4.4 对数函数 综合训练（含解析）

对数函数综合训练
一、选择题
1、已知函数在上单调递减，则a的取值范围( )
A. B. C. D.
2、已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3、函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4、当时，(且)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、若a，b均为实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6、设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，设，，，则( )
A. B.
C. D.
7、函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
8、设，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
9、已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10、函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
11、函数的定义域是( )
A. B. C. D.
12、要得到函数的图像，只需将函数的图像( )
A.每一点的横坐标变为原米的2倍
B.每一点的纵坐标变为原来的2倍
C.向左平移个单位
D.向上平移个单位
二、填空题
13、已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为___________.
函数(，)的图象过定点___________.
函数的定义域为________.
函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则___.
函数的值域为______.
三、解答题
18、已知函数的图象过点，.
（1）求函数和的解析式；
设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
19、已知函数（且）是奇函数.
（1）求m的值；
当时，判断在区间上的单调性并加以证明；
（3）当，时，的值域是，求a的值.
参考答案
1、答案：B
解析：因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
2、答案：D
解析：由题意，定义在R上的函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以
又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，
又由对数的运算性质可得，
所以，即.
故选：D.
3、答案：B
解析：由题意得，
解得且.
故选：B.
4、答案：B
解析：由题意可得当时，的图象位于图象的下方，所以在单调递增，所以为减函数，所以，即，所以，可得：.
故选：B.
5、答案：A
解析：因为，由函数在上单调递增得：，
又，由于函数在R上单调递增得：，
由“”是“”的充分不必要条件，
可得“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6、答案：C
解析：，，.
又函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，
，且在上单调递减.
又，.
故选：C.
7、答案：C
解析：由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
8、答案：A
解析：因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，
又，，即，所以，即，故，
所以.
故选：A.
9、答案：C
解析：函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为，在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为，
故选：C.
10、答案：C
解析：由题可得解得且.
故选：C.
11、答案：B
解析：由题意得解得即，
故定义域为.
故选：B.
12、答案：D
解析：对A：所得函数为，A错误；
对B：所得函数为，B错误；
对C：所得函数为，C错误；
对D：所得函数为，D正确；
故选：D.
13、答案：
解析：把点代入函数得，，
，
函数的单调递增区间为，
故答案为：.
14、答案：
解析：令可得，
当时，，故函数恒过定点.
15、答案：
解析：要使函数有意义，
需且，
故且，解得：，
故函数的定义域是.
故答案为：.
16、答案：27
解析：因为，令，得此时，故，
设幂函数解析式，
依题意有，即，解得，
所以，
所以，
故答案为：27.
17、答案：
解析：函数的定义域为，
因为
所以，
所以
所以函数值域为.
故答案为：.
18、答案：（1），
（2）
解析：（1）因为函数的图象过点，
所以，解得，
所以，.
（2）因为且，所以且，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值是或.
因为
.
所以，
若，只需，
即，则，
设，
任取且，
则
，
因为，所以，，
，即，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增，且，
所以，即，
所以，所以m的取值范围是.
19、答案：（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）
解析：（1）由已知即，
，，
当时，舍去，.经检验满足题意.
（2）由（1）得，任取
，
，
又，
，
当时，，，此时为增函数
当时，，，此时为减函数.
（3）由（2）知：当时，在为减函数
又
即在上递减，，
.