数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算（共36张ppt）

(共36张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
第 6章平面向量及其应用
人教A版2019必修第二册
学习目标
1.掌握向量的数乘运算及几何意义；
2.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算；
3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线.
3
3.向量减法三角形法则:
复习回顾
1、向量加法法则：


A
B
C

三角形法则：首尾相接, 首指尾为和

A
B
O
C


平行四边形法则：共起点, 共点对角线为和
A
B
O



A
B
C
D





“共起点连终点，箭头指向被减向量”
探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？
如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即.
类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
(1)
(2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
由(1)可知，当时，.
由(1)(2)可知，.
你对零向量、相反向量有什么新的认识？
零乘任何向量的结果为零向量；
乘任何向量得到这个向量的相反向量.
思考：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.
设为实数，那么
你能证明这些运算律吗？
(1)
(2)
(3)
证明(1)
证：当或或时，上式显然成立.
当或或时，由向量数乘运算的定义，得：
，
所以.
当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同；
当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反.
例5.计算：
(1)；(2)(3)
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
例6.如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和.
解：在□中，
由平行四边形的两条对角线互相平分，得：
课堂练习
1. 任画一向量 ，分别求作向量 .
A
C
B
2. 点C在线段AB上，且 ，则
C
A
B
作法：
M
P
N
3. 把下列各小题中的向量 表示为实数与向量 的积：
随堂检测
1.化简：
(1)(2)
解：(1)原式
(2)原式
2.如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，.
解：∵∴
∴
∵∴
∴.
一、① 的定义及运算律.
②向量共线基本定理.
二、 定理的应用：
1.证明向量共线： 向量 与 共线
2.证明三点共线： A，B，C三点共线
3.证明两直线平行：
AB与CD不在同一条直线上
课堂小结
6.2.3向量的数乘运算
（第2课时）
第 6章平面向量及其应用
人教A版2019必修第二册
探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
可以发现，实数与向量的积与原向量共线.
事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线.
反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有
综上，我们有如下定理：(共线向量定理)
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示.
例7.如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线.
事实上，因为，
，
所以.
因此，，三点共线.
例8.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值.
解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即.
由不共线，必有.否则，不妨设，则.
由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾.
由解得
因此，当向量，共线时，.
课堂练习
随堂检测
A，B，D
∴A，B，D三点共线.
解析　因为A，B，D三点共线，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
5.设是不共线的两个向量.
(2)若与共线，求实数的值.
解：(2)∵与共线，
∴存在实数，使得
即
∵与不共线，∴解得
共线向量定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示.
注：定理中不能漏掉.若，则实数可以是任意实数；若，,则不存在实数，使得.
课堂小结