人教A版高中数学必修二 一课一练 6.3.4平面向量数量积的坐标表示 同步练习 （含解析）

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6.3.4平面向量数量积的坐标表示
1.[2022·湖北武汉高一期末]向量a＝(2，3)，b＝(3，λ)，且a⊥b，则实数λ＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
2．(多选)[2022·福建莆田一中高一期末]设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　)
A．(a－b)∥b B．(a－b)⊥b
C．a与b的夹角为 D．＝
3．[2022·河北邯郸高一期中]已知a＝(－3，2)，b＝，则a·(3a－2b)＝________．
4．[2022·山东潍坊高一期中]已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3).
(1)求(a＋b)·(a－b)；
(2)求cos 〈a，b〉．
5.[2022·山东菏泽高一期中]已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，m).若向量3a－b与向量b垂直，则＝(　　)
A． B．
C．3 D．5
6．(多选)[2022·江苏常州高一期中]设k为实数，已知直角三角形ABC中，＝(1，k)，＝(－2，3)，则k的可能取值为(　　)
A． B．5
C．－ D．
7．[2022·河北石家庄高一期末]已知向量a＝(4，2)，向量b＝(2－k，k＋1)，若＝，则k的值为________．
8．[2022·江苏扬州高一期末]在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－1).
(1)求|3a－b|；
(2)若m＝2a－b，n＝ta＋b，m⊥n，求实数t的值．
9.[2022·山东滨州高一期末]已知向量a＝(m，－1)，b＝(1，2).
(1)若(a＋b)⊥2b，求；
(2)若向量c＝(－2，1)，a∥c，求a与a－2b夹角的余弦值．
10．[2022·山东师范大学附中高一期中]已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：⊥；
(2)若四边形ABCD为矩形，求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
11.[2022·河北邯郸高一期末]在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝2，AB＝4，点M，N为边AB上动点，且MN＝1，则·的最小值为(　　)
A． B．3
C． D．9
12．[2022·江苏天一中学高一期中]已知向量a＝(1，)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t∈R).
(1)α＝，求当取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
答案：
1．解析：因为向量a＝(2，3)，b＝(3，λ)，a⊥b，则有2×3＋3λ＝0，解得λ＝－2，所以实数λ＝－2.故选C.
答案：C
2．解析：a－b＝(2－1，0－1)＝(1，－1)，(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故A选项错误，B选项正确；
cos 〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈，则a与b的夹角为，故C选项正确；
＝2，＝＝，≠，故D选项错误．故选BC.
答案：BC
3．解析：a·(3a－2b)＝3a2－2a·b＝3(9＋4)－2(－＋2)＝38.
答案：38
4．解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(－2，3)，
所以a＋b＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，a－b＝(1，2)－(－2，3)＝(3，－1)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－1×3＋5×(－1)＝－8；
(2)因为a＝(1，2)，b＝(－2，3)，
所以a·b＝1×(－2)＋2×3＝－2＋6＝4.
|a|＝＝，|b|＝＝，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝.
5．解析：因为3a－b＝(4，2m)，向量3a－b与b垂直，
所以(3a－b)·b＝0，所以－4＋2m2＝0，即m2＝2，
∴＝＝.故选A.
答案：A
6．解析：∵＝(1，k)，＝(－2，3)，
∴＝－＝(－3，3－k)，
若A＝90°，则·＝0，
∴－2＋3k＝0，解得k＝；
若B＝90°，则·＝0，
∴－3＋k(3－k)＝0，此时方程无解；
若C＝90°，则·＝0，
∴6＋3(3－k)＝0，解得k＝5.
结合选项可知AB正确，故选AB.
答案：AB
7．解析：∵＝，两边平方后得a·b＝0，
即4(2－k)＋2(k＋1)＝0，解得k＝5.
答案：5
8．解析：(1)3a－b＝3(1，1)－(2，－1)＝(1，4)，
所以|3a－b|＝＝.
(2)m＝2a－b＝2(1，1)－(2，－1)＝(0，3)，n＝ta＋b＝t(1，1)＋(2，－1)＝(t＋2，t－1)，
因为m⊥n，
所以m·n＝0·(t＋2)＋3(t－1)＝0，
解得t＝1.
9．解析：(1)因为a＝(m，－1)，b＝(1，2)，
所以a＋b＝(m＋1，1)，2b＝(2，4).
由(a＋b)⊥2b，可得(a＋b)·2b＝0，即2(m＋1)＋4＝0，
解得m＝－3，所以a＋2b＝(－1，3)，故＝.
(2)因为向量c＝(－2，1)，a∥c，所以m－2＝0，所以m＝2.
则a＝(2，－1)，a－2b＝(0，－5)，
所以cos 〈a，a－2b〉＝＝＝，
所以a与a－2b夹角的余弦值为.
10．解析：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4) ，
∴＝(1，1)，＝(－3，3).
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥.
(2)因为四边形ABCD为矩形，则＝.
设C点的坐标为(x，y)，则有(1，1)＝(x＋1，y－4)，
∴，∴，∴点C的坐标为(0，5).
由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，
∴·＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，＝＝2.
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝>0，
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.
11．解析：以A为坐标原点， AB为x轴建立如图所示平面直角坐标系：
根据题意得A(0，0)，B(4，0)，C(3，)，D(1，).
设M点坐标为(a，0)，所以N点坐标为(a＋1，0)，a∈[0，3]，
所以＝(a－1，－)，＝(a，－)，
所以·＝(a－1)·a＋(－)2＝a2－a＋3，
当a＝时，·取最小值，(·)min＝()2－＋3＝.故选A.
答案：A
12．解析：(1)当α＝时，b＝＝，
所以m＝a＋t b＝(1，)＋t(，)＝(1＋，＋)，
所以|m|＝ ×2＝，所以当t＝－2时|m|min＝0.
(2)依题意cos ＝，
若a⊥b，则a·b＝0，又a＝(1，)，b＝(cos α，sin α)，
所以＝ ＝2，＝＝1，
又因为2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＋2＝4＋1＝5，
2＝a2＋2t a·b＋t2b2＝2＋2t a·b＋t2＝4＋t2，
所以|a－b|＝，|a＋t b|＝，
(a－b)·(a＋t b)＝a2＋ta·b－a·b－t b2＝2－t2＝4－t，
则有＝，且t<4，
整理得3t2＋16t－12＝0，解得t＝－6或t＝，
所以存在t＝－6或t＝满足条件．
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