任意角的三角函数定义
一、选择题（共19小题）
1、若是（ ）21世纪教育网版权所有
A、第一象限角 B、第二象限角21世纪教育网
C、第三象限角 D、第四象限角
2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是．（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、不确定21世纪教育网版权所有
3、在圆x2+y2=1上等可能的任取一点A，以OA（O为坐标原点）为终边的角为a，则使sina≥的概率为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、
4、若角α的终边过点P（2a，3a）（a≠0），则下列不等式正确的是（ ）
A、sinα?tanα＜0 B、sinα?cosα＜0
C、cosα?tanα＜0 D、sinα?cosα＞0
5、已知锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2，﹣2cos2），则α=（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、
6、已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k） （k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（ ）
A、 B、﹣
C、或﹣ D、随着k的取值不同其值不同
7、已知，且角θ在第一象限，那么2θ是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
8、设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是（ ）
A、cosα＜cosβ B、tanα＜tanβ
C、cotα＞cotβ D、secα＜secβ
9、已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，则tanθ=（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、1
11、角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A、 B、
C、﹣ D、﹣
12、若角θ的终边过点P（﹣4a，3a）（a≠0），则sinθ+cosθ等于（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、不能确定，与a的值有关21世纪教育网版权所有
13、已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cosθ=（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、21*cnjy*com
14、已知α的终边过点P（1，﹣2），则sinα的值是（ ）
A、 B、﹣
C、 D、
15、已知，且x在第三象限，则cosx=（ ）
A、 B、
C、 D、
16、已知角a的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sina+cosa的值是（ ）
A、1或﹣1 B、或﹣
C、1或﹣ D、﹣1或
17、角α的终边在射线y=2x（x＜0）上，则sinα等于（ ）
A、 B、
C、 D、
18、若已知角α的终边上有一点P（3a，4a），其中a≠0，则sinα=（ ）
A、 B、
C、 D、
19、角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a≠0），则sinα的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
20、已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且0≤θ≤2π，则θ= _________ ．
21、若角α终边在直线y=2x上，则sinα= _________ ，cosα= _________ ，tanα= _________ ．
22、已知角α的终边经过点P（3，），则与α终边相同的角的集合是 _________ ．
23、下列命题正确的有 _________ ．21世纪教育网
①若﹣＜α＜β＜，则α﹣β范围为（﹣π，π）．②若α在第一象限，则在一、三象限．③若sinθ=，，则m∈（3，9．）④=，=，则θ在三象限．21*cnjy*com 21cnjy
24、若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα= _________ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共5小题）
25、设函数f（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a≠0）的最大值为m，最小值为n．
（1）求m，n的值（用a表示）．
（2）若角θ的终边经过点P（m﹣1，n+3），求sinθ+cosθ+tanθ的值．
26、如图所示动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长．
27、已知角α的终边经过点P（a，2a）（a≠0），求角α的正弦、余弦、正切值．
28、已知α的始边为x轴非负半轴，终边在直线y=kx上，若sinα=，且cosα＜0，求实数k．
29、设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，求sinα与tanα的值．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、若是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角21世纪教育网
考点：指数函数的单调性与特殊点；象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：先判断sinα、cosα的符号，从而确定α所在的象限．21世纪教育网版权所有
解答：解：由题意得：sin2α＞0，21cnjy
∵sinα＜0，
∴cosα＜0，21*cnjy*com
∴α在第三象限，
故答案选 C．
点评：本题考查函数的单调性，三角函数在各个象限里的符号．
2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是．（ ）
A、 B、
C、 D、不确定
点评：本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m的界点来．
3、在圆x2+y2=1上等可能的任取一点A，以OA（O为坐标原点）为终边的角为a，则使sina≥的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：几何概型；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件sina≥的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．
解答：解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．
画出单位圆，如图，
根据题意可得，满足条件：“sina≥”对应的弧，
其构成的区域是个圆：，
则使sina≥的概率为P==．21cnjy21*cnjy*com
故选C．
21世纪教育网版权所有
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．21世纪教育网
4、若角α的终边过点P（2a，3a）（a≠0），则下列不等式正确的是（ ）
A、sinα?tanα＜0 B、sinα?cosα＜0
C、cosα?tanα＜0 D、sinα?cosα＞0
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：知点P横纵坐标同号，可判断α在第一或第三象限，在这两种情况下都可知sinα，cosα，的正负，可选出选项．
点评：本题考查任意角三角函数的定义，根据定义要得出三角函数在各个象限的符号，记法，一全正，二正弦，三正切，四余弦．
5、已知锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2，﹣2cos2），则α=（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题；综合题。
分析：利用任意角的三角函数，直接求出α的正切值，再求α．
解答：解：锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2，﹣2cos2），tanα=
=tan（），所以α=．
故选C．
点评：本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的定义，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．
6、已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k） （k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（ ）
A、 B、﹣
C、或﹣ D、随着k的取值不同其值不同21*cnjy*com 21cnjy
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．
解答：解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），
∴r==5|k|=﹣5k，
∴sinθ==﹣，21世纪教育网版权所有
cosθ==，
∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣
故选B．
点评：本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．
7、已知，且角θ在第一象限，那么2θ是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
8、设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是（ ）
A、cosα＜cosβ B、tanα＜tanβ
C、cotα＞cotβ D、secα＜secβ
考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义。
专题：作图题；数形结合。
分析：画出单位圆，画出α，β终边，不难判断选项的正误．
解答：解：作出α，β的终边，以及单位圆如图，由三角函数线可知sinα＜sinβ，cosα＜cosβ＜0
容易判断A正确，
故选A．
21世纪教育网
点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，考查推理能力，利用单位圆或特殊值法，也可以解答本题．21世纪教育网版权所有
9、已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）21*cnjy*com
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网
考点：任意角的三角函数的定义。
分析：根据等腰△ABC的腰为底的2倍，可先求出tan，进而根据二倍角的正切公式可得答案．
10、已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，则tanθ=（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、1
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：先求出点P的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanθ 的值．
解答：解：∵sin=，cos=﹣，
∴点P的坐标为（，﹣），
由任意角的三角函数的定义得tanθ===﹣1，
故选 C．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，以及特殊角的三角函数值，属于容易题．
11、角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A、 B、
C、﹣ D、﹣
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：先求出 x=﹣1，y=2，r=，利用cosα的定义，求出cosα的值．
解答：解：∵角α的终边过点（﹣1，2），
∴x=﹣1，y=2，r=，cosα===﹣，
故选D．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．
12、若角θ的终边过点P（﹣4a，3a）（a≠0），则sinθ+cosθ等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21世纪教育网
C、 D、不能确定，与a的值有关21cnjy
考点：任意角的三角函数的定义。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由题意可得 x=﹣4a，y=3a，r=5|a|，当a＞0时，r=5a，代入sinθ+cosθ=进行运算，当a＜0时，r=﹣5a，代入sinθ+cosθ=进行运算，综合两者可得答案．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．求出r值，是解题的关键．
13、已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cosθ=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：根据题意，求出点到坐标原点的距离，利用三角函数的定义求出cosθ的值．
解答：解：已知角θ的终边过点（4，﹣3），所以点到坐标原点的距离为：5；
根据三角函数的定义可知：cosθ=；
故选A
点评：本题考查三角函数的定义，求出终边上的点到原点的距离，注意定义的应用不会出错．
14、已知α的终边过点P（1，﹣2），则sinα的值是（ ）
A、 B、﹣
C、 D、
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：由题意可得x=1，y=﹣2，r=，根据sinα=运算求得结果．
解答：解：由题意可得x=1，y=﹣2，r==，
∴sinα===﹣．21cnjy21*cnjy*com
故选：B．
点评：本题考查任意角的正弦函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
15、已知，且x在第三象限，则cosx=（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
点评：本题是基础题，考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式的应用，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
16、已知角a的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sina+cosa的值是（ ）
A、1或﹣1 B、或﹣
C、1或﹣ D、﹣1或
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：求出OP的距离r，对m＞0，m＜0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sina和cosa的值，然后再求2sina+cosa的值，可得结果．
解答：解：，
当m＞0时，，；
当m＜0时，，．
故选B．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，考查计算能力，是基础题．
17、角α的终边在射线y=2x（x＜0）上，则sinα等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：任意角的三角函数的定义；任意角的概念。
专题：计算题。
分析：先求射线的正切，利用和三角函数的基本关系式，求出sinα即可．
解答：解：由题意tanα=2，即：
因为角α的终边在射线y=2x（x＜0）上，21cnj21*cnjy*com y
所以sinα=
故选A
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的概念，考查计算能力，是基础题．
18、若已知角α的终边上有一点P（3a，4a），其中a≠0，则sinα=（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网21cnjy
点评：本题考查任意角的三角函数求值，按照定义直接计算即可．本题须对a的正负讨论，否则容易误选B．
19、角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a≠0），则sinα的值是（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：求出OP的距离，利用任意角的三角函数的定义，求出sinα的值即可．
解答：解：因为角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a≠0），
所以OP=5|a|，
由任意角的三角函数的定义可知，sinα=，
当a＞0时，sinα=；
当a＜0时，sinα=；
所以sinα=；
故选C．
点评：本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，注意a的值的符号，是解题的关键，考查计算能力．
二、填空题（共5小题）
20、已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且0≤θ≤2π，则θ= ．
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题；综合题。21*cnjy*com
分析：利用三角函数定义，求出sinθ的值，然后推出θ的值．
解答：解：∵θ∈[0，2π），根据三角函数定义可知：sinθ=cos=sin（2π+﹣）=sin，
∴θ=．21世纪教育网版权所有
故答案为：21世纪教育网
点评：本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的定义；可以化简P的坐标，求出θ；是基础题．
21、若角α终边在直线y=2x上，则sinα= ，cosα= ，tanα= 2 ．21cnjy
点评：本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的定义，计算能力，是基础题．
22、已知角α的终边经过点P（3，），则与α终边相同的角的集合是 {x|x=2kπ+，k∈Z} ．21cnjy
考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：根据角的终边经过的一个点的坐标，求出此角的正切值，在[0，2π）内求得一个角α 为，由终边相同的角的性质，分析可得答案．
解答：解：∵角α的终边经过点P（3，），则角α的终边在第一象限，且此角的正切值等于，
故满足条件的锐角是，
则与α终边相同的角的集合是 {x|x=2kπ+，k∈Z}，
故答案为{x|x=2kπ+，k∈Z}．
点评：本题考查任意角得三角函数的定义，终边相同的角的表示方法．
23、下列命题正确的有 ②④ ．
①若﹣＜α＜β＜，则α﹣β范围为（﹣π，π）．②若α在第一象限，则在一、三象限．③若sinθ=，，则m∈（3，9．）④=，=，则θ在三象限．
考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义。
专题：阅读型。
分析：①直接利用不等式的性质化简，即可判定正误；
②根据半角的取值范围，判定是正确的．
③利用三角函数的基本关系，化简求出m的值，判定它的正误．
④确定的范围，然后确定θ的范围．21*cnjy*com
解答：解：∵若﹣＜α＜β＜，则α﹣β范围为（﹣π，0）∴①错
②根据半角的取值范围，判定是正确的．
③∵若sinθ=，，则m∈（3，9）
又由sin2θ+cos2θ=1得m=0或m=821世纪教育网
∴m=8
故③错，④根据的范围，判定θ的范围，是正确的．21cnjy 21世纪教育网版权所有
故答案为：②④
点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
24、若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα= ．
点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的符号，是本题解答的关键．
三、解答题（共5小题）21cnjy
25、设函数f（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a≠0）的最大值为m，最小值为n．
（1）求m，n的值（用a表示）．
（2）若角θ的终边经过点P（m﹣1，n+3），求sinθ+cosθ+tanθ的值．
考点：函数的最值及其几何意义；终边相同的角；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：（1）配方得出最大值与最小值在何处取到，用参数a表示出最大值m，最小值n．
（2）由题设条件得出点P的坐标，用P的坐标以及P到原点的距离，根据知直线上一点求三角函数的方法求出角θ的三个三角函数值．
解答：解：（1）可得f（x）=﹣（x﹣1）2+1+a，而0≤x≤3，
∴m=f（1）=1+a，n=f（3）=﹣3+a；
（2）由（1）知角θ的终边经过点P（a，a），
①当a＞0时，，
得，，，
∴；
②当a＜0时，，21cnjy
得，，，
∴．
点评：本小题的考点是二次函数的最值，三角函数的定义，解题中能否观察出点P的坐标的形式也很重要．
26、如图所示动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长．
21世纪教21cnjy育网版权所有
考点：弧长公式；任意角的三角函数的定义。21*cnjy*com 21世纪21cnjy教育网
专题：计算题。
分析：根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式及l=αR求出两个点走过的弧长．
点评：本题考查了圆周运动的问题，认真分析题意列出方程，即第一次相遇时两个动点走过的弧长和是圆周，这是解题的关键，考查了分析和解决问题的能力．
27、已知角α的终边经过点P（a，2a）（a≠0），求角α的正弦、余弦、正切值．
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：由a＞0，a＜0，判断出角α的终边所在象限，就两个不同的象限根据三角函数的定义分开来求角α的三个三角函数．
解答：解：r===|a|，
（1）若a＞0，则角α的终边落在第一象限，
r=a，sinα==，
cosα==，tanα==2，21世纪教育网
（2）若a＜0，则角α的终边落在第三象限，21*cnjy*com
r=﹣a，sinα=﹣=﹣，21cnjy21cnjy
cosα=﹣=﹣，tanα==221世纪教育网版权所有
点评：考查任意角的三角函数的定义，注意分类讨论，是基础题．
28、已知α的始边为x轴非负半轴，终边在直线y=kx上，若sinα=，且cosα＜0，求实数k．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，关键是根据角的终边所在的象限，判断α的终边上点的坐标的符号，从而判断某些待定系数的符号．
29、设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，求sinα与tanα的值．
考点：任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：先根据条件判断 x＜0，由余弦函数的定义求得x值，根据sinα、tanα 的定义求出它们的值．
解答：解：∵90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，∴x＜0，
∴OP=r=，cosα=x==，解得 x=﹣．∴OP=2，
∴sinα===，tanα===﹣．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出x 值，是解题的关键．
