人教A版高中数学必修二 一课一练 6.4.2第2课时 正弦定理 同步练习 （含解析）

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6.4.2第2课时 正弦定理
1.[2022·山东泰安高一期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝，B＝，a＝，则b的值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
2．[2022·福建龙岩高一期末]在△ABC中，已知A＝60°，a＝2，b＝2，则B＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
3．[2022·山东临沭高一期中]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值．
5.(多选)[2022·河北唐山高一期中]△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是(　　)
A．a＝4，b＝3，A＝ B．a＝3，b＝4，A＝
C．a＝3，b＝2，A＝ D．a＝1，b＝2，A＝
6．[2022·江苏泰州高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝b sin A，则sin B＝(　　)
A． B．
C． D．
7．[2022·湖北武汉高一期末]在△ABC中，已知(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝ac－c2.
(1)求B；
(2)若b＝5，cos C＝，求c.
9.[2022·湖南长沙高一期末]在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，且ab＝6，求△ABC的周长．
10．已知方程x2－b cos Ax＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．
11.[2022·江苏南通高一期末]已知△ABC为锐角三角形，AC＝2，A＝，则BC的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(1，) D．(，2)
12．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围．
答案：
1．解析：因为A＝，B＝，a＝，
由正弦定理得＝，即b＝＝＝.故选C.
答案：C
2．解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝，又b答案：B
3．解析：由正弦定理可得＝＝，则sin B＝cos B，tan B＝1，又B∈(0，π)，则B＝.故选C.
答案：C
4．解析：∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
5．解析：对于A，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝<，又B对于B，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝>，又B>A，有两解，错误；
对于C，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝<，又B对于D，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝>1，无解，错误．故选AC.
答案：AC
6．解析：由题意，a＝b sin A ，∴sin A＝sin B sin A ，
∵sin A≠0，∴sin B＝＝ .故选A.
答案：A
7．解析：(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，由正弦定理可得：(sin A－sin C cos B)cos A＝sin A cos B cos C，
sin A cos A＝cos B(sin C cos A＋sin A cos C)＝cos B sin B，
所以sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
所以△ABC是等腰或直角三角形．
答案：A
8．解析：(1)a2－b2＝ac－c2变形为a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，
(2)因为cos C＝，且C∈(0，π)，
所以sin C＝＝，
由正弦定理得：＝，即＝，
解得c＝7.
9．解析：(1)由a＝2c sin A及正弦定理得＝＝，
因为sin A>0，故sin C＝.
又∵△ABC 为锐角三角形，所以C＝.
(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cos ＝7，
∵ab＝6，得a2＋b2＝13，
解得或，
∴△ABC 的周长为a＋b＋c＝5＋.
10．解析：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝b cos A，x1x2＝a cos B，由题意得b cos A＝a cos B.
由正弦定理得2R sin B cos A＝2R sin A cos B，
∴sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin (A－B)＝0.
在△ABC中，0∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
11．解析：因为△ABC为锐角三角形，所以，
解得所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，即BC＝＝＝，
由所以BC的取值范围为(1，).故选C.
答案：C
12．解析：由正弦定理，得＝＝，
即＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin ，
又B∈，
∴B＋∈，
∴sin ∈，
∴L∈(2，3].
即△ABC的周长的取值范围为(2，3].
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