第八章 机械能守恒定律
小专题5 竖直平面内圆周运动的临界与极值的能量求解
①圆周运动中的速度
在向心加速度的表达式中,v是物体相对圆心的瞬时速度,在圆心静止时才等于物体的对地速度
②变速圆周运动中的向心力
在变速圆周运动中,向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力.
③竖直平面内圆周运动的类型
竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．
常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．
④变速圆周运动中的正交分解
应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.
以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小．
⑤处理竖直平面内圆周运动的方法
在物体从一点运动至另点的过程中速度之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程,两类方程相结合是解决此类问题的有效方法．
⑥竖直平面内变速圆周运动的最高点与最低点
(I)轻绳模型
如图1所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.
小球能通过最高点的条件
如图2所示,在最高点A:、
即
小球能过最高点A的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件
小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或
小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况
在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.
变速圆周上的最高点与最低点
小球位于最高点处时:
动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.
小球位于最高点处时:
动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂.
圆周运动中的能量
小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力,运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上抛运动,动能不能全部转化为重力势能.
(II)轻杆模型
如图3所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.
小球能通过最高点的条件
如图4所示,在最高点C:
小球能过最高点C的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件
小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况
在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:
若,杆中弹力方向向上,大小为
若,杆中弹力方向向上,大小小于重力,,大小随此点速度的增大而减小.
若,杆中无弹力
若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,,大小 随此点速度的增大而增大
此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即;若在最高点C处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即.
小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.
(III)半球面模型
如图5所示,小球从光滑半球面顶端E开始运动.
小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.
小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H满足.
小球在顶端E时的速度V越大,离球面时的位置H越靠近顶端,角越小即小球能沿球下滑的距离越短.
当小球在球面顶端的速度时,小球直接从E点离开球面做平抛运动.
【题组一】绳形成的临界
1.如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【答案】CD
【解析】在最高点当小球的重力完全充当向心力时，即绳子的拉力为零，有，解得，该情况为细绳拴着小球在竖直面内做圆周运动的临界条件，即小球通过最高点的速度不能小于，若在最高点的速度大于，则小球在最高点的向心力由重力和绳子的拉力共同充当，A错误BC正确；在最低点，靠重力和绳子拉力的合力提供向心力，合力方向向上，所以拉力一定大于小球的重力，D正确．
2.“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型．已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A．当时，细绳始终处于绷紧状态
B．当时，小球一定能通过最高点P
C．小球运动到最高点P时，处于失重状态
D．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
【答案】AC
【解析】当时，由机械能守恒有，可得，所以小球到不了与O点等高的位置，小球在最低点两侧来回摆动，绳能处于始终绷紧状态，A正确。在最高点由牛顿第二定律有，由于绳只能提供拉力，即，所以球在最高点的速度应满足；从最低点到最高点由机械能守恒有，解得，即只有当时小球才能通过最高点P，故B错误。在最高点P，小球的加速度向下，处于失重状态，C正确.在最低点，结合机械能守恒有及在最高点由牛顿第二定律有，解得为定值，D错误。
3.如图所示，质量为m的小球用长度为R的细绳拴着在竖直面上绕O点做圆周运动，恰好能通过竖直面的最高点A，重力加速度为g，则
A.小球通过最高点A的速度为
B.小球通过最低点B和最高点A的动能之差为mgR
C.若细绳在小球运动到与圆心O等高的C点断了，则小球还能上升的高度为R
D.若细绳在小球运动到A处断了，则经过时间小球运动到与圆心等高的位置
【答案】AD
【解析】因小球恰好能通过竖直面的最高点A，表明在A点绳中张力为0,重力恰好提供小球所城向心力:,有,A正确.小球运动过程中机械能守恒,故小球通过最低点B和最高点A的动能之差等于两点间重力势能之差2mgR,B错误.若细绳在小球运动到与圆心O等高的C点断了,小球做竖直上抛运动,由机械能守恒可知上升R高度时其速度减小到,还能再上升,故C错误.若细绳在小球运动到A处断了，则小球做平抛运动,运动到与圆心等高的位置轩经过时间,D正确.
4.如图所示，两根等长的细线拴着两个小球在竖直平面内各自做圆周运动。某一时刻小球1运动到自身轨道的最低点，小球2恰好运动到自身轨道的最高点，这两点高度相同，此时两小球速度大小相同。若两小球质量均为m，忽略空气阻力的影响，则下列说法正确的是
A．此刻两根线拉力大小相同
B．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为2mg
C．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为10mg
D．若相对同一零势能面，小球1在最高点的机械能等于小球2在最低点的机械能
【答案】CD
【解析】球1在最低点，球2在最高点由牛顿第二定律有，可见此时，A错误；当球运动到其轨道点时绳中张力最小：，由机械能守恒有，解得，同理可得球2运动到其轨道的最低点时其绳中最大张力，故两线上拉力的差值最大为，B错误C正确。因两小球运动过程中各自的机械能均守恒，而在图示位置两球的机械能相等，故两球处于任一位置时的机械能均相等，D正确。
5.如图甲所示，用一轻绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图象如图乙所示，则
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
【答案】D
【解析】在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T=m,得 T= v2-mg ①,由图象知，T=0时，v2=b．图象的斜率k=，则得：，得：绳长 L= .当v2=0时，T=-a，由①得：-a=-mg，得 g=.当v2=c时，代入①得：,只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：最高点：T1+mg=m ②.最低点：T2-mg=m ③,从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：mv22 mv12=2mgL ④,联立②③④解得：T2-T1=6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a，故BC错误。
6.如图两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为（ ）
A. B。2C。C. 3mgD. 4mg
【答案】Ａ
【解析】当小球到达最高点速率为v，有mg=m，当小球到达最高点速率为2v时，应有F+mg=m=4mg，所以F=3mg，此时最高点各力如图所示，所以FT=，A正确．B、C、D错误．
7.质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为
【答案】ＢＣ
【解析】当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动：小球在水平方向不受力，不可能仍在水平面内做匀速圆周运动，A错误；小球以A点为圆心做圆周运动，瞬间有向上的加速度，产生超重现象，a绳中的张力增大，BC正确；绳b未被烧断时，小球在水平面内做圆周，在竖直面内处于平衡状态，D错误。
8.如图所示，轻质细绳的下端系一质量为m的小球，绳的上端固定于O点。现将小球拉至水平位置，使绳处于水平拉直状态后松手，小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α，已知绳能承受的最大拉力为F，若想求出cosα值。根据你的判断cosα值应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】绳断裂时由牛顿第二定律有，从开始到绳断裂由机械能守恒有，两式联立可得，Ｄ正确。
【题组二】杆形成的临界
1.如图所示，某长为R的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，以下说法中正确的是
A. 小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B. 小球过最高点时，最小速度为
C. 小球过最低点时，杆对球的作用力一定大于重力
D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定小于重力
【答案】AC
【解析】小球在最高点时，杆子可以表现为支持力，可以表现为拉力，最小速度为零，故A正确，B错误。在最低点，合力提供向心力，指向圆心，所以杆对球的作用力一定大于重力，故C正确D错误。
2.如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装有固定的转动轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动。若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度，其中g为重力加速度，不计空气阻力，则（ ）
A．小球不可能到达圆周轨道的最高点Q
B．小球能到达最高点Q，但小球在Q点不受轻杆的弹力
C．小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向下的弹力
【答案】Ｃ
【解析】根据动能定理得，-mg2L＝mv2-m，解得v=，知小球能够到达最高点P．假设在最高点重力和支持力的合力提供向心力，则有，解得，即小球在P点受到轻杆对它向上的弹力．故C正确，A、B、D错误．
3.如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是
A．形变量越大，速度一定越大
B．形变量越大，速度一定越小
C．形变量为零，速度一定不为零
D．速度为零，可能无形变
【答案】C
【解析】当时，重力刚好提供向心力，形变量为零，C正确；当时，重力不足以提供向心力，杆对球产生向下的拉力，速度越大，所需拉力越大，形变越大，当时，重力大于所需向心力，杆对球产生向上支持力，速度越小，所需向心力越小，杆的支持力越大，形变量越大，速度为零时，杆的支持力等于球的重力，故其它选项都错误 。
4.如图所示，细杆的一端与小球相连，另一端可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一个初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A、a处为拉力，b处为拉力；
B、 a处为拉力，b处为推力；
C、 a处为推力，b处为拉力；
D、 a处为推力，b处为推力；
【答案】AB
【解析】由于a处是圆周运动的最低点,向心力方向竖直向上,故a处杆必然对球产生竖直向上的拉力,与重力一直提供小球在a点所需向心力;b点是圆周运动的最高点,在b点处需要竖直向下的向心力,若在b点时速度较小需要的向心力较小且小于小球的重力时,杆对小球施加向上的推力;若在b点时速度较大、需要的向心力较大且重力不足以提供所需的向心力时,杆对球产生向下的拉力;若在b点速度合适时从而使重力恰好提供小球所需向心力时,杆与球之间无相互作用,故可知AB正确CD错误.
5.一轻杆一端固定质量为的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则（ ）
A．小球过最高点时，杆所受弹力不可能大于重力
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最低点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
【答案】C
【解析】杆即可以提供拉力、也可以提供推力，故当小球在最高点时速度时，所需向心力，此时杆提供向上的推力，由有，但当速度时杆提供向下的拉力，此时有即，此时杆的弹力大小与重力大小关系不确定，故ＡＢＤ皆错误。当小球通过最低点时，由于向心力方向向上，而重力方向向下，故此时杆一定对球产生向上的拉力，向心力由提供，故Ｃ正确。
6.一根长为L的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ BC ）
A，小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C．小球在最低点对轻杆的作用力一直增大
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
【答案】BC
【解析】设在最高点轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg – F =，当轻杆对小球的作用力大小F = mg时，小球的速度最小，最小值为零，所以A错误．由mg– F =，可得在最高点轻杆对小球的作用力F= mg –，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先从mg减小0后再反向增大（先为支持力后为拉力）．由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，B正确．在最低点，由F–mg =，可得轻杆对小球的拉力F= mg +，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的拉力一直增大，C正确．轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，选项D错误．
【题组三】接触面形成的临界
1.如图所示，竖直平面内有一光滑圆环，半径为R，圆心为O，B为最低点，C为最高点，圆环左下方开一个小口与光滑斜面相切于A点，∠AOB=37°，小球从斜面上某一点由静止释放，经A点进入圆轨道，不计小球由D到A的机械能损失，，，则要保证运动过程中小球不离开轨道，小球释放的位置到A点的距离可能是
A．R B．2R C．3R D．4R
【答案】A
【解析】小球不离开轨道,一种情况是进入圆轨道后在底部往返运动,上升的最大高度不超过O点所在高度,小球达到最大高度时速度减小到0,由能量守恒有,得;再一种情况是小球进入圆轨道后能做完整的圆周运动,经过C点时的速度满足,由释放到运动到圆周最高点C由能量守恒有,解得,A正确.
2.如图所示，一个小球(视为质点)从H＝12 m高处，由静止开始通过光滑弧形轨道AB，进入半径R＝4 m的竖直圆环，且与圆环间动摩擦因数处处相等，当到达环顶C时，刚好对轨道压力为零；沿CB圆弧滑下后，进入光滑弧形轨道BD，且到达高度为h的D点时的速度为零，则h之值可能为(取g＝10 m/s2，所有高度均相对B点而言) ( )
A．12 m B．10 m
C．8.5 m D．7 m
【答案】C
【解析】到达环顶C时，刚好对轨道压力为零,所以在C点，重力充当向心力
所以在C点，小球动能为，以B点为零势能面，小球重力势能,此时小球的机械能为。开始小球从H=12m 高处，由静止开始通过光滑弧形轨道AB上升到顶点时，根据能量守恒得：。之后小球沿轨道下滑，由于机械能有损失，所以下滑过程中经过同一高度时的速度比上升时的速度小，因此对轨道压力变小，所受摩擦力变小，则下滑过程中，摩擦力做功大小Wf’必小于Wf，从C到D仍由能量守恒有：，解得所以高度范围为8m＜h＜10m，故选A．
3.如图所示，一个内壁光滑的圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R.O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R.质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时( )
A．速度大小满足 ≤vC≤
B．速度大小满足0≤vC≤
C．对管的作用力大小满足mg≤FC≤mg
D．对管的作用力大小满足0≤FC≤mg
【答案】AD
【解析】小球离开Ｃ点后做平抛运动，若落在ＡＤ区，则水平位移满足，由、解得，Ａ正确Ｂ错误；在Ｃ点，设管道对球的弹力向上、大小为FC，则，解得，即当管道对球弹力向上时大小在范围内，当弹力方向向下时大小在范围内，故Ｃ错误Ｄ正确。
4.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道内侧壁半径为 R，小球半径为r，小球直径略小于管道内径。则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的速度越大，则小球受到的弹力一定越大
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【解析】在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0．故A错误．当小球在最高点速度时，所需向心力小于重力，此时内管对小球产生向上的弹力，则由可知此情况下速度越大小球受到的弹力越小，当时才有速度越大弹力越大的结果，B错误。小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力．故C正确．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力．故D错误．
5.如图所示，半径为R的金属环竖直放置，环上套有一质量为m的小球，小球开始时静止于最低点。现给小球一冲击，使它以初速度。小球运动到环的最高点时与环恰无作用力，小球从最低点运动到最高点的过程中（ ）
A．小球机械能守恒
B．小球在最低点时对金属环的压力是6mg
C．小球在最高点时，重力的功率是
D．小球机械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是0 5mgR。
【答案】D
【解析】小球运动到环的最高点时与环恰无作用力，在最高点有：mg=，根据动能定理得，-mg×2R-Wf＝，解得解得Wf=，所以A错误，D正确；在最低点有：FN-mg=，解得FN=7mg，所以B错误；在最高点速度水平，所以重力的功率是0，所以C错误。
6.如图所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块 （ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
【答案】ACD
【解析】物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，最高点速度为，因为＞，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律可得：R＝，x=v0t，所以可得x=2R，B答案正确；落地时竖直分速度，合速度，其方向与地面成45°角，CD正确．
图1
图2
图3
图4
图5
3图
4图
A
B
C
O
6图第八章 机械能守恒定律
小专题5 竖直平面内圆周运动的临界与极值问题
①圆周运动中的速度
在向心加速度的表达式中,v是物体相对圆心的瞬时速度,在圆心静止时才等于物体的对地速度
②变速圆周运动中的向心力
在变速圆周运动中,向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力.
③竖直平面内圆周运动的类型
竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．
常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．
④变速圆周运动中的正交分解
应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.
以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小．
⑤处理竖直平面内圆周运动的方法
在物体从一点运动至另点的过程中速度之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程,两类方程相结合是解决此类问题的有效方法．
⑥竖直平面内变速圆周运动的最高点与最低点
(I)轻绳模型
如图1所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.
小球能通过最高点的条件
如图2所示,在最高点A:、
即
小球能过最高点A的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件
小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或
小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况
在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.
变速圆周上的最高点与最低点
小球位于最高点处时:
动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.
小球位于最高点处时:
动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂.
圆周运动中的能量
小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力,运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上抛运动,动能不能全部转化为重力势能.
(II)轻杆模型
如图3所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.
小球能通过最高点的条件
如图4所示,在最高点C:
小球能过最高点C的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件
小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况
在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:
若,杆中弹力方向向上,大小为
若,杆中弹力方向向上,大小小于重力,,大小随此点速度的增大而减小.
若,杆中无弹力
若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,,大小 随此点速度的增大而增大
此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即;若在最高点C处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即.
小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.
(III)半球面模型
如图5所示,小球从光滑半球面顶端E开始运动.
小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.
小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H满足.
小球在顶端E时的速度V越大,离球面时的位置H越靠近顶端,角越小即小球能沿球下滑的距离越短.
当小球在球面顶端的速度时,小球直接从E点离开球面做平抛运动.
【题组一】绳形成的临界
1.如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
2.“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型．已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A．当时，细绳始终处于绷紧状态
B．当时，小球一定能通过最高点P
C．小球运动到最高点P时，处于失重状态
D．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
3.如图所示，质量为m的小球用长度为R的细绳拴着在竖直面上绕O点做圆周运动，恰好能通过竖直面的最高点A，重力加速度为g，则
A.小球通过最高点A的速度为
B.小球通过最低点B和最高点A的动能之差为mgR
C.若细绳在小球运动到与圆心O等高的C点断了，则小球还能上升的高度为R
D.若细绳在小球运动到A处断了，则经过时间小球运动到与圆心等高的位置
4.如图所示，两根等长的细线拴着两个小球在竖直平面内各自做圆周运动。某一时刻小球1运动到自身轨道的最低点，小球2恰好运动到自身轨道的最高点，这两点高度相同，此时两小球速度大小相同。若两小球质量均为m，忽略空气阻力的影响，则下列说法正确的是
A．此刻两根线拉力大小相同
B．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为2mg
C．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为10mg
D．若相对同一零势能面，小球1在最高点的机械能等于小球2在最低点的机械能
5.如图甲所示，用一轻绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图象如图乙所示，则
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
6.如图两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为（ ）
A. B。2C。C. 3mgD. 4mg
7.质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为
8.如图所示，轻质细绳的下端系一质量为m的小球，绳的上端固定于O点。现将小球拉至水平位置，使绳处于水平拉直状态后松手，小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α，已知绳能承受的最大拉力为F，若想求出cosα值。根据你的判断cosα值应为（ ）
A． B．
C． D．
【题组二】杆形成的临界
1.如图所示，某长为R的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，以下说法中正确的是
A. 小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B. 小球过最高点时，最小速度为
C. 小球过最低点时，杆对球的作用力一定大于重力
D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定小于重力
2.如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装有固定的转动轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动。若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度，其中g为重力加速度，不计空气阻力，则（ ）
A．小球不可能到达圆周轨道的最高点Q
B．小球能到达最高点Q，但小球在Q点不受轻杆的弹力
C．小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向下的弹力
3.如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是
A．形变量越大，速度一定越大
B．形变量越大，速度一定越小
C．形变量为零，速度一定不为零
D．速度为零，可能无形变
4.如图所示，细杆的一端与小球相连，另一端可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一个初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A、a处为拉力，b处为拉力；
B、 a处为拉力，b处为推力；
C、 a处为推力，b处为拉力；
D、 a处为推力，b处为推力；
5.一轻杆一端固定质量为的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则（ ）
A．小球过最高点时，杆所受弹力不可能大于重力
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最低点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
6.一根长为L的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ BC ）
A，小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C．小球在最低点对轻杆的作用力一直增大
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
【题组三】接触面形成的临界
1.如图所示，竖直平面内有一光滑圆环，半径为R，圆心为O，B为最低点，C为最高点，圆环左下方开一个小口与光滑斜面相切于A点，∠AOB=37°，小球从斜面上某一点由静止释放，经A点进入圆轨道，不计小球由D到A的机械能损失，，，则要保证运动过程中小球不离开轨道，小球释放的位置到A点的距离可能是
A．R B．2R C．3R D．4R
2.如图所示，一个小球(视为质点)从H＝12 m高处，由静止开始通过光滑弧形轨道AB，进入半径R＝4 m的竖直圆环，且与圆环间动摩擦因数处处相等，当到达环顶C时，刚好对轨道压力为零；沿CB圆弧滑下后，进入光滑弧形轨道BD，且到达高度为h的D点时的速度为零，则h之值可能为(取g＝10 m/s2，所有高度均相对B点而言) ( )
A．12 m B．10 m
C．8.5 m D．7 m
3.如图所示，一个内壁光滑的圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R.O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R.质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时( )
A．速度大小满足 ≤vC≤
B．速度大小满足0≤vC≤
C．对管的作用力大小满足mg≤FC≤mg
D．对管的作用力大小满足0≤FC≤mg
4.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道内侧壁半径为 R，小球半径为r，小球直径略小于管道内径。则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的速度越大，则小球受到的弹力一定越大
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
5.如图所示，半径为R的金属环竖直放置，环上套有一质量为m的小球，小球开始时静止于最低点。现给小球一冲击，使它以初速度。小球运动到环的最高点时与环恰无作用力，小球从最低点运动到最高点的过程中（ ）
A．小球机械能守恒
B．小球在最低点时对金属环的压力是6mg
C．小球在最高点时，重力的功率是
D．小球机械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是0 5mgR。
6.如图所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块 （ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
图1
图2
图3
图4
图5
3图
4图
A
B
C
O
6图
