同角三角函数基本关系的运用
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、函数f（x）=（0≤x≤2π）的值域是（ ）
A、[﹣] B、[﹣]21世纪教育网
C、[﹣] D、[﹣]21世纪教育网版权所有
2、如果最小值是（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、21*cnjy*com
3、已知A为锐角，lg（1+cosA）=m，lg=n，则lgsinA的值为（ ）
A、m+ B、m﹣n21cnjy21*cnjy*com
C、（m+） D、（m﹣n）21*cnjy*com
4、如果α是第一象限的角，且的象限（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
5、若α为第三象限，则的值为（ ）
A、3 B、﹣3
C、1 D、﹣1
6、若所在的象限是（ ）
A、第二象限 B、第四象限
C、第二象限或第四象限 D、第一或第三象限
7、已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（ ）
A、cosθ B、﹣cosθ
C、±cosθ D、以上都不对
8、若，则tanα=（ ）
A、 B、2
C、 D、﹣2
9、函数y=（sinx+cosx）2+1的最小正周期是（ ）
A、 B、π
C、 D、2π
10、（tanx+cotx）cos2x=（ ）
A、tanx B、sinx21世纪教育网版权所有
C、cosx D、cotx
11、已知，则=（ ）
A、2 B、﹣2
C、3 D、﹣321世纪教育网
12、已知，A∈（0，π），则sinA+cosA=（ ）
A、 B、
C、 D、
13、已知=3，则cosα=（ ）
A、 B、﹣21*cnjy*com
C、 D、﹣21cnjy21*cnjy*com
14、设，若，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
15、已知=﹣5，那么tanα的值为（ ）
A、﹣2 B、2
C、 D、﹣
16、已知tana=﹣，且tan（sina）＞tan（cosa）则sina的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
17、已知sinα+cosα=，则tanα+cotα等于（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、1 D、2
18、在锐角三角形△ABC中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x，y的大小关系是（ ）
A、x≤y B、x＜y
C、x≥y D、x＞y
19、已知tanx=sin（x+），则sinx=（ ）
A、 B、
C、 D、
20、若sinθ+sin2θ=1，则cos2θ+cos6θ+cos8θ的值等于（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、21世纪教育网
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1，cosx﹣sinx=，若t=，则f（t）= _________ ．
22、若α为第二象限角，则= _________ ．
23、已知cosA+sinA=﹣，A为第二象限角，则tanA= _________ ．21cnjy
24、已知，，则tanα= _________ ．21*cnjy*com
25、已知sina=cos2a （a∈（，π）），则tga= _________ ．21*cnjy*com
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，tanA，tanB，tanC成等差数列，且f（tanC）=cos2A，求f（x）的表达式．
27、函数f（x）=﹣sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
28、如图：A，B是圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，已知A（﹣3，4），且点B在劣弧CA上，△AOB为正三角形．
（1）求cos∠COA；
（2）求|BC|的值．
29、已知：角α终边上一点，且，求cosα，tanα．
30、设，化简．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、函数f（x）=（0≤x≤2π）的值域是（ ）
A、[﹣] B、[﹣]21世纪教育网版权所有
C、[﹣] D、[﹣]21世纪教育网
考点：函数的值域；同角三角函数基本关系的运用。21*cnjy*com
分析：本小题主要考查函数值域的求法，表达式中存在sinx和cosx两个不同的三角函数名需要统一为一个变量．
解答：解析：令，则，
当0≤x≤π时，，所以
当且仅当时取等号．同理可得当π＜x≤2π时，，
综上可知f（x）的值域为，21cnjy21*cnjy*com
故选C
点评：sin2x+cos2x=1在三角部分是恒定存在的式子，应用非常广泛，但要注意其范围（sinx和cos均为[﹣1，1]）的限制．
2、如果最小值是（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、
考点：函数的值域；同角三角函数基本关系的运用。
分析：由|x|，可进一步得到sinx的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．
点评：本题有两点值得注意：
（1）sin2x+cos2x=1
（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．
3、已知A为锐角，lg（1+cosA）=m，lg=n，则lgsinA的值为（ ）
A、m+ B、m﹣n21cnjy
C、（m+） D、（m﹣n）21世纪教育网版权所有
考点：对数的运算性质；同角三角函数基本关系的运用。21世纪教育网
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：把两个等式相减，根据对数函数的运算性质lga﹣lgb=lg化简，因为A为锐角，根据同角三角函数间的基本关系得到lgsinA的值即可．
点评：此题是一道基本题，考查学生掌握对数函数的运算性质，以及利用同角三角函数间的基本关系化简求值．学生做题时应注意考虑角度的范围．
4、如果α是第一象限的角，且的象限（ ）
A、第一象限 B、第二象限21*cnjy*com
C、第三象限 D、第四象限
考点：象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识是象限角的判断，及同角三角函数关系的运用，我们根据=，易得，，进而得到，，根据三角函数在各象限中的符号，我们易判断为哪个象限的角．
解答：解：∵
=
=
=
则，
∴，
则为第一象限的角
故选A
点评：要判断未知角是哪个象限的解，我们主要的方法是，根据三角公式，进行变换，得到该角的至少两个三角函数的符号，再根据各种函数在各象限的符号问题，进行判断．
5、若α为第三象限，则的值为（ ）21cnjy
A、3 B、﹣321世纪教育网
C、1 D、﹣121世纪教育网版权所有
考点：象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：对于根号内的三角函数式，通过平方关系sin2α+cos2α=1，去掉根号，注意三角函数值的正负号，最后化简即得．
解答：解：∵α为第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0
则．
故选B．
点评：本题考查三角函数的同角公式，同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系和商数关系，它反映了同一个角的不同三角函数间的联系，其精髓在“同角”．
6、若所在的象限是（ ）21*cnjy*com
A、第二象限 B、第四象限
C、第二象限或第四象限 D、第一或第三象限
点评：本题考查象限角、轴线角，同角三角函数基本关系的运用，考查逻辑思维能力，是基础题．
7、已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（ ）21*cnjy*com
A、cosθ B、﹣cosθ
C、±cosθ D、以上都不对
考点：三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：利用题设条件可推断出θ为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．
解答：解：∵sinθ＜0，tanθ＞0
∴θ为第三象限角
∴=|cosθ|=﹣cosθ
故选B
点评：本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题．考查了基础知识的灵活运用．
8、若，则tanα=（ ）
A、 B、221cnjy
C、 D、﹣221世纪教育网
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．21世纪教育网版权所有
点评：同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．熟记这几个公式是能应用的前提，把它们分为三类记住．
9、函数y=（sinx+cosx）2+1的最小正周期是（ ）21*cnjy*com
A、 B、π
C、 D、2π
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：先将原函数进行化简，再求周期．21*cnjy*com
解答：解：∵y=（sinx+cosx）2+1=sin2x+2，
故其周期为．
故选B．
点评：本题主要考查正弦函数周期的求解．
10、（tanx+cotx）cos2x=（ ）
A、tanx B、sinx
C、cosx D、cotx
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．
解答：解：∵=
故选D；
点评：将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．
11、已知，则=（ ）
A、2 B、﹣2
C、3 D、﹣3
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．
解答：解：∵
故选C．
点评：本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．
12、已知，A∈（0，π），则sinA+cosA=（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：根据sin2A=2sinAcosA，A∈（0，π），可确定角A的范围，再对sinA+cosA进行平方可得答案．
解答：解：由sin2A=2sinAcosA=＞0，又A∈（0，π）．
所以A∈（0，），所以sinA+cosA＞021世纪教育网
又（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA=
故选A．21*cnjy*com
点评：本题主要考查三角函数的二倍角公式的应用．注意角的取值范围给结果带来的影响．
13、已知=3，则cosα=（ ）
A、 B、﹣21*cnjy*com
C、 D、﹣
14、设，若，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：由α的范围，根据同角三角函数间的基本关系由sinα的值求出cosα，把所求的式子根据两角和的余弦函数公式化简后，将sinα和cosα代入即可求出值．
解答：解：∵，，∴，
原式==
故选A
点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，做题时注意角度的范围．
15、已知=﹣5，那么tanα的值为（ ）
A、﹣2 B、221世纪教育网
C、 D、﹣21世纪教育21cnjy网版权所有
考点：同角三角函数基本关系的运用。
分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，
点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
16、已知tana=﹣，且tan（sina）＞tan（cosa）则sina的值为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21*cnjy*com
考点：同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：先根据tan（sina）＞tan（cosa）判断出sinα＞cosα，进而根据tana＜0判断出sinα＞0，最后利用同角三角函数的基本关系sinα=求得答案．
解答：解：∵tan（sina）＞tan（cosa）
∴sinα＞cosα
∵tana=﹣＜0
∴sinα?cosα＜0
∴sinα＞0
∴sinα===
故选B
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．考查了三角函数之间的平方关系和倒数关系．
17、已知sinα+cosα=，则tanα+cotα等于（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、1 D、2
考点：同角三角函数基本关系的运用。21世纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由已知中sinα+cosα=，两边平方后，根据sin2α+cos2α=1，可求出sinα?cosα=，将tanα+cotα切化弦并通分后，结合sinα?cosα=，即可得到答案．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系的运用，其中sin2α+cos2α=1，在三角函数求值，化简中具有重要作用，是三角函数中最重要的公式之一．21cnjy
18、在锐角三角形△ABC中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x，y的大小关系是（ ）
A、x≤y B、x＜y
C、x≥y D、x＞y21*cnjy*com
考点：同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：将两数作差，利用两角和的余弦公式及三角形的内角和为π化简差，据三角形为锐角三角形求出差的符号，得两数的大小．
解答：解：∵y﹣x=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC
又∵△ABC为锐角三角形
∴∠C∈（0，）
∴cosC∈（0，1）
∴y﹣x＜0即y＜x
故选项为D
点评：本题考查作差比较两数的大小；同时考查两角和的余弦公式及三角形的内角和为π．
19、已知tanx=sin（x+），则sinx=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：利用诱导公式和同角三角函数基本关系，把题设等式转化成关系sinx的一元二次方程求得sinx的值．
解答：解：∵tanx=sin（x+），
∴tanx=cosx，
∴sinx=cos2x，
∴sin2x+sinx﹣1=0，解得sinx=（或＜﹣1，舍去）．
故选C
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的关键是能熟练掌握同角三角函数中的平方，倒数，商数等特殊关系．
20、若sinθ+sin2θ=1，则cos2θ+cos6θ+cos8θ的值等于（ ）
A、0 B、121世纪教育网
C、﹣1 D、21cnjy
考点：同角三角函数基本关系的运用。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据同角三角函数的基本关系可知sin2θ+cos2θ=1代入如题设条件中求得sinθ=cos2θ，代入cos2θ+cos6θ+cos8θ
二、填空题（共5小题）21*cnjy*com
21、y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1，cosx﹣sinx=，若t=，则f（t）= ﹣1 ．
考点：函数奇偶性的性质；函数的值；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：由cosx﹣sinx=，利用辅助角公式易得cos（x+）=，代入易求t的值，又由y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，则f（x）是一个周期为6的周期函数，结合f（1）=1即可求出f（t）的值．
解答：解：∵cosx﹣sinx=，
∴cos（x+）=
又∵sin2x=，
∴=7．
又∵函数y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，
∴f[]=f（7）=f（3+4）=f（3﹣4）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．
点评：利用函数的周期性解题要注意：对于任意实数x，①若f（x+T）=f（x），则T为函数的周期；②若f（x+T）=﹣f（x），则2T为函数的周期；③若（a，y），（b，y）分别为函数的两个对称中心则T=2|（a﹣b）|④对于任意，则T=2⑤若（a，y）为函数的对称中心，x=b为函数的对称轴，则T=4|（a﹣b）|
22、若α为第二象限角，则= ﹣2cos2α ．
考点：象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：利用同角三角函数的平方关系，化简题中式子中根号里的式子，去掉根号，即可达到化简的目的．
解答：解：原式=cotα（﹣tanα）+cosα（﹣cosα）+sinαsinα=1﹣cos2α+sin2α=﹣2cos2α．
故填：﹣2cos2α．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查三角函数的同角公式，同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系：；商数关系：，它反映了同一个角的不同三角函数间的联系，其精髓在“同角”．
23、已知cosA+sinA=﹣，A为第二象限角，则tanA= ． ．
考点：象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。21世纪教育网21cnjy
分析：已知cosA+sinA=﹣，平方可得cosAsinA的值，从而可求得cosA﹣sinA，结合已知条件求得cosA，sinA，最
点评：解题的关键是利用平方关系 sin2A+cos2A=1，找出sinA+cosA与sinA﹣cosA之间的关系，使得解题简洁，富有创意．解题时应注意三角函数符号的确定，从而求出三角函数式的值．
24、已知，，则tanα= ﹣2 ．21*cnjy*com
考点：同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用。
分析：根据α的范围，先求它的余弦，再求它的正切．
解答：解：由，所以cosa=﹣，所以tanα=﹣221*cnjy*com
故答案为：﹣2
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系及其应用，注意角的范围，是基础题．
25、已知sina=cos2a （a∈（，π）），则tga= ．
考点：同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：利用二倍角公式解出sinα，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα，由tanα=求出tanα的值．
解答：解：∵sina=cos2a （a∈（，π）），
∴sina=1﹣2sin2α，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），
∴cosα=﹣，∴tanα==﹣，
故答案为：﹣．21*cnjy*com
点评：本题考查二倍角的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，tanA，tanB，tanC成等差数列，且f（tanC）=cos2A，求f（x）的表达式．
考点：函数解析式的求解及常用方法；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。221世纪教育网1世纪教育网版权所有
分析：由于在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，由此得到A与C的关系等式，再有f（tanC）=cos2A利用换元法即可求f（x）的表达式．
解答：解：∵在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，
∴2tan[π﹣（A+C）]=tanA+tanC??tanAtanC=3?①
有因为f（tanC）=cos2A?f（tanC）=②，
把①代入②得：f（tanC）=，令t=tanC，则f（t）=，
所以f（x）的解析式为：f（x）=．21cnjy
点评：此题考查了三角形的内角和为π，两角和的正切展开式，万能公式，换元法求函数解析式．
27、函数f（x）=﹣sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题；整体思想。
分析：本题是整体的思想，把sinx看成一个整体，求出函数f（x）的值域为[a﹣2，a+]，再根据题意得，[a﹣2，
28、如图：A，B是圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，已知A（﹣3，4），且点B在劣弧CA上，△AOB为正三角形．
（1）求cos∠COA；
（2）求|BC|的值．
考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用。21世纪教育21*cnjy*com网
专题：综合题；数形结合；综合法。21世纪教育网版权所有
分析：（1）求cos∠COA，由图与题设知知终边一点的坐标为（﹣3，4），故可求出该点到原点的距离，用定义求出余弦值．
（2）由题设知∠BOC=∠COA﹣，由（1）中可以求出∠COA正弦与余弦，然后用两角差的余弦公式求的值，再由余弦定理，|BC|2=|OB|2+|OC|2﹣2|OB|?|OC|cos∠BOC求出BC的长度．21cnjy
点评：本题考点是三角函数的定义，考查了用三角函数的定义﹣﹣﹣知终边上一点的坐标求三角函数值，以及利用余弦定理求边，用两角和与差的三角函数公式求角的三角函数值．
29、已知：角α终边上一点，且，求cosα，tanα．
考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题；分类讨论。
分析：求出|OP|利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，结合已知条件求出y的值，然后求出cosα，tanα．
解答：解：（1分）
∴（3分）
∴y=0或y=±（5分）
①y=0时，cosα=﹣1，tanα=0（8分）
②时，（11分）
③时，（14分）
点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，待定系数法的应用，分类讨论思想的应用，常考题型．
30、设，化简．
