人教A版高中数学必修二 一课一练 6.2.4向量的数量积 同步练习 （含解析）

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6.2.4向量的数量积
1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则·＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．5
2．[2022·山东东营高一期末]若向量a，b满足＝＝2，〈a，b〉＝120°，则＝(　　)
A．4 B．12
C．2 D．2
3．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影向量为________．
4．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为，求：
(1)a·b；
(2)(a－2b)·(a＋b).
5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)
A．24 B．6
C．18 D．－24
6．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a，b满足＝2，＝1，a·(a－b)＝5，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
7．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a，b，c是满足a＋b＋c＝0，a⊥b，(2a－b)⊥c，若＝，则＝________．
8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－2b)＝2，且|a|＝，|b|＝2.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求.
9.[2022·广东珠海高一期末]已知＝，|b|＝1，且a与a－2b相互垂直．
(1)求向量a与向量b的夹角θ的大小；
(2)求.
10．在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．≤＋
B．a·b≤·
C．若＝，则a＝b
D．若＝，则a⊥b
12．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
答案：
1．解析：由题设，·＝||||cos ∠BAE＝||2＝4.故选B.
答案：B
2．解析：由＝＝2，〈a，b〉＝120°，
可得a·b＝·cos 〈a，b〉＝2×2×cos ＝－2，
所以＝
＝
＝
＝
＝2.故选D.
答案：D
3．解析：因为a在b方向上的投影为cos 135°＝－，与b同向的单位向量为＝b，所以a在b方向上的投影向量为－b.
答案：－b
4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|cos ＝4×2×(－)＝－4；
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝|a|2－a·b－2|b|2＝42＋4－2×22＝12.
5．解析：因为＝，
所以＝＝(－)，
所以＝＋＝＋(－)＝＋.
因为等边三角形ABC的边长为6，
所以·＝6×6cos 60°＝18，
所以·＝(＋)·
＝·＋2
＝×18＋×36＝24，故选A.
答案：A
6．解析：因为＝2，＝1，a·(a－b)＝5，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝2－a·b＝5，所以a·b＝－1，
设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
因为θ∈，所以θ＝.故选C.
答案：C
7．解析：因为a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，
又因为a⊥b，(2a－b)⊥c，且＝，
可得(2a－b)·c＝(2a－b)·＝－2a2－a·b＋b2＝－2×()2－0＋2＝0，
解得2＝4，所以＝2.
答案：2
8．解析：(1)由(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－3a·b－2b2＝4－3××2cos θ－8＝2，
得cos θ＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)由题意得|a＋b|＝＝＝.
9．解析：(1)由题意，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
所以2－2cos θ＝0，可得cos θ＝，而0≤θ≤π，
所以θ＝.
(2)由2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2＋1＝5，
所以＝.
10．解析：在△ABC中，易知＋＋＝0，
即a＋b＋c＝0，
因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，
从而
两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，
则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，
因为a·b＝c·a＝a·c，
所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b|，故||＝||＝||，
即△ABC是等边三角形．
11．解析：对A，2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2＋2··cos 〈a，b〉≤2＋2＋2·＝(＋)2，当且仅当a，b同向时等号成立，所以≤＋，故A正确；
对B，因为cos 〈a，b〉≤1，所以a·b＝··cos 〈a，b〉≤·，当且仅当a，b同向时等号成立，故B正确；
对C，若＝，因为a，b方向不一定相同，所以a，b不一定相等，故C错误；
对D，若＝，两边平方可得a·b＝0，所以a⊥b，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，则
解得
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－).
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