人教A版高中数学必修二 一课一练 6.3.1平面向量基本定理 同步练习 （含解析）

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6.3.1平面向量基本定理
1.已知e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2
B．2e2与e1＋e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．－3e1＋2e2与3e1－2e2
2．[2022·山东枣庄高一期末]平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F在边DC上且DF＝2FC，则＝(　　)
A．－＋ B．－＋
C．－ D．－
3．[2022·江苏徐州高一期中]如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设＝a，＝b，则＝________(请用a，b表示).
4．如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB，试用向量a，b来表示，.
5.[2022·河北沧州高一期末]如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则＝(　　)
A.＋ B．＋
C．－＋ D．－＋
6．[2022·湖南常德高一期末]如图所示，在长方形ABCD中，设＝a，＝b，又＝2，＝λa＋μb，则λ＋μ＝(　　)
A． B．－
C．1 D．
7．[2022·山东聊城高一期末]在△ABC中，D是BC中点，＝，AD与BE交于G，若＝λ，则λ＝________．
8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且AF＝3FC，记＝a，＝b.
(1)用向量a，b表示﹔
(2)用向量a，b表示.
9．[2022·广东顺德一中高一期中]在△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，E为BC边的中点，＝，设＝a，＝b，以a、b为基底，试求下列向量表达式；
(1)；
(2).
10．[2022·重庆八中高一期中]如图，平行四边形ABCD中，已知＝3，＝4，设＝a，＝b.
(1)用向量a和b表示向量，；
(2)若＝x，＝y，求实数x和y的值．
11.[2022·山东德州高一期末]如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设＝a，＝b，若＝，＝3，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．－a＋b D．a＋b
12．[2022·山东菏泽高一期中]如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC交于点M.设＝a，＝b.
(1)试用向量a，b表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设＝λ，＝μ，其中λ，μ∈R.证明：＋为定值，并求出该定值．
答案：
1．解析：A选项：令e1＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以，无实数解，所以e1与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令2e2＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以，无实数解，所以2e2与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令e1＋e2＝λ(e1－e2)，因为e1，e2不共线，所以，无实数解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知－3e1＋2e2＝－(3e1－2e2)，即－3e1＋2e2与3e1－2e2共线，不能作为平面向量基底．故选D.
答案：D
2．解析：如图所示，＝＋＝＋＝－＋.
故选A.
答案：A
3．解析：因为C是AB中点，
所以＝＋＝＋.
又因为＝－，
所以＝＋(－)＝＋，
即＝(a＋b).
答案：(a＋b)
4．解析：由AN＝AB，即＝，
所以＝－＝－＝a－b；
由BM＝BC，则＝＝，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
5．解析：＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋－＝－
＝(－)－＝－＋.故选C.
答案：C
6．解析：∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－＋，
即＝－a＋b，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝.故选A.
答案：A
7．解析：设＝k＝k(－)＝k－k，
所以，＝＋＝(1－k)＋k，
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
＝λ＝λ＋λ，
所以，解得.
答案：
8．解析：(1)由题可知： ＝，＝，＝，
所以＝＋＝＋＝b＋a.
(2)＝－＝－
＝(b＋a)－a＝－a＋b.
9．解析：(1)因为E为BC边的中点，由平行四边形法则知：＋＝2.
∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
∴＝2，
∴＝＝＝a＋b；
(2)＝－＝(＋)－＝(a＋b)－a＝a＋b.
10．解析：(1)＝－＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝a＋b；
(2)因为＝＋＝－＝y－x＝
y(a＋b)－x(a－b)＝(y－x)a＋(y＋x)b＝b.
即(y－x)a＋(y＋x－1)b＝0，
因为a与b不共线，从而，解得.
11．解析：因为＝，＝3，由正六边形的性质可知＝＝，＝＝，
所以＝(＋)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以＝＋＝－(＋)＋＋
＝－(－＋)＋＋(－)
＝－＋－
＝－＝－a＋b.故选B.
答案：B
12．解析：(1)设＝ma＋nb(m∈R，n∈R)，
由A，M，D三点共线，可知存在α(α∈R，且α≠－1)，使得＝α，
则－＝α(－)，
因为＝，所以＝a＋b，
由平面向量基本定理得，即m＋2n＝1，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在β(β∈R，且β≠－1)，使得＝β，
则－＝β(－)，
又＝，所以＝a＋ b，
由平面向量基本定理得 即3m＋n＝1，②
由①②得m＝，n＝，
故＝a＋b；
(2)证明：由于E，M，F三点共线，则存在实数γ(γ∈R，且γ≠－1)使得＝γ，即－＝γ(－)，
于是＝，
又＝λ，＝μ，
所以＝＝a＋b，
由平面向量基本定理得，消去γ，
得＋＝5，
故＋为定值，该定值为5.
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