 D、2
12、已知cosx=﹣，x∈（π，），则tanx等于（ ）
A、﹣ B、﹣21cnjy21*cnjy*com
C、 D、
13、已知sinα+cosα=﹣，且α∈（，π），则tanα=（ ）
A、﹣ B、﹣21cnjy
C、 D、
14、若α为第二象限角，则=（ ）
A、2sin2α B、﹣2cos2α
C、0 D、2
15、已知θ为第二象限角，且sinθ+cosθ=，那么tanθ=（ ）
A、﹣或﹣ B、﹣
C、﹣ D、﹣
16、已知，其中0＜a＜1，x∈（0，π），则cosx的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、若，则tanθ+cotθ的值为（ ）
A、2 B、﹣1
C、1 D、﹣2
18、已知在△ABC中，，则sinA的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
19、若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、21cnjy
二、填空题（共5小题）
20、函数的值域为 _________ ．21世纪教育网版权所有
21、定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）=﹣f（x）．若tanα=2，则f（15sinαcosα）的值为 _________ ．
22、设f（sinα+cosα）=sinαcosα，则f（0）+f（1）的值为 _________ ．21*cnjy*com
23、若，则cosx﹣sinx= _________ ．
24、若tanα=2，则= _________ ．
三、解答题（共4小题）
25、已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程的两根，求sin3θ+cos3θ及的值．
26、sinα，cosα为方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个实根，，求m及α的值．
27、如图，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．
（1）若∠PAT=θ，试写出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并写出定义域；
（2）试求停车场的面积最大值．
28、已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（1，2）．
（I）求tan（π﹣α）的值；
（II）求的值．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、函数y=sin2x+2cosx在区间上的最小值为，最大值为2，则α的范围是（ ）
A、 B、21cnjy21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：二次函数在闭区间上的最值；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由已知中函数y=sin2x+2cosx，由同角三角函数的基本关系，我们可将函数的解析式化为y=﹣（cosx﹣1）2+2的形式，进而根据函数的最小值为，最大值为2，可求出cosx∈[﹣，1]，结合已知中x∈及余弦函数的图象和性质，即可得到α的范围．
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．
2、已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且cosθ=0.5，则α的值为（ ）
A、 B、arctan（﹣1）
C、 D、
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：利用三角函数的定义，求出tanα，利用二倍角公式化简，cos2θ，求出tanα的值，再求α的值．
解答：解：由三角函数的定义可知tanα==
=4cos2θ﹣2=﹣1
因为α是钝角，所以α=
故选D．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系，考查计算能力，是基础题．
3、若2sinθ=﹣3cosθ，则2θ的终边所在象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：由2sinθ=﹣3cosθ得tanθ，进一步求出sin2θ和cos2θ，由它们的符号来判断2θ的终边所在象限．
点评：三角函数值符号的确定，可以利用定义、利用三角函数的值的符号、利用象限、利用三角函数线、利用终边相同等方法．
4、化简的结果是（ ）21世纪教育网
A、cos5+sin5 B、﹣cos5﹣sin521世纪教育网版权所有
C、cos5﹣sin5 D、﹣cos5+sin521cnjy21*cnjy*com
考点：三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：先将根式化简，再根据三角函数值的范围，可求得结果．
解答：解：由题意，，由于sin5＜0，cos5＞0，sin5+cos5＜0，∴，
故选B．
点评：本题主要考查同角三角函数的关系，考查三角函数值的符号，属于基础题．
5、函数的值域是（ ）
A、[﹣] B、[﹣1，0]
C、[﹣] D、[﹣]
考点：同角三角函数间的基本关系；函数的值域。
分析：根据特殊值代入法进行逐一排除．
解答：解：特殊值法，sinx=0，cosx=1则f（x）=淘汰A，
令得当时sinx=﹣1时所以矛盾f（x）≠淘汰C，
同理，令得cosx=，当sinx=1时，cosx=，不满足条件，淘汰D，
故选B．
点评：主要考查对任意角x满足sin2x+cos2x=1．
6、已知，则=（ ）
A、2 B、﹣2
C、3 D、﹣3
考点：同角三角函数间的基本关系。
分析：先由cos2α=cos2α﹣sin2α对进行化简，再分子分母同时除以cosα，即可得答案．
解答：解：∵，=．21世纪教育网
故选C．21cnjy21*cnjy*com
点评：本题主要考查tanα=，是高考中常见的一种题型．21世纪教育网版权所有
7、已知，且，则tanφ=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、﹣ D、
考点：同角三角函数间的基本关系。
分析：先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的范围确定cosφ的值，最终得到答
三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要我们对所涉及的内容均要熟练掌握
8、若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系。
分析：根据（sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．
解答：解：由sin2A=2sinAcosA＞0，可知A这锐角，
所以sinA+cosA＞0，
又，
故选A．
点评：考查同角三角函数间的基本关系．
9、已知是第二象限角，则tanx=（ ）
A、 B、
C、 D、﹣
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：根据角的正弦值以及角在第二象限，求出余弦值，利用 tanx=求出tanx的值．
解答：解：∵是第二象限角，∴cosx=﹣=﹣，
∴tanx==﹣21cnjy，21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查三角函数在各个象限内的符号，同角三角函数基本关系的应用．
10、化简=（ ）
A、sin4+cos4 B、﹣sin4﹣cos42121*cnjy*com世纪教育网版权所有
C、sin4 D、cos4
考点：同角三角函数间的基本关系；三角函数值的符号。
11、若cosα=，α∈（﹣，0），则tanα=（ ）
A、﹣ B、
C、﹣﹣2 D、2
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：利用同角三角函数的基本关系，由cosα及α的范围求出sinα，从而求出tanα．
解答：解：∵cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，
∴tanα==﹣2，
故选 C．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，求出sinα值是解题的关键，注意sinα 的符号．
12、已知cosx=﹣，x∈（π，），则tanx等于（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：根据同角三角函数的基本关系求出 sinx=﹣，由 tanx=求得结果．
解答：解：∵cosx=﹣，x∈（π，），∴sinx=﹣，∴tanx==，
故选D．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，要特别注意符号的选取，求出 sinx=﹣，是解题的关键．
13、已知sinα+cosα=﹣，且α∈（，π），则tanα=（ ）
A、﹣ B、﹣2121cnjy世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：由sinα+cosα=﹣，两边平方得sinacosa=﹣＜0．所以sinα，cosα是方程的两个实根，由a在第2像限，求得sinα=，cosα=﹣，由此能求出tanα的值．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的应用，易错点是三角函数的符号容易出错．
14、若α为第二象限角，则=（ ）
A、2sin2α B、﹣2cos2α
C、0 D、2
考点：同角三角函数间的基本关系；三角函数值的符号。
专题：计算题。
分析：利用同角三角函数间的基本关系，根据α为第二象限角，确定正负号，从而得解．
解答：解：由题意，=cotα（﹣tanα）+cosα（﹣cosα）+sinαsinα=﹣2cos2α，
故选B．
点评：本题的考点是同角三角函数间的基本关系，主要考查利用同角三角函数间的基本关系，应注意正负号的确定．
15、已知θ为第二象限角，且sinθ+cosθ=，那么tanθ=（ ）
A、﹣或﹣ B、﹣
C、﹣ D、﹣
考点：同角三角函数间的基本关系。21cnjy21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网
分析：通过θ为第二象限角，且sinθ+cosθ=，利用平方关系，确定sinx﹣cosx＞0，求出sinx﹣cosx的值，求解sinx，cosx，得到tanx的值．21世纪教育网版权所有
点评：本题是基础题，解题方法规范、典型；考查利用诱导公式化简求值，本题是选择题，判定象限三角函数的符号，以及θ为第二象限角，且sinθ+cosθ=，容易知道sinx=，cosx=﹣，求出tanx=﹣，此外还有、一组数据关系，都是满足勾股定理．灵活记忆，在解选择题，填空题是省时省力．
16、已知，其中0＜a＜1，x∈（0，π），则cosx的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：由已知的cotx，利用倒数关系tanxcotx=1，表示出tanx，根据a的范围及x的范围，判断得到tanx的值小于0，进而确定出x的具体范围，得到cosx的值小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系弦化切把cos2x进行变形，得到关于tanx的关系式，把tanx的值代入表示出cos2x，由cosx值小于0，开方可表示出cosx．
解答：解：由cotx==，得到tanx=，
∵0＜a＜1，x∈（0，π），
∴tanx=＜0，
∴x∈（，π），21世纪教育网
又cos2x===，21世21*cnjy*com纪教育网版权所有
∴cosx=．21cnjy
故选C
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，涉及的基本关系有倒数关系，即tanxcotx=1，cosx=，以及平方关系sec2x=tan2x+1，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．
17、若，则tanθ+cotθ的值为（ ）
A、2 B、﹣1
C、1 D、﹣2
18、已知在△ABC中，，则sinA的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：在三角形中，sinA一定大于零，利用同角三角函数基本关系式通过解方程即可解得sinA的值
解答：解：∵在△ABC中，A∈（0，π），∵，∴A∈（，π）
∵，∴=，∴=
∴sin2A=
∴sinA=．
故选B．
点评：本题考察了同角三角函数基本关系式及其应用，已知角的正切值求角的其他三角值的方法
19、若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先根据sinθ=﹣，tanθ＞0确定θ所在的象限，再由cosθ=﹣可求得最后答案．
解答：解：由已知，θ在第三象限，21cnjy
∴cosθ=﹣，
故选A．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系．考查基础知识的掌握程度．
二、填空题（共5小题）
20、函数的值域为 [﹣，] ．
考点：函数的值域；同角三角函数间的基本关系。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先将的化成cosx﹣ysinx=2y，再利用三角函数的和角公式化成：cos（x+θ）=2y，最后利
点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，属于求三角函数的最值问题，属于中档题．
21、定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）=﹣f（x）．若tanα=2，则f（15sinαcosα）的值为 0 ．
考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：先求出函数的周期，然后根据同角三角函数关系求出15sinαcosα的值，利用周期性进行化简，最后根据奇函数的性质进行求解．
解答：解：∵对于任意x∈R有f（x+3）=﹣f（x）．
∴f（x+6）=f（x）即T=6
∵tanα=2
∴15sinαcosα=6即f（15sinαcosα）=f（6）=f（0）
∵定义在R上的奇函数f（x）
∴f（0）=0即f（15sinαcosα）=f（6）=f（0）=0
故答案为0
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数的周期性和同角三角函数间的基本关系等有关知识，属于基础题．
22、设f（sinα+cosα）=sinαcosα，则f（0）+f（1）的值为 ．21世纪教育网版权所有
考点：函数的值；同角三角函数间的基本关系。221cnjy 1世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：本题主要是利用同角的三角函数的基本关系，根据sinα+cosα与sinαcosα的关系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα进行求解即可．21*cnjy*com
点评：本题考查了函数的值，但阶梯的关键在于利用同角的三角函数的基本关系进行求解，属于基础题．
23、若，则cosx﹣sinx= ．
考点：对数的运算性质；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：由已知中，由对数的运算性质我们可得sinx+cosx=，利用平方法，可先后求出2sinx?cosx值和（cosx﹣sinx）2值，进而根据，我们可以确定cosx﹣sinx的符号，进而得到答案．
解答：解：∵
∴sinx+cosx=
∴（sinx+cosx）2=1+2sinx?cosx=
∴2sinx?cosx=
∴（cosx﹣sinx）2=1﹣2sinx?cosx=1﹣=
又∵
∴cosx＞sinx
∴cosx﹣sinx=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，其中利用平方法先后求出2sinx?cosx值和（cosx﹣sinx）2值，是解答的关键，本题易忽略的限制，而错解为±
24、若tanα=2，则= ．21cnjy
考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系。21*cnjy*com 21世纪教育网
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分析：把的分子分母同除以cosα，cos2α化为它的分子分母同除以cos2α，然后
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系，考查计算能力，是基础题．
三、解答题（共4小题）
25、已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程的两根，求sin3θ+cos3θ及的值．
考点：根与系数的关系；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ=，根据θ∈（0，π），再结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出tanθ和sin3θ+cos3θ的值即可得到结果．
解答：解：∵sinθ，cosθ 是方程5x2﹣x﹣=0的两根，
∴sinθ+cosθ=，θ∈（0，π ），
sinθ cosθ=﹣＜0．
解得x1=，x2=﹣．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=，cosθ=﹣．
则tanθ=﹣，得到=﹣﹣=﹣
sin3θ+cos3θ=．
点评：本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是根据所给的角的范围，求出一元二次方程的两个根，本题是一个中档题目．
26、sinα，cosα为方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个实根，，求m及α的值．
考点：根与系数的关系；同角三角函数间的基本关系。21世纪教育网
专题：计算题。21cnjy
分析：通过根与系数的关系，得到正弦和余弦之间的关系，又由正弦和余弦本身有平方和为1的关系，代入求解，注意角是第四象限角，根据角的范围，得到结果．2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
点评：本题考查根与系数的关系与同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是需要自己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式，然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置求出结果，本题是一个中档题目．
27、如图，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．
（1）若∠PAT=θ，试写出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并写出定义域；
（2）试求停车场的面积最大值．
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考点：函数模型的选择与应用；同角三角函数间的基本关系。
专题：综合题。
分析：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），则AM=90cosθ，MP=90sinθ，PQ=100﹣cosθ，PR=100﹣90sinθ．由SPQCR=PQ?PR能求出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并能写出定义域．
（2）设t=cosθ+sinθ．由0°≤θ≤90°，知，由此能求出停车场面积的最大值．
解答：解：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），
则AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100﹣cosθ，PR=100﹣90sinθ．
∴SPQCR=PQ?PR=（100﹣90cosθ）（100﹣90sinθ）
=10000﹣9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤}．
（2）设t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴=．
∴当时，SPQCR有最大值．221*cnjy*com 1cnjy
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为平方米．
点评：本题考查函数在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分析数量间的相互关系，合理地建立方程．易错点是忽视数学表达式在生产实际中的定义域的范围．
28、已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（1，2）．
（I）求tan（π﹣α）的值；21世纪教育网
（II）求的值．21世纪教育网版权所有21世纪教育网
点评：求已知角的终边上的点，求三角函数的值，一般是利用三角函数的定义求；求关于正弦、余弦的同次三角函数式子的值，一般分子、分母同时除以cosα转化为关于正切的三角函数式子，再求值．
