第八章 机械能守恒定律
小专题7 弹簧模型中的功能问题（一）
1.由力与运动的关系分析物体的运动过程
（1）单振子振动系统
单振子系统是指弹簧一端连接物体、另一端固定的物理情景。
物体受到的外力除弹簧的弹力外都是恒力时，物体的运动只能是变加速运动。
物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，当物体的加速度为零时速度最大；速度为零时加速度最大。
物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。
为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点。
当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力，以保证物体所受的合力恒定。
（2）双振子系统
双振子系统是指轻质弹簧两端都边接着物体，两物体在外力作用下皆处于运动之中的物理情景。
双振子系统中两物体的速度相等时物体间距离出现极值（最大或最小），弹簧的弹性势能达到最大，注意是速度相等而非速率相等时。
双振子系统中两物体的加速度相等时物体间的速度差值达到最大
双振子系统的运动过程分析也可结合速度图象，有时需利用（动量定理、动量守恒）功能原理、能量守恒等进行辅助分析
2.涉及弹簧的弹性势能的定量计算
（1）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系（有时需结合动量守恒）。
（2）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：
①位置的对称性
当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。
②位置变化的相同性
当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。
③弹性势能公式
当弹性势能公式Ep＝kx2做为题设条件时可直接使用。
【题组一】单振子系统中动能定理或能量守恒的应用
1.轻质弹簧竖直放置在地面上，自由长度在A点，现从A端静止放一可看成质点的物体M，M压缩弹簧下落到的最低点是C，最后静止在位置B点，整个过程中弹簧均处于弹性限度内，M运动过程总在竖直一条线上，不计空气阻力影响，则（ ）
A、M从A到B是匀加速直线运动，在C点时受弹簧弹力大小为2Mg
B、M从A点下落到停在B点的过程中，M的机械能守恒
C、M从A到C的过程中，在B点时M动能最大，在C点时弹簧的弹性势能最大
D、M从B到C的过程中，重力做功大于M克服弹簧弹力做功
【答案】C
【解析】M最后静止于B点，说明在B点弹簧弹力恰好等于M的重力，因此M从A向B运动中弹簧弹力不断增大、合力逐渐减小到零，则加速度也逐渐减小到零，即M从A到B的运动是加速度减小的加速运动，A错误。单独对M来说，由于除了其重力外还有弹簧弹力对其做负功 ，故其机械能减少；从能量转化的角度来看，由于弹簧压缩量不断增大，增大的弹性势能来源于M的机械能，故M的机械能减少，B错误。由于M越过B点后，弹簧弹力开始大于M的重力，M开始做减速运动，故在B点时M的动能最大；M运动到C点时减少的重力势能最大，且全部转化为弹簧的弹性势能，故在C点时弹簧的弹性势能最大，C正确。M从B到C的过程中，弹簧弹力始终大于M的重力，故重力做功小于克服弹簧弹力做功，D错误。
2.如图所示，竖直光滑杆固定不动，弹簧下端固定，将滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1m处，滑块与弹簧不拴接，现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h，并作出其E k -h图象，其中高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，g取10m/s 2 ，由图象可知
Ａ．小滑块的质量为0.2kg
Ｂ．弹簧最大弹性势能为0.７J
Ｃ．轻弹簧的初始压缩量为0.25m
D.小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.5J
【答案】A
【解析】由题意知h=0.2m时滑块脱离弹簧做竖直上抛运动,由图知此过程初动能为,对竖直上阶段应用机械能守恒得,解得,A正确.从开始释放到上升到最高点的过程中由能量守恒可知弹簧的最大弹性势能等于滑块增加的最大重力势能,即,Ｂ错误.由于滑块从h=0.2m离开弹簧开始做匀变速运动，故弹簧原长为0.2m，而滑块开始运动时的高度为0.1m，故弹簧的初始压缩量为0.1m，Ｃ错误。小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小时其动能最大,由图知其最大动能超过0.3J,系统总能量等于滑块的最大重力势能,故系统总势能一定小于0.4J,D错误.
3.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ ）
ww w.ks5 u.co m
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能变化了
D．弹簧的最大压缩量必大于其最大拉伸量
【答案】C
【解析】圆环下滑过程中除了重力外还有弹簧的弹力做功，故其机械能不守恒，A错误。在圆环下滑过程中当圆环运动到弹簧与滑杆垂直时弹簧的长度最小、压缩量最大；由能量守恒可知当圆环下滑到最低点时，圆环减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹簧的弹性势能大于弹簧在压缩量最大时的弹性势能，则在最低点弹簧必然处于拉伸状态且此时的拉伸量大于圆环下滑过程中的最大压缩量，进而可知弹簧的弹性势能必是先增大后减小再增大的，BD错误C正确。
4.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h。圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A；弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g，则圆环
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做功为
C．在C处，弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
【答案】BD
【解析】设弹簧弹力与杆间夹角为，则下滑过程中，，加速度随x增大、θ减小而增大，到B处a减小到零、速度达到最大；之后加速度反向从零增大，到C处速度为零、加速度增加到最大，A错误。由于在上滑与下滑过程中同一位置摩擦力大小相同，故上滑过程克服摩擦力做功与下滑过程克服摩擦力做功相同，而整个过程中重力、弹力势能变化量皆为0，由能量守恒知摩擦产生的热量等于外界提供的动能：，得，B正确。对下滑过程由能量守恒知减少的重力势能等于增加的弹性势能与克服摩擦力产生的热量：，C错误。设AB间距离为h’，在下滑中从A到B经过B的过程中，由能量守恒有，在上滑中从B到A经过B的过程中，由能量守恒有，故D正确。
5.如图所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a处套一质量为m的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a处在同一水平线上的O点，O、b两点处在同一竖直线上．由静止释放圆环后，圆环沿杆从a运动到b，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环的机械能保持不变
B．弹簧对圆环一直做负功
C．弹簧的弹性势能逐渐增大
D．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】D
【解析】由几何关系可知，当环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小．所以在环从a到C的过程中弹簧对环做正功，而从C到b的过程中弹簧对环做负功，所以环的机械能是变化的．故A错误，B错误；当环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小，所以弹簧的弹性势能先减小后增大．故C错误；在整个的过程中只有重力和弹簧的弹力做功，所以圆环和弹簧组成的系统机械能守恒．故D正确．
6.光滑水平面上放着质量m=2kg的物块B， B可视为质点。 挡板和B之间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与挡板栓接，与B不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能EP=49J。在挡板和B之间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图12所示。放手后B向右运动，绳在极短时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，轨道半径 R=0.5m，B恰能到达最高点C。取g=10m／s2，求
(1)绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；
(2)绳拉断过程绳对B所做的功W。
【答案】（1）5m/s (2)-24J
【解析】（1）设B在绳被拉断后瞬间的速度为,到达C点时的速度为，有
代入数据得
（2）设弹簧恢复到自然长度时B的速度为，有
代入数据得 W = -24J
负号表示绳对B做负功。
【题组二】单振子系统中相同形变量的两过程
1.如图所示，一轻质弹簧下端固定，直立于水平地面上，将质量为m的物体A从离弹簧顶端正上方h高处由静止释放，当物体A下降到最低点P时，其速度变为零，此时弹簧的压缩量为x0；若将质量为2m的物体B从离弹簧顶端正上方h高处由静止释放，当物体B也下降到P处时，其速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当质量为m的物体从离弹簧顶端正上方h高处下落至最低点P的过程，克服弹簧做功为W，由动能定理得：mg（h+x0）﹣W=0 .当质量为2m的物体从离弹簧顶端正上方h高处下落至P的过程，设2m的物体到达P点的速度为v ,由动能定理得：2mg（h+x0）-W=mv2 .联立得：v=,D正确，
2.如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a 点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.8 m，bc＝0.4 m，那么在整个过程中 ( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
【答案】BCD
【解析】滑块能回到原出发点，所以机械能守恒，D正确；以c点为参考点，则a点的机械能为6 J，c点时的速度为0，重力势能也为0，所以弹性势能的最大值为6 J，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减小量，故为6 J，所以B、C正确．由a→c时，因重力势能不能全部转变为动能，故A错误．
3.如图所示，固定斜面的倾角，物体A与斜面之间的动摩擦因数为，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点。用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m，B的质量为m，初始时物体A到C点的距离为L。现给A、B一初速度使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧中的最大弹性势能。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）A和斜面间的滑动摩擦力
物体A向下运动到C点的过程中，根据能量关系有
（2）从物体A接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C点，对系统应用动能定理，
（3）弹簧从压缩最短到恢复原长的过程中，根据能量关系有
因为
所以
4.如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0．8m的圆环剪去了左上角l35°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m1=0．4kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m2=0．2kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动，由B到D位移与时间的关系为x=6t-2t2，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线进入圆轨道，g=lOm／s2，不计空气阻力。求：
(1)BD间的距离；
(2)判断小物块m2能否沿圆轨道到达M点(要求写出判断过程)；
(3)小物块m2由C点释放运动到D过程中克服摩擦力做的功。
【答案】(1)2.5m(2)不能 判断见解析(3)5.6J
【解析】（1）由物块过B点后其位移与时间的关系得
设物块由D点以初速做平抛，落到P点时其竖直速度为
得
BD间位移为
(2)若物块能沿轨道到达M点，其速度为
得
若物块恰好能沿轨道过M点，则 解得>
即物块不能到达M点
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为EP，
释放
释放
且
在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf，
则 可得
5.如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。（取）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。
（2）求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】（1）根据题意知，B、C之间的距离l为l=7R–2R①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
②
式中θ=37°，联立①②式并由题给条件得
③
（2）设BE＝x.P到E点速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有
E、F之间的距离l1为l1=4R-2R+x
P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有
联立③式并由题给条件得x=R、
（3）设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为⑨
⑩
式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。
设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有
x1=vDt
联立⑨⑩ 式得
设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有
联立⑦⑧ 式得
【题组三】给定弹性势能与开变量间关系或相关图像
1.如图所示，A物体质量为m， B质量为2m，用一轻绳相连，将A用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止状态，此时弹簧的伸长量为x，弹性势能为Ep，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内。现将悬线剪断，则在以后的运动过程中，A物体的
A．最大动能为Ep－mgx
B．最大动能为Ep＋mgx
C．速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep
D．速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep
【答案】AD
【解析】初始状态下,此时弹性势能为EP.当A物体的速度、动能达到最大时,弹簧弹力一定与A物体重力相平衡,即此时弹簧仍处于拉伸状态且弹力大小为,故此时弹性势能为.由弹力做功与弹性势能之间的关系有,再由动能定理有,AD正确.
2.如图甲所示，质量分别为m、M的物体A、B静止在劲度系数为k的弹簧上，A与B不粘连。现对物体A施加竖直向上的力F使A、B一直上升，若以两物体静止时的位置为坐标原点，两物体的加速度随位移变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是
A.在乙图PQ段表示拉力F逐渐增大
B.在乙图QS段表示物体B减速上升
C.位移为x1时，A、B之间的弹力为mg-kx1-Ma0
D.位移为x3时，A、B一起运动的速度大小为
【答案】AC
【解析】在PQ段两物体加速度恒定、合力恒定，但弹簧弹力逐渐减小，故拉力Ｆ应逐渐增大，以保证合力恒定，A正确。在QS段物体Ｂ的加速度虽减小，但方向未变，仍与速度方向相同，故此阶段内物体B做加速度减小的加速运动，B错误。设两物体静止时弹簧的压缩量为x0，有，当位移为x1时，对B物体有，联立可得，C正确。在QS段加速度及合外力随位移均匀变化，故由动能定理有，故，D错误。
3.如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能Ep＝kx2.其中k为弹簧的劲度系数，x为其形变量．现有质量为m1的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定，按住物块m1，弹簧处于自然长度，在m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩．现在将质量为m2的小物体轻轻的挂在挂钩上．设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，释放m1.求：
(1)m1速度达最大值时弹簧伸长的长度；
(2)m1的最大速度值．
【答案】(1).(2).
【解析】(1)FT－kx＝m1a①
m2g－FT＝m2a②
由①②得m2g－kx＝(m1＋m2)a，③
当a＝0时，m1、m2速率达最大值，所以x＝.④
(2)系统机械能守恒，以弹簧原长处为弹性势能零点，m2刚挂上时的位置为重力势能零点，则系统初态机械能为零，故有：(m1＋m2)v2＋kx2－m2gx＝0⑤
将④式代入⑤式解得v＝±，
故速度大小为v＝.
4.如图所示，足够长的固定木板的倾角为37°，劲度系数k=36N/m的轻质弹簧的一端固定在木板上的P点，图中A、P间距等于弹簧的自然长度，现将质量m=1kg的可视为质点的物块放在木板上，在外力作用下将弹簧压缩到某一位置B点后释放，已知木板PA段光滑，AQ段粗糙，物块与木板间的动摩擦因数μ=，物块在B点释放后将向上运动，第一次到达A点时速度大小为v0=3m/s．取重力加速度g=10m/s2
（1）求物块第一次向下运动到A点时的速度大小v1；
（2）已知弹簧弹性势能表达式为EP=kx2（其中x为弹簧形变量），求物块第一次向下运动过程中的最大速度值v；
（3）求物块在A点上方运动的总时间t．
【答案】（1）3m/s．（2）（3）
【解析】（1）设物块从A点向上滑行的最大距离为S．根据动能定理，
上滑过程有：﹣mgSsin37°﹣μmgScos37°=0﹣
下滑过程有：mgSsin37°﹣μmgScos37°=﹣0
联立解得：S=1.5m，v1=3m/s
（2）物块第一次向下运动过程中合力为零时速度最大，则有：
mgsin37°=kx
根据物块和弹簧组成的系统机械能守恒得：
解得：
（3）设物块在A点上方上滑和下滑的时间分别为t1和t2．则有：
，
总时间为：t=t1+t2；
联立解得：
5.如图甲所示,一条轻质弹簧左端固定在竖直墙面上,右端放一个可视为质点的小物块,小物块的质量为m=1.0 kg,当弹簧处于原长时,小物块静止于O点。现对小物块施加一个外力F,使它缓慢移动,将弹簧压缩至A点,压缩量为x=0.1 m,在这一过程中,所用外力F与压缩量的关系如图乙所示。然后撤去F释放小物块,让小物块沿桌面运动,已知O点至桌边B点的距离为L=2x,水平桌面的高为h=5.0m,计算时,可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力。(g取10 m/s2) 求:
(1)在压缩弹簧过程中,弹簧存贮的最大弹性势能.
(2)小物块落地点与桌边B的水平距离.
【答案】(1)2.3 J (2)2 m/s 2 m
【解析】(1)取向左为正方向,从F—x图中可以看出,小物块与桌面间的滑动摩擦力大小为Ff=1.0 N,方向为负方向 ①
在压缩过程中,摩擦力做功为Wf=-Ff·x=-0.1 J ②
由图线与x轴所夹面积可得外力做功为WF=(1.0+47.0)×0.1÷2 J=2.4 J ③
所以弹簧存贮的弹性势能为Ep=WF+Wf=2.3 J ④
(2)从A点开始到B点的过程中,由于L=2x,摩擦力做功为
Wf′=Ff·3x=0.3 J ⑤
对小物块用动能定理有 ⑥
解得vB=2 m/s ⑦
物块从B点开始做平抛运动 ⑧
下落时间t=1 s
水平距离s=vBt=2 m ⑨
h
h/m
0.1 0.2 0.3
0.3
0.2
0.1
0
Ek /J
3图
2图
3题图
A
B
1图
3图
甲
乙第八章 机械能守恒定律
小专题7 弹簧模型中的功能问题（一）
1.由力与运动的关系分析物体的运动过程
（1）单振子振动系统
单振子系统是指弹簧一端连接物体、另一端固定的物理情景。
物体受到的外力除弹簧的弹力外都是恒力时，物体的运动只能是变加速运动。
物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，当物体的加速度为零时速度最大；速度为零时加速度最大。
物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。
为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点。
当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力，以保证物体所受的合力恒定。
（2）双振子系统
双振子系统是指轻质弹簧两端都边接着物体，两物体在外力作用下皆处于运动之中的物理情景。
双振子系统中两物体的速度相等时物体间距离出现极值（最大或最小），弹簧的弹性势能达到最大，注意是速度相等而非速率相等时。
双振子系统中两物体的加速度相等时物体间的速度差值达到最大
双振子系统的运动过程分析也可结合速度图象，有时需利用（动量定理、动量守恒）功能原理、能量守恒等进行辅助分析
2.涉及弹簧的弹性势能的定量计算
（1）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系（有时需结合动量守恒）。
（2）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：
①位置的对称性
当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。
②位置变化的相同性
当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。
③弹性势能公式
当弹性势能公式Ep＝kx2做为题设条件时可直接使用。
【题组一】单振子系统中动能定理或能量守恒的应用
1.轻质弹簧竖直放置在地面上，自由长度在A点，现从A端静止放一可看成质点的物体M，M压缩弹簧下落到的最低点是C，最后静止在位置B点，整个过程中弹簧均处于弹性限度内，M运动过程总在竖直一条线上，不计空气阻力影响，则（ ）
A、M从A到B是匀加速直线运动，在C点时受弹簧弹力大小为2Mg
B、M从A点下落到停在B点的过程中，M的机械能守恒
C、M从A到C的过程中，在B点时M动能最大，在C点时弹簧的弹性势能最大
D、M从B到C的过程中，重力做功大于M克服弹簧弹力做功
2.如图所示，竖直光滑杆固定不动，弹簧下端固定，将滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1m处，滑块与弹簧不拴接，现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h，并作出其E k -h图象，其中高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，g取10m/s 2 ，由图象可知
Ａ．小滑块的质量为0.2kg
Ｂ．弹簧最大弹性势能为0.７J
Ｃ．轻弹簧的初始压缩量为0.25m
D.小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.5J
3.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ ）
ww w.ks5 u.co m
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能变化了
D．弹簧的最大压缩量必大于其最大拉伸量
4.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h。圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A；弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g，则圆环
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做功为
C．在C处，弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
5.如图所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a处套一质量为m的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a处在同一水平线上的O点，O、b两点处在同一竖直线上．由静止释放圆环后，圆环沿杆从a运动到b，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环的机械能保持不变
B．弹簧对圆环一直做负功
C．弹簧的弹性势能逐渐增大
D．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒
6.光滑水平面上放着质量m=2kg的物块B， B可视为质点。 挡板和B之间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与挡板栓接，与B不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能EP=49J。在挡板和B之间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图12所示。放手后B向右运动，绳在极短时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，轨道半径 R=0.5m，B恰能到达最高点C。取g=10m／s2，求
(1)绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；
(2)绳拉断过程绳对B所做的功W。
【题组二】单振子系统中相同形变量的两过程
1.如图所示，一轻质弹簧下端固定，直立于水平地面上，将质量为m的物体A从离弹簧顶端正上方h高处由静止释放，当物体A下降到最低点P时，其速度变为零，此时弹簧的压缩量为x0；若将质量为2m的物体B从离弹簧顶端正上方h高处由静止释放，当物体B也下降到P处时，其速度为（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a 点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.8 m，bc＝0.4 m，那么在整个过程中 ( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
3.如图所示，固定斜面的倾角，物体A与斜面之间的动摩擦因数为，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点。用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m，B的质量为m，初始时物体A到C点的距离为L。现给A、B一初速度使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧中的最大弹性势能。
4.如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0．8m的圆环剪去了左上角l35°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m1=0．4kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m2=0．2kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动，由B到D位移与时间的关系为x=6t-2t2，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线进入圆轨道，g=lOm／s2，不计空气阻力。求：
(1)BD间的距离；
(2)判断小物块m2能否沿圆轨道到达M点(要求写出判断过程)；
(3)小物块m2由C点释放运动到D过程中克服摩擦力做的功。
5.如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。（取）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。
（2）求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【题组三】给定弹性势能与开变量间关系或相关图像
1.如图所示，A物体质量为m， B质量为2m，用一轻绳相连，将A用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止状态，此时弹簧的伸长量为x，弹性势能为Ep，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内。现将悬线剪断，则在以后的运动过程中，A物体的
A．最大动能为Ep－mgx
B．最大动能为Ep＋mgx
C．速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep
D．速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep
2.如图甲所示，质量分别为m、M的物体A、B静止在劲度系数为k的弹簧上，A与B不粘连。现对物体A施加竖直向上的力F使A、B一直上升，若以两物体静止时的位置为坐标原点，两物体的加速度随位移变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是
A.在乙图PQ段表示拉力F逐渐增大
B.在乙图QS段表示物体B减速上升
C.位移为x1时，A、B之间的弹力为mg-kx1-Ma0
D.位移为x3时，A、B一起运动的速度大小为
3.如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能Ep＝kx2.其中k为弹簧的劲度系数，x为其形变量．现有质量为m1的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定，按住物块m1，弹簧处于自然长度，在m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩．现在将质量为m2的小物体轻轻的挂在挂钩上．设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，释放m1.求：
(1)m1速度达最大值时弹簧伸长的长度；
(2)m1的最大速度值．
4.如图所示，足够长的固定木板的倾角为37°，劲度系数k=36N/m的轻质弹簧的一端固定在木板上的P点，图中A、P间距等于弹簧的自然长度，现将质量m=1kg的可视为质点的物块放在木板上，在外力作用下将弹簧压缩到某一位置B点后释放，已知木板PA段光滑，AQ段粗糙，物块与木板间的动摩擦因数μ=，物块在B点释放后将向上运动，第一次到达A点时速度大小为v0=3m/s．取重力加速度g=10m/s2
（1）求物块第一次向下运动到A点时的速度大小v1；
（2）已知弹簧弹性势能表达式为EP=kx2（其中x为弹簧形变量），求物块第一次向下运动过程中的最大速度值v；
（3）求物块在A点上方运动的总时间t．
5.如图甲所示,一条轻质弹簧左端固定在竖直墙面上,右端放一个可视为质点的小物块,小物块的质量为m=1.0 kg,当弹簧处于原长时,小物块静止于O点。现对小物块施加一个外力F,使它缓慢移动,将弹簧压缩至A点,压缩量为x=0.1 m,在这一过程中,所用外力F与压缩量的关系如图乙所示。然后撤去F释放小物块,让小物块沿桌面运动,已知O点至桌边B点的距离为L=2x,水平桌面的高为h=5.0m,计算时,可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力。(g取10 m/s2) 求:
(1)在压缩弹簧过程中,弹簧存贮的最大弹性势能.
(2)小物块落地点与桌边B的水平距离.
h
h/m
0.1 0.2 0.3
0.3
0.2
0.1
0
Ek /J
3图
2图
3题图
A
B
1图
3图
甲
乙
