人教A版高中数学必修二 一课一练 6.2.3向量的数乘运算 同步练习 （含解析）

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6.2.3向量的数乘运算
1.[2022·浙江台州高一期末]3(2a－b)－2(a＋3b)的化简结果为(　　)
A．4a＋3b B．4a－9b
C．8a－9b D．4a－3b
2．[2022·广东惠州高一期末]在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝2DC，则＝(　　)
A．＋ B．－
C．＋ D．＋
3．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
4．化简：
(1)2(a－b)＋3(a＋b)；
(2)(a＋b)＋(a－b)；
(3)3(a＋2b)－2(a＋3b)－2(a＋b).
5.若＝，＝λ，则实数λ的值是(　　)
A． B．－
C． D．－
6．[2022·福建泉州高一期中]如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若＝m＋n，则2m＋n＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
7．[2022·广东广州高一期中]设e1、e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值为________．
8．两个非零向量a，b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
9．已知D为△ABC的边BC的中点，E为AD上一点，且＝3，若＝a，试用a表示＋＋.
10．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
11.[2022·山东潍坊高一期中]在△ABC中，＝－，则P点(　　)
A．在线段BC上，且＝
B．在线段CB的延长线上，且＝
C．在线段BC的延长线上，且＝
D．在线段BC上，且＝
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案：
1．解析：由题意，3(2a－b)－2(a＋3b)＝4a－9b.故选B.
答案：B
2．解析：因为在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝2DC，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故选D.
答案：D
3．解析：∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
4．解析：(1)2(a－b)＋3(a＋b)
＝2a－2b＋3a＋3b
＝5a＋b.
(2)(a＋b)＋(a－b)
＝a＋b＋a－b
＝a.
(3)3(a＋2b)－2(a＋3b)－2(a＋b)
＝3a＋6b－2a－6b－2a－2b
＝－a－2b.
5．解析：由＝，则A，P，B三点共线，且＝，
所以＝，即＝－.故选D.
答案：D
6．解析：依题意得，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
故＝＋＝＋＝－＋(＋)＝－，
所以m＝，n＝－，
故2m＋n＝2×－＝－.故选A.
答案：A
7．解析：由A、B、D三点共线，可得＝λ(λ≠0)，又＝2e1＋ke2，＝＋＝3e1＋2e2，
则2e1＋ke2＝3λe1＋2λe2，又e1、e2不共线，则，解得k＝.
答案：
8．证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5a＋5b，则＝5，
所以，共线，两个向量有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
9．解析：如图，
∵＝3，且＝a，
∴＝＝a，＝－＝－a，
又D为边BC的中点，
∴＋＝2＝a，
∴＋＋＝－a＋a＝－a.
10．解析：b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μ a.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ) a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线．
11．解析：由题设，－＝(－)，则＝，
所以C，P，B共线且P在CB延长线上，＝.故选B.
答案：B
12．解析：(1)在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，
故＝＝a＋b，
＝＝b，
＝－＝a＋b－a＝b－a，
＝－＝b－a；
(2)证明：因为＝b－a＝(b－2a)，＝(b－2a)，
所以＝，
所以∥，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
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