人教A版高中数学必修二 一课一练 6.4.2第1课时 余弦定理 同步练习 （含解析）

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6.4.2第1课时 余弦定理
1.[2022·福建龙岩高一期中]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3，c＝2，则cos B的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．[2022·广东华南师大附中高一期中]若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．[2022·河北保定高一期末]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2a2＋2c2－2b2＝ac，则cos B＝________．
4．[2022·湖北鄂州高一期中]在△ABC中，已知a＝4，A＝，c＝b，求B.
5.[2022·福建莆田一中高一期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋c－b)(a＋c＋b)＝3ac.则A＋C的大小为(　　)
A． B．
C． D．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos2＝，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．[2022·河北邯郸高一期中]在△ABC中，cosB＝，AB＝5，BC＝2，则tan A＝________．
8．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC各角的度数．
9.在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值．
10．[2022·重庆七中高一期末]△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b)2＝c2＋3ab.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝3，c＝7，D为AB边上的中点，求CD的长．
11.[2022·福建福州一中高一期中]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b2＋c2＝24，则角A的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
12．[2022·山东泰安一中高一期中]如图，在平面四边形ABCD中，DA＝DC＝2，AB>BC，∠ADC＝60°，∠ABC＝90°，AC交BD于M点．
(1)若AD∥BC，求BD；
(2)若BD＝，求∠CAB.
答案：
1．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋4－2×2×3×＝7，解得a＝.
故cos B＝＝＝.故选B.
答案：B
2．解析：大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为θ，
则cos θ＝<0，
故θ为钝角，所以这个三角形是钝角三角形．故选B.
答案：B
3．解析：由已知，2a2＋2c2－2b2＝ac，所以cos B＝＝.
答案：
4．解析：∵a＝4，A＝，c＝b，
∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即16＝b2＋b2－2b×b×＝b2，解得b＝4
故c＝8，
由余弦定理可得cos B＝＝，
∵05．解析：因为(a＋c－b)(a＋c＋b)＝3ac，则(a＋c)2－b2＝3ac，则a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理可得cos B＝＝，
因为0答案：B
6．解析：由cos2＝ ＋cosC＝，
再由余弦定理得：＋×＝ b2＋c2＝a2.
故三角形为直角三角形故选A.
答案：A
7．解析：因为cos B＝，AB＝5，BC＝2，由余弦定理得AC＝＝5，
所以cos A＝＝，而A为三角形内角，故sin A＝＝，
所以tanA＝＝.
答案：
8．解析：∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
∴设a＝2x，b＝x，c＝(＋1)x，(x>0)，
由余弦定理可得：
cos A＝＝＝.
∴由0°同理可得cos B＝＝＝，可得B＝60°.
∴C＝180°－45°－60°＝75°.
9．解析：由余弦定理，得cos B＝，
有＝，得a2＋c2＝ac＋4，
由a＋c＝6，得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，
所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9，
所以，解得
10．解析：(1)cos C＝＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以C＝；
(2)因为(a＋b)2＝c2＋3ab，a＝3，c＝7，
所以有(3＋b)2＝49＋9b b＝8，b＝－5(舍去)，
cos B＝＝ ＝，
解得CD＝.
11．解析：由b2＋c2＝24＝2a2，则a2＝，
所以cos A＝＝≥＝，0所以0答案：B
12．解析：(1)∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝60°，∠DAB＝90°，又因为DA＝DC＝2，∠ADC＝60°，∴△DAC为等边三角形，∴AC＝2，所以Rt△ABC中，AB＝，故Rt△DAB中，BD2＝AD2＋AB2＝7，∴BD＝.
(2)设∠CAB＝θ，则AB＝2cos θ，∠DAB＝60°＋θ，
△DAB中，由余弦定理得DA2＋AB2－2DA·AB cos (60°＋θ)＝BD2＝7，
所以4＋4cos2θ－2×2×2cosθcos (60°＋θ)＝7.
∴4cos2θ－8cosθ(cos θ－sin θ)＝3，
∴4sin θcos θ＝3，
解得sin 2θ＝.
由题意可知：θ<90°－θ，得θ<45°，
所以2θ＝60°，得θ＝30°，即∠CAB＝30°.
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