人教A版高中数学必修二 一课一练 6.3.3平面向量数乘运算的坐标表示 同步练习 （含解析）

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6.3.3平面向量数乘运算的坐标表示
1.[2022·广东肇庆高一期末]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．－1
C．－2 D．3
2．[2022·福建龙岩高一期中]已知向量a＝(2，4)，b＝(1，λ)，且a∥b，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
3．(多选)[2022·山东泰安高一期中]在下列向量组中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
5.(多选)[2022·山东济宁高一期中]已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，点P在直线AB上，满足＝，则P点坐标可为(　　)
A．(－1，－2) B．(8，－6)
C．(－2，－1) D．(7，－6)
6．[2022·江苏宿迁高一期末]已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c平行，则实数k＝________．
7．[2022·辽宁锦州高一期末]已知a＝(x，m)，b＝(3x－2，x＋2).
(1)若a＝b，则m＝________．
(2)若存在实数x，使得a∥b，则实数m的取值范围是________．
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0，1)，且＝3，＝2，求点P、Q和向量的坐标．
9.[2022·河北武强中学高一期中]已知A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若＝，求D点的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
10．[2022·河北邯郸高一期中]已知平面向量e1＝(2，－1)，e2＝(3，－3)，＝－e1＋3e2，＝λe1＋2e2，＝－4e1＋2e2，且A，C，D三点共线．
(1)求的坐标；
(2)已知D(2，－1)，若A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标．
11.(多选)[2022·广东深圳中学高一期中]已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
12．[2022·山东潍坊高一期中]如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，＝，＝，AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ，求λ和μ的值；
(2)用向量，表示.
答案：
1．解析：由c＝λa＋μb＝(λ，2λ)＋(2μ，3μ)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)＝(3，4)，所以解得所以λ＋μ＝1，故选A.
答案：A
2．解析：由题意2λ＝1×4，λ＝2.故选A.
答案：A
3．解析：对A，因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；
对B，因为－1×(－2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；
对C，因为3×8－5×6＝－6≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；
对D，因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故D错误．故选BC.
答案：BC
4．解析：由已知可得M(，)，N(，)，
所以＝(，)，＝(－，－)，
由×(－)－×(－)＝0，所以和共线．
5．解析：由点P在直线AB上，满足＝，可得＝或＝－，设P(x，y)，则＝(x－3，y＋4)，＝(－12，6)，
若＝，可得，解得，即P(－1，－2)；
若＝－，可得，解得，即P(7，－6)；
故P(－1，－2)或P(7，－6).故选AD.
答案：AD
6．解析：因为向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，
所以a－2b＝(，3)，
又因为a－2b与c平行，
所以3k＝×，
解得k＝1.
答案：1
7．解析：(1)因为a＝b，所以 ，即m＝3；
(2)因为a∥b，所以存在实数λ，使得a＝λb成立，
则有 x(x＋2)＝m(3x－2)，因此该方程有实数解，
x(x＋2)＝m(3x－2) x2＋x(2－3m)＋2m＝0，于是有：
Δ＝(2－3m)2－8m≥0 m≥2，或m≤.
答案：(1)3　(2)(－∞，]∪[2，＋∞)
8．解析：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0，1)，
所以＝(－2，0)，＝(2，－2)，
所以＝3＝(－6，0)，＝2＝(4，－4)，
设P(x，y)，则有＝(x，y－1)，
所以，解得，
即P点的坐标为(－6，1)，
设Q(m，n)，则有＝(m，n－1)，
所以，解得，
可得Q(4，－3)，
因此向量＝(10，－4).
9．解析：(1)设D(x，y)，又因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)，
所以＝(1，－5)，＝(x－4，y－1)，
因为＝，
所以，得，
所以D(5，－4).
(2)由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，3)，
所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以4(k－2)－7(－5k－3)＝0，解得k＝－.
所以实数k的值为－.
10．解析：(1)因为e1＝(2，－1)，e2＝(3，－3)，所以e1与e2不共线，即e1与e2可以作为平面内的一个基底，
因为＝－e1＋3e2，＝λe1＋2e2
所以＝＋＝(λ－1)e1＋5e2，又＝－4e1＋2e2，
因为A，C，D三点共线，所以＝，解得λ＝－9.
所以＝＋＝－13(2，－1)＋4(3，－3)
＝(－26，13)＋(12，－12)＝(－14，1).
(2)由(1)知＝(－14，1)，又因为D(2，－1)，则有B(16，－2)，
因为＝－e1＋3e2＝(7，－8)，所以A(9，6)，
因为A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.
设E(x，y)，则＝(x－9，y－6)，
因为＝(－14，1)，所以，解得，即点E的坐标为(－5，7).
11．解析：因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以＝，＝(2，0)，＝(0，1)，
所以＝＝λ＋μ＝(2λ，μ)，
所以，
解得λ＝，μ＝－.
(2)设＝t，＝m＋n，
因为＝(，1)，＝(2，)，＝(2，1)，
所以＝(2，1)＝(m＋2n，m＋n).解得m＝，n＝，
即＝＋，所以＝t＝t＋t，
又因为M，E，N三点共线，所以t＋t＝1，t＝，
所以＝＋﹒
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