安徽省池州市青阳县2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

青阳县2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试卷
考试范围：1.1-3.1；
时长：120分钟；分值：150分
注意事项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且，则等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，棱BC，的中点分别为E，F，则直线EF与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．a，b，c为直角三角形三边长，且c为斜边，点在直线上，则最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知O为坐标原点，A、B分别是椭圆C：的左、右顶点，M是椭圆C上不同于A、B的动点，直线AM、BM分别与y轴交于点P、Q．则（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法中正确的是（ ）
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果向量、与平面α共面，且向量满足，，那么就是平面α的一个法向量
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线必过定点
C．直线在y轴上的截距为－2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．若，则圆与圆相离
C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆始终有两个交点
12．已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M是线段AB的中点，则（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为， B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为 D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，，若，则 ．
14．已知和B点关于直线对称，则B点坐标为 ．
15．设P为方程表示曲线上的点，M、N分别为圆和圆上的点，则的最小值为 ．
16．直线l：与曲线C：有两个公共点，则b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线过点，且直线和垂直；
（2）若直线和平行，且直线在y轴上的截距为关于－3；
18．（本小题12分）
如图，在三棱柱中，平面ABC，，，M为线段上一点．
（1）求证：；
（2）若直线与平面BCM所成角为，求点到平面BCM的距离．
19．（本小题12分）
已知圆C：及直线l：．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
20．（本小题12分）
椭圆E：的离心率为，F为椭圆的右焦点，椭圆外一点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（1）求E方程；
（2）斜率为的直线l过点A且与E相交于P、Q两点，求△OPQ的面积．
21．（本小题12分）
如图，在几何体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，平面ABC，，且是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
22．（本小题12分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程
（2）过椭圆右焦点且斜率为k（）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于OP（其中O为原点），证明直线l过定点．
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A D B A B ABC BC BD BCD
9．ABC
【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误；利用空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可判断C选项的正误；根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误．
【详解】
对于A选项，由法向量的定义可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，A选项正确；
对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确；
对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确；
对于D选项，只有当、不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误．
故选：ABC．
【点睛】本题考查平面法向量定义的应用，同时也考查了平面间的位置关系与法向量之间的关系，考查推理能力，属于基础题．
10．BC
【解析】解：
对A：，解得或，A不正确；
对B：直线可变为，
因此直线必过定点，即B正确；
对C：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为－2，所以C正确．
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；
11．BD
【详解】因为：，：，
对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；
对B，当时，，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；
对D，直线过定点，而，
故点在圆：内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确．
故选：BD
12．【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程，求出a、c，即可判断A、B，设，，利用点差法求出直线l的斜率，即可得到直线方程，从而判断C，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可判断D；
【详解】解：由椭圆方程，所以，，所以，故，
所以椭圆C的焦点坐标为，，故A错误；
因为，所以椭圆C的长轴长为，故B正确；
设点，，则，两式相减可得，
整理得，
因为点M是线段AB的中点，且，
所以，所以，所以直线l的方程为，即，故C正确；
由，得，
所以，，
所以，故D正确．
故选：BCD
13．－4
14．
15．9
16．
二、解答题
17．
（1），
（2），
【分析】
（1）由于直线和垂直，故，
又直线过点，故，
联立两式，解得，．
故有，．
（2）由于直线和平行，故，
直线在y轴上的截距为－3，则，
联立解得，．
故有，．
18．
（1）因为平面ABC，AB，平面ABC，
所以，，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，，
，，
因为，
所以，即，
（2）设平面BCM的法向量为，
，，
所以有，
因为直线与平面BCM所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面BCM的距离为：．
19．（1）证明见解析；（2）；．
【详解】
（1）证明：把直线l的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线l总过定点．
圆C的方程可写成，所以圆C的圆心为，半径为5．
因为定点到圆心的距离为，即点在圆内，
所以过点的直线l总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交
（2）设直线l与圆交于A、B两点．
当直线l过定点且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长最短．
因为，
此时，
所以直线AB的方程为，即．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为，此时直线l的方程为．
20．【答案】（1）；（2）1
【小问1详解】设椭圆E：的右焦点，
因为直线AF的斜率为，所以，解得．
又椭圆E：的离心率为，即，可得，．
故E的方程为．
【小问2详解】设，，
因得，所以，
则
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）取的中点F，连接EF，，
∵，
∴，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴CE∥平面．
（Ⅱ）取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则，，，
∴，．
设平面的法向量是，
则，
即，令，得，
易知平面的一个法向量是，
∴，
又二面角是钝二面角，
∴二面角的余弦值为．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
（1）依题意，，
∴，又，，
∴，
∴
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知右焦点坐标为，设直线m方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线OP的斜率
∴直线l的斜率，令得点E坐标为，
∴直线l的方程为，即
∴直线l恒过定点．