第八章 机械能守恒定律
小专题4 速度的分解与机械能守恒
在中学物理的绳、杆、接触面的模型中，绳、杆的长度在物体运动过程中是被认为不变的，接触面是不发生形变的，由此可知
1.绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。
2.杆连接的两物体：
（1）两物体速度沿杆方向上的分量相同
（2）有共同转轴的情况下，两物体绕共同转轴的角速度相同，线速度大小与转动半径成正比
3.接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量是相同的。
【题组一】绳的牵连速度问题
1.如图所示,不计所有接触面之间的磨擦,斜面固定,两物体质量分别为m1和m2,且m1 < m2 若将m2由位置A从静止释放,当落到位置B时,m2的速度为v2,且绳子与竖直方向的夹角为θ,则这时m1的速度大小v1等于 ( )
A.v2sinθ B. C.v2cosθ D.
【答案】C
【解析】v1的方向沿着绳，v２的方向与绳之间夹角为θ，而两物体沿绳方向上的速度分量相等，故Ｃ正确．
2.如图所示，人在岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ）
A．加速运动 B．减速运动 C．匀速运动 D．无法判定
【答案】A
【解析】将小船的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示
平行绳子的分速度等于人拉绳子的速度，故：，由于变大，v不变，故船速增大，即加速运动，A正确；
3.质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车拉着物体P，使P沿斜面以速度v匀速上滑，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是
A．小车也做匀速运动 B．小车做加速运动
C．小车的速率为 D．小车的速率为
【答案】C
【解析】将小车的速度v1沿绳与垂直于绳两方向进行分解，如图所示，由几何关系有v=v1cosθ2，则，小车沿水平方向匀速向右运动时，θ2变小，则v1变小，即小车做减速运动，故只有C正确.
4.如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A. 货箱向上运动的速度大于v
B. 缆绳中的拉力FT等于（m0＋m）g
C. 货箱向上运动的速度等于vcosθ
D. 货物对货箱底部的压力等于mg
【答案】C
【解析】将货车的速度进行正交分解，如图所示：
由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故：v1=vcosθ，由于θ不断减小，故货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上,速度大小小于v，故A错误C正确。货箱和货物整体向上做加速运动，处于超重状态，故拉力大于(M+m)g、箱中的物体对箱底的压力大于mg，BD均错误.
5.如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放，m1球能够沿圆弧轨道运动到水平桌面上。则（ ）
A． 在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B． 在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率先增大后减少
C． 若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=2m2
D． 在m1由C点下滑到A 点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加
【答案】BCD
【解析】由C点下滑到A点的过程中，沿绳子方向的速度是一样的，在滑下去一段过程以后，此时的绳子与圆的切线是不重合，而是类似于圆的一根弦线而存在，所以此时两个物体的速度必然不相同的，A错误；重力的功率，这里的v是指竖直的分速度，一开始是由静止释放的，所以一开始的竖直速度也必然为零，最后运动到A点的时候，由于此时的切线是水平的，所以此时的竖直速度也是零但是在这个C到A的过程当中是肯定有竖直分速度的，所以相当于竖直速度是从无到有再到无的一个过程，也就是一个先变大后变小的过程，所以这里重力功率也是先增大后减小的过程，B正确；若恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，此时两小球速度均为零，根据动能定理得： ，解得，C正确；重力之外的其他力做功等于物体机械能的改变量；故在由C点下滑到A点的过程中轻绳对做的功等于的机械能增加，D正确．
6.如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上A点，光滑定滑轮与直杆的距离为d。A点与定滑轮等高，B点在距A点正下方d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是
A．环到达B处时，重物上升的高度h=d
B．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
C．环从A点能下降的最大高度为
D．当环下降的速度最大时，轻绳的拉力T=2mg
【答案】BC
【解析】运动过程中绳的长度不可伸长,故重物上升的高度,A错误.由于不计一切摩擦阻力,系统的机械能守恒,故环减少的机械能必等于重物增加的机械能,B正确.设环下降的最大高度为H,此时系统的速度恰好减小到0,由系统机械能守恒有,解得,C正确.当环下降到速度最大时,环的加速度为0、合力为零，
7.如图所示的装置中，轻质细绳绕过两个定滑轮Ａ和Ｂ（滑轮大小可忽略），ＡＢ间的距离为２Ｌ，在两端各挂一个质量为m的物体，现在Ａ、Ｂ中点Ｃ处挂一个质量为Ｍ的小球，Ｍ<2m ，绳与滑轮间摩擦不计，吊重物的绳足够长。在小球下降的过程中，以下说法中正确的是
Ａ．当Ｃ下降到最低点时，细绳张力为mg
Ｂ．小球Ｃ所受重力的功率先增大后减小
Ｃ．小球Ｃ的机械能守恒
Ｄ．小球下降的最大距离为
【答案】BD
【解析】在小球C下落到最低点的过程中小球C先从静止加速下降后减速下降直到速度为零，在最低点时小球的速度为零而加速度不为零，受力不平衡，同理知两物块在最高点时受力也不平衡，故A错误；小球C所受重力的功率先增大后减小，B正确；此过程中绳对C球的拉力对C做负功，C球的机械能减小，C错误；如图当小球下降高最大度为h时重物上升的高度为，则由能量守恒有，可解得，D正确。
8.如图所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A，两边以v速度匀速地向下拉绳。当两根细绳与竖直方向的夹角都为60°时，物体A上升的速度多大？
【答案】2v
【解析】以右边绳子为研究对象，应用绳连体模型的结论，当绳端物体A在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向运动时，一般要将绳物体A的真实运动分解到沿绳收缩方向和垂直于绳子方向的两个分运动。其运动效果一是沿绳方向的直线运动，这使得绳变短，二是以定滑轮为圆心的圆周运动，这使得绳转过了一个小角度，即A的运动就是这两个分运动的合成。如图所示，有，得。
【题组二】杆的牵连速度问题
1.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球A和B． 将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成角，B球的速度大小为v2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向。则有，A球： ，而B球，，由于同一杆，则有，所以，故A正确，CBD错误。
2.如图所示，半径为R 光滑圆环竖直放置，环上套有质量分别为m、2m的小球A、B，A、B之间用一长为的轻杆相连。开始时A在环的最高点，现将A、B静止释放，在A、B运动的过程中，下列说法正确的是
A.B球从开始运动至到达环最低点的过程中，杆对B球所做的总功为零
B.A球运动到环的最低点时速度为零
C.B球可以运动到环的最高点
D.A、B组成的系统机械能守恒
【答案】AD
【解析】因圆环光滑、杆的质量不计，故A、B组成的系统机械能守恒，D正确。因两球套在同圆环上，且中间由长度不可改变的杆相连，故两运动过程中速率总是相等的，设B到达最低点时速率为v，此时A球位于B球的初始位置，由整体机械能守恒有，得，可见此过程中B球获得的动能与减少的重力势能相等，故杆对B球所做总功为零，A正确。当A球运动到最低点时B球运动到与圆心等高的位置，仍由机械能守恒有，得，B错误。当B球运动到最高点时由机械能守恒有，得，表明此情况是不可能出现的，C错误。
3.如图所示，A、B两小球用轻杆连接，竖直放置。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽运动，B球沿水平光滑槽运动。则在A球到达底端前（ ）
A．A球的机械能先减小后增大
B．轻杆对A球做负功，对B球做正功
C．A球到达竖直槽底部时B球的速度为零
D．A球的机械能最小时轻杆对B球的作用力为零
【答案】ACD
【解析】设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为，此时A球的速度为， 和沿杆方向上分速度大小相等，即 。当A环到达竖直槽底部时，得，C正确。B球速度先增大后减小，其机械能先增大后减小，A、B系统机械能守恒，得A球的机械能先减小后增大，A正确。轻杆对A球先做做负功后做正功，对B球先做做正功后做负功，B错误。当B球速度最大时杆的作用力为零，D正确。
4.如图所示,AB两小球用轻杆连接,A球只能沿竖直固定杆运动.开始时AB两球均静止,B球在水平面上靠着固定杆.由于微小抖动,B开始沿水平面向右运动,不计一切摩擦,设A在下滑过程中机械能最小时的加速度为a,则
A.了B.C.D.
【答案】C
【解析】在A下滑过程中,AB组成的系统机械能守恒,当A的机械能最小时B的机械能一定最大.因B在水平面上滑动,重力势能不变,故此时B的动能最大,速度最大.由于两球在沿轻杆方向上的分速度相等,当A到达地面时杆水平且A球的速度只能在竖直方向上,则A球到达地面时B球的速度为零,可知B向右滑动的过程为速度先增大后减小的过程,即杆的弹力对B先做正功再做负功,当弹力等于零时,B的速度最大,所以此时A只受重力,故a=g,C正确.
5.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B（均可看作质点），且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为g），下列说法正确的是
A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为
【答案】AD
【解析】由于轨道光滑，由两小球和轻杆组成的系统机械能守恒，故Ａ正确。此过程中Ｂ球减少的重力势能等于Ａ球增加的重力势能与系统增加的动能之和，Ｂ错误。因两球由一杆连接，则两球沿轨道运动时在任一时刻角速度相等，线速度也相等，速度同时达到最大。当Ｂ球运动到最低点时系统的重力势能最小、动能最大，由机械能守恒有：，可解得，Ｃ错误。细杆对A球做的功等于Ａ球增加的机械能：
，Ｄ正确。
6.如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2的小球，B处固定质量为的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是B、C、D
（A）A球到达最低点时速度为零。
（B）A球机械能减少量等于B球机械能增加量。
（C）B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度。
（D）当支架从左向右回摆动时，A球一定能回到起始高度。
【答案】BCD
【解析】由于不计任何阻力,系统的机械能守恒,即A机械能在减少量一定等于B机械能的增加量,B正确.由于支架为正三角形,则当A球到达最低点时,B球上升到A球初始位置所在高度,但A球质量大,减小的重力势能大于B球增加的重力势能,则此时系统的动能不为0,此位置不是B球左摆的最大高度,A错误C正确.由系统的机械能守恒易知D正确.
7.如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是 （ ）
A．球B在最高点时速度为零
B．此时球A的速度也为零
C．球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mg
D．球B转到最低点时，其速度为
【答案】C
【解析】球B在最高点时速度为，有，得，A项错误；此时球A的速度为，B错误；设杆对球的A的作用力为，则，得，C项正确；设球B在最低点时的速度为，据机构能守恒定律有
，解得，D项错误。
8.一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则
A． OA边转动到处于竖直位置时，A球的速度为2
B． A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C． A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D． A、B两球的最大动能之比
【答案】BD
【解析】因两球固定在同一支架上，两球角速度相同，线速度之比等于转动半径之比，即，故两球速度同时达到最大值，由系统机械能守恒知，当两球速度最大时，总动能最大，总势能最小，B正确；由动能定义式知两球的最大动能之比等于最大速度的平方之比，D正确；当A球转到竖直位置时，由机械能守恒有，解之有，A错误；设A球速度最大时杆转过角，由能量守恒知此时系统的总动能为
，其中，可见当两杆转过的角度时两球的动能最大，速度也最大，C错误。
【题组三】接触面间的牵连速度
1.有一固定轨道ABCD如图所示，AB段为四分之一光滑圆弧轨道，其半径为R，BC段是水平光滑轨道，CD段是光滑斜面轨道，BC和斜面CD间用一小段光滑圆弧连接。有编号为1、2、3、4完全相同的4个小球（小球不能视为质点，其半径r＜R），紧挨在一起从圆轨道上某处由静止释放，经平面BC到斜面CD上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是
A．四个小球在整个运动过程中始终不分离
B．在圆轨道上运动时，2号球对3号球不做功
C．在CD斜面轨道上运动时，2号球对3号球做正功
D．4号球在CD斜面轨道上运动的最大高度与1号球初始位置等高
【答案】A
【解析】圆弧轨道越低的位置切线的倾角越小，加速度越小，故互相有挤压力，水平面上速度相同，无挤压也不分离。斜面上加速度相同，也是无挤压也不分离。故B、C错误，A正确。从圆弧由静止释放到斜面的最高点，机械能守恒，重心上升的高度相同，但圆弧上的重心在四个球的中点偏下，而斜面上四个球的整体重心在中间。故D错误。
另析：A 在圆弧轨道越低的位置处切线的倾角越小，自由小球在该处的加速度越小，即相互间无压力时后面小球的的加速度大,速度增加快,故小球间有挤压，小球相互间不分离,后面小球要对前面小球做正功;当小球到达水平面上时速度相同，相互间无挤压但也不分离,故A正确BC错误。从在圆弧上将小球由静止释放到小球运动到斜面的最高点，系统机械能守恒，系统重心的高度相同，但在圆弧上时系统的重心在四个球的中点偏下，而斜面上四个球的整体重心在中间,故可知D错误。
2.如图所示，在光滑的水平地面止有一个表面光滑的立方体Q。一长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点，O点固定于地面上，轻杆的上端连接着一个可视为质点的小球P，小球靠在立方体的左侧，P和Q的质量相等，整个装置处于静止状态。受到轻微扰动后P倒向右侧并推动Q，下列说法中正确的是
A.在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面间夹角为θ时，小球的速度大小为
B.在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面间夹角为θ时，立方体与小球的速度大小之比为sinθ.
C.在小球和立方体分离前，小球所受合外力一直对小球做正功
D.在落地前小球的机械能一睹减少
【答案】BC
【解析】 面接触的物体在分离前，沿垂直接触面方向上的分速度相等，如图所示，可知，Ｂ正确。小球与立方体构成的系统机械能守恒：，联立上式可得：，Ａ错误。因在ＰＱ分离前小球对立方体的作用力一直是向右弹力，与立方体的速度方向一直相同，故C正确。当小球与立方体分离后落地前，小球只有重力做功，其机械能守恒，故Ｄ错误。
3.如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由接触的物体在垂直于接触面上的速度相等可知杆上B点的速度等于物块速度沿垂直于杆方向上的分量，即，而A点、B点都是绕O点转动，由其角速度相等有，联立可得,A正确。
4.斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同刚性小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r．现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦，所有小球平抛中不相撞．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 球1的机械能守恒 B。球6在OA段机械能增大
C.球6的水平射程最小 D。有三个球落地点位置相同
【答案】BCD
【解析】6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒．当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对1的作用力做功，故球1的机械能不守恒，故A错误；球6在OA段运动时，斜面上的球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增大，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C正确；由于离开A点时，球6的速度最小，水平射程最小，而最后三个球在水平面上运动时不再加速，3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确．
5.如图所示，在水平面和竖直墙壁之间放置质量为m，高为h的木块A和质量为M、半径为R的球B，各接触面均光滑，木块A受到水平向右的外力F的作用，系统处于静止状态．O为B的球心，C为A、B接触点，CO与竖直方向夹角θ=600．现撤去水平外力F，则
A．撤去F时，球B的加速度aB=0
B．撤去F时，木块A的加速度aA<
C．撤去F时，墙壁对球B的弹力FB=0
D．若球B着地前瞬间速速为v，则此时木块速度为
【答案】BD
【解析】在撤去力Ｆ之前，ＢＣ之间的作用力与在水平方向上的分力与力Ｆ相等，竖直方向上的分力与Ｂ球重力相等．在撤去力Ｆ后瞬时，接触面间的弹力已发生了突变，由图中情景限制可知，Ａ的速度与加速度沿水平向左，Ｂ的速度与加速度沿竖直向下，且沿垂直于ＡＢ接触面即过Ｃ点的球的半径方向的二者的速度与加速度分量相等．因Ｂ处于失重状态而导致Ｂ对Ｃ的压力减小．其水平分力也必小于Ｆ，且由于Ａ对Ｂ的作用力沿ＣＯ方向，则Ｂ与墙壁之间的弹力必不为零，故ＡＢＣ中只有Ｂ正确．Ｂ球着地时，由整体能量守恒有，可解得，Ｄ正确．
6.如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角为θ＝37°．一个“Π”的物体B紧靠在斜面体上，并可在水平面上自由滑动而不会倾斜，B的质量为M＝2kg。一根质量为m=1kg。的光滑细圆柱体A搁在B的竖直面和斜面之间。现推动B以水平加速度a＝4m/s2向右运动，并带动A沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑圆柱体的滚动，g=10m/s2。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，）求：
（1）圆柱体A的加速度；
（2）B物体对A的推力F的大小；
（3）当A被缓慢推至离地高为h＝1m的P处时停止运动，放手后A下滑时带动B一起运动，当到达斜面底端时B的速度为多大？
【答案】（1）5m/s2（2）13.75N （3）2.37m/s
【解析】（1）A 的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，则
（2）对A：由牛顿第二定律：
（3）
1图
3-2-2图
轻杆
A
B
3题图
滑槽
4图
B
A
7图
8题图
3题图
F
A
C
O
B
θ
R
h
5图
6题图第八章 机械能守恒定律
小专题4 速度的分解与机械能守恒
在中学物理的绳、杆、接触面的模型中，绳、杆的长度在物体运动过程中是被认为不变的，接触面是不发生形变的，由此可知
1.绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。
2.杆连接的两物体：
（1）两物体速度沿杆方向上的分量相同
（2）有共同转轴的情况下，两物体绕共同转轴的角速度相同，线速度大小与转动半径成正比
3.接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量是相同的。
【题组一】绳的牵连速度问题
1.如图所示,不计所有接触面之间的磨擦,斜面固定,两物体质量分别为m1和m2,且m1 < m2 若将m2由位置A从静止释放,当落到位置B时,m2的速度为v2,且绳子与竖直方向的夹角为θ,则这时m1的速度大小v1等于 ( )
A.v2sinθ B. C.v2cosθ D.
2.如图所示，人在岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ）
A．加速运动 B．减速运动 C．匀速运动 D．无法判定
3.质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车拉着物体P，使P沿斜面以速度v匀速上滑，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是
A．小车也做匀速运动 B．小车做加速运动
C．小车的速率为 D．小车的速率为
4.如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A. 货箱向上运动的速度大于v
B. 缆绳中的拉力FT等于（m0＋m）g
C. 货箱向上运动的速度等于vcosθ
D. 货物对货箱底部的压力等于mg
5.如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放，m1球能够沿圆弧轨道运动到水平桌面上。则（ ）
A． 在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B． 在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率先增大后减少
C． 若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=2m2
D． 在m1由C点下滑到A 点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加
6.如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上A点，光滑定滑轮与直杆的距离为d。A点与定滑轮等高，B点在距A点正下方d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是
A．环到达B处时，重物上升的高度h=d
B．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
C．环从A点能下降的最大高度为
D．当环下降的速度最大时，轻绳的拉力T=2mg
7.如图所示的装置中，轻质细绳绕过两个定滑轮Ａ和Ｂ（滑轮大小可忽略），ＡＢ间的距离为２Ｌ，在两端各挂一个质量为m的物体，现在Ａ、Ｂ中点Ｃ处挂一个质量为Ｍ的小球，Ｍ<2m ，绳与滑轮间摩擦不计，吊重物的绳足够长。在小球下降的过程中，以下说法中正确的是
Ａ．当Ｃ下降到最低点时，细绳张力为mg
Ｂ．小球Ｃ所受重力的功率先增大后减小
Ｃ．小球Ｃ的机械能守恒
Ｄ．小球下降的最大距离为
8.如图所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A，两边以v速度匀速地向下拉绳。当两根细绳与竖直方向的夹角都为60°时，物体A上升的速度多大？
【题组二】杆的牵连速度问题
1.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球A和B． 将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成角，B球的速度大小为v2，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，半径为R 光滑圆环竖直放置，环上套有质量分别为m、2m的小球A、B，A、B之间用一长为的轻杆相连。开始时A在环的最高点，现将A、B静止释放，在A、B运动的过程中，下列说法正确的是
A.B球从开始运动至到达环最低点的过程中，杆对B球所做的总功为零
B.A球运动到环的最低点时速度为零
C.B球可以运动到环的最高点
D.A、B组成的系统机械能守恒
3.如图所示，A、B两小球用轻杆连接，竖直放置。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽运动，B球沿水平光滑槽运动。则在A球到达底端前（ ）
A．A球的机械能先减小后增大
B．轻杆对A球做负功，对B球做正功
C．A球到达竖直槽底部时B球的速度为零
D．A球的机械能最小时轻杆对B球的作用力为零
4.如图所示,AB两小球用轻杆连接,A球只能沿竖直固定杆运动.开始时AB两球均静止,B球在水平面上靠着固定杆.由于微小抖动,B开始沿水平面向右运动,不计一切摩擦,设A在下滑过程中机械能最小时的加速度为a,则
A.了B.C.D.
5.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B（均可看作质点），且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为g），下列说法正确的是
A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为
6.如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2的小球，B处固定质量为的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是B、C、D
（A）A球到达最低点时速度为零。
（B）A球机械能减少量等于B球机械能增加量。
（C）B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度。
（D）当支架从左向右回摆动时，A球一定能回到起始高度。
7.如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是 （ ）
A．球B在最高点时速度为零
B．此时球A的速度也为零
C．球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mg
D．球B转到最低点时，其速度为
8.一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则
A． OA边转动到处于竖直位置时，A球的速度为2
B． A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C． A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D． A、B两球的最大动能之比
【题组三】接触面间的牵连速度
1.有一固定轨道ABCD如图所示，AB段为四分之一光滑圆弧轨道，其半径为R，BC段是水平光滑轨道，CD段是光滑斜面轨道，BC和斜面CD间用一小段光滑圆弧连接。有编号为1、2、3、4完全相同的4个小球（小球不能视为质点，其半径r＜R），紧挨在一起从圆轨道上某处由静止释放，经平面BC到斜面CD上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是
A．四个小球在整个运动过程中始终不分离
B．在圆轨道上运动时，2号球对3号球不做功
C．在CD斜面轨道上运动时，2号球对3号球做正功
D．4号球在CD斜面轨道上运动的最大高度与1号球初始位置等高
2.如图所示，在光滑的水平地面止有一个表面光滑的立方体Q。一长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点，O点固定于地面上，轻杆的上端连接着一个可视为质点的小球P，小球靠在立方体的左侧，P和Q的质量相等，整个装置处于静止状态。受到轻微扰动后P倒向右侧并推动Q，下列说法中正确的是
A.在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面间夹角为θ时，小球的速度大小为
B.在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面间夹角为θ时，立方体与小球的速度大小之比为sinθ.
C.在小球和立方体分离前，小球所受合外力一直对小球做正功
D.在落地前小球的机械能一睹减少
3.如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
4.斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同刚性小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r．现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦，所有小球平抛中不相撞．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 球1的机械能守恒 B。球6在OA段机械能增大
C.球6的水平射程最小 D。有三个球落地点位置相同
5.如图所示，在水平面和竖直墙壁之间放置质量为m，高为h的木块A和质量为M、半径为R的球B，各接触面均光滑，木块A受到水平向右的外力F的作用，系统处于静止状态．O为B的球心，C为A、B接触点，CO与竖直方向夹角θ=600．现撤去水平外力F，则
A．撤去F时，球B的加速度aB=0
B．撤去F时，木块A的加速度aA<
C．撤去F时，墙壁对球B的弹力FB=0
D．若球B着地前瞬间速速为v，则此时木块速度为
6.如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角为θ＝37°．一个“Π”的物体B紧靠在斜面体上，并可在水平面上自由滑动而不会倾斜，B的质量为M＝2kg。一根质量为m=1kg。的光滑细圆柱体A搁在B的竖直面和斜面之间。现推动B以水平加速度a＝4m/s2向右运动，并带动A沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑圆柱体的滚动，g=10m/s2。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，）求：
（1）圆柱体A的加速度；
（2）B物体对A的推力F的大小；
（3）当A被缓慢推至离地高为h＝1m的P处时停止运动，放手后A下滑时带动B一起运动，当到达斜面底端时B的速度为多大？
1图
3-2-2图
轻杆
A
B
3题图
滑槽
4图
B
A
7图
8题图
3题图
F
A
C
O
B
θ
R
h
5图
6题图
