人教A版高中数学必修二 一课一练 6.4.1平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例 同步练习 （含解析）

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6.4.1平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例
1.若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　　)
A．内心　 B．外心
C．垂心　 D．重心
2．[2022·湖北黄冈高一期末]一物体在力F的作用下，由点A(10，5)移动到点B(4，2)，已知F＝(3，－5)，则F对该物体所做的功为(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
3．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：
(1)·的值；
(2)·的最大值．
5.(多选)[2022·福建泉州高一期中]点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．[2022·广东茂名高一期中]已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝，AB＝2，BC＝4，AD＝1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ＝1，则·的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
7．[2022·山东滨州高一期末]一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货．若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是________km/h.
8．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
9．已知平面四边形ABCD中，||＝||＝2||＝2，||＝，向量，的夹角为.
(1)求证：⊥；
(2)点E是线段BC中点，求·的值．
10．如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝2，＝6，＝2，且与的夹角为60°.
(1)求的模长；
(2)求·的值．
11.[2022·江苏南京高一期中]点O，N，P满足＝＝，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心，外心，垂心
B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，重心，内心
12．[2022·山东菏泽高一期末]如图，在△ABC中，已知AC＝1，AB＝3，∠BAC＝60°，且＋＋＝0.求cos ∠APC.
答案：
1．解析：如图，取AB的中点E，连接OE，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．故选D.
答案：D
2．解析：由题意得＝(－6，－3)，所以F对物体做的功W＝F·＝(3，－5)·(－6，－3)＝3×(－6)＋(－5)×(－3)＝－3.故选D.
答案：D
3．解析：＝－＝(3，6)＝，又因为 ·＝(4，－2)·(3，6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，所以＝＝2，＝＝3，
所以S＝·＝2×3＝30.
答案：30
4．解析：(1)建立如图所示平面直角坐标系：
则D(0，0)，C(0，1)，B(1，1)，设E(1，x)，(0≤x≤1)，
所以＝(1，x)，＝(1，0)，
所以·＝1×1＋x×0＝1；
(2)因为＝(1，x)，＝(0，1)，
所以·＝1×0＋x×1＝x，
因为0≤x≤1，
所以·的最大值是1.
5．解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
两边平方并化简得·＝0，
∴⊥，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选AD.
答案：AD
6.
解析：如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为AD∥BC，∠B＝，AB＝2，AD＝1，
所以D(2，)，不妨设P(x，0)，Q(x＋1，0)(0≤x≤3)，
则·＝(x－2，－)·(x－1，－)＝(x－2)(x－1)＋3＝x2－3x＋5＝(x－)2＋，
所以当x＝时，·取得最小值，故选D.
答案：D
7．解析：由题意，当小货船的航程最短时，航程路线为线段AC，
设小货船航行速度为v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向正东2 km/h，
AB＝250 m，BC＝250 m，在Rt△ABC中，有tan ∠BCA＝＝＝，
所以∠BCA＝，∠BAC＝，〈v1，v2〉＝＋＝，
所以v＝v2－v1，
所以|v|＝＝＝＝2，
所以小货船航行速度的大小为2 km/h.
答案：2
8．证明：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋－)＝(＋)·(＋)
＝－2＋2，
因为CA＝CB，所以－2＋2＝0，即·＝0，故AD⊥CE.
9．解析：(1)根据题意，画出示意图如下图所示，由题意可知||＝||＝2，∠BAD＝ ，所以三角形ABD为等边三角形，则＝2，又＝1，＝ ，所以2＋2＝2，即△BCD为直角三角形，且∠C＝，∠B＝ ，所以∠ABC＝＋＝，所以⊥ ；
(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2)，D(，1)，因为点E是线段BC中点，所以E， 则＝，＝ ，所以·＝·＝－＋2＝.
10．解析：(1)因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
因为＝6，＝2，与的夹角为60°，
所以2＝(＋)2＝2＋·＋2＝×36＋×6×2×＋×4＝，
所以＝；
(2)·＝(＋)·(－)＝－2＋·＋2
＝－×36＋×6×2×＋×4＝－.
11．解析：＝＝，则O到三个顶点距离相等，O是△ABC的外心，
＋＋＝0，设BC中点为D，则＋2＝0，N在中线AD上，同理得N在其他两条中线上，故N是△ABC的重心，
·＝·，则·(－)＝·＝0，故PA⊥BC，同理得PB⊥AC，P是△ABC的垂心，故选C.
答案：C
12．解析：由题意得||＝3，||＝1，，的夹角为∠BAC＝60°，
＋＋＝0，则＋＝－，
又＝－，＝－，所以＋＝－＋－＝－3，
故＝－(＋)，同理＝(＋)＝(－＋)＝(2－)，
于是
||2＝[－(＋)]2＝(2＋2·＋2)＝(9＋2×3×1×＋1)＝，
∴||＝，
||2＝2＝(2－4·＋42)
＝(9－4×3×1×＋4)＝，∴||＝，
∴cos ∠APC＝
＝
＝
＝＝＝.
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