人教A版高中数学必修二 一课一练 6.4.2第4课时 余弦定理、正弦定理综合问题 同步练习 （含解析）

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6.4.2第4课时 余弦定理、正弦定理综合问题
1.在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
2．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝(　　)
A．60°或120° B．30°
C．60° D．45°
3．[2022·河北唐山高一期末]△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，其面积为S.若4S＝a2＋c2－b2，则角B＝________．
4．[2022·广东珠海高一期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC边上，AD＝，∠ADB＝60°.
(1)求AB的长度；
(2)若CD＝2，求AC的长度．
5.[2022·山东菏泽高一期末]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且＝，当a＝，b＝2时，△ABC的面积是(　　)
A． B．
C． D．
6．[2022·辽宁重点高中协作体高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝abc.若C＝，则S的最大值为(　　)
A．2 B．
C．2 D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(b cos C＋c cos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________．
8．[2022·天津杨柳青高一期末]在△ABC中，a cos B＝b sin A.
(1)求∠B；
(2)若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
9．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b.
10．[2022·河北保定高一期末]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝，cos C＝－.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，且D为AC的中点，求线段BD的长．
11.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
12．[2022·广东揭阳高一期末]如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°.若CD＝2，AD＝8，________，求AB的长．
从①BD＝6，∠ADC＝75°；②cos ∠ADB＝，∠CBD＝45°；③S△ABD＝12，∠CBD＝45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
答案：
1．解析：由余弦定理得cos B＝＝＝，解得a＝1或2，经检验，均符合要求．
当a＝1时，S△ABC＝ac sin B＝×＝；
当a＝2时，S△ABC＝ac sin B＝×＝.故选D.
答案：D
2．解析：在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝AB·AC sin A＝，可得sin A＝1，所以A＝90°，
所以C＝180°－A－B＝60°.故选C.
答案：C
3．解析：因为4S＝a2＋c2－b2，则4×ac sin B＝2ac cos B，
∵00，所以，tan B＝1，解得B＝.
答案：
4．解析：(1)在△ABD中，∠ABD＝45°，AD＝，∠ADB＝60°.
由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝.
(2)在△ACD中，∠ADC＝180°－60°＝120°，AD＝，CD＝2.
由余弦定理得AC＝＝
＝.
5．解析：对于＝，用正弦定理得＝.
因为A∈(0，π)，且tan A＝，所以A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A得7＝4＋c2－2×2c×，
解得c＝3(c＝－1舍去).
所以△ABC的面积是S＝bc sin A＝×2×3×＝.故选C.
答案：C
6．解析：因为S＝abc＝ab sin C，
所以c＝2sin C，
因为C＝，
所以c＝2sin C＝，
由余弦定理，c2＝3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以S＝ab sin C＝ab≤.故选D.
答案：D
7．解析：由已知及正弦定理可得，2cos A(sin B cos C＋sin C cos B)＝sin A，
可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，
即2cos A sin A＝sin A，又sin A≠0，∴cos A＝，
∴A＝.
由面积公式可得，3＝bc sin A＝bc，即bc＝12.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7.
答案：　7
8．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理，
因为a cos B＝b sin A，
所以sin A cos B＝sin B sin A，
因为sin A≠0，
所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为0＜B＜π，
所以B＝.
(2)因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得4＝a2＋4a2－2a×2a×，
所以a＝，c＝，
所以S△ABC＝ac sin B＝×××＝.
9．解析：(1)由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝，
即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得ac cos B＝1，则cos B>0，又sin B＝，
则cos B＝ ＝，ac＝＝，则S△ABC＝ac sin B＝.
(2)由正弦定理得＝＝，则＝·＝＝＝，则＝，b＝sin B＝.
10．解析：(1)因为＝，所以＝＝.
设a2＝12k(k>0)，则b2＝7k，由cos C＝－，
得＝＝－，解得c2＝25k，
所以cos B＝＝＝，
0(2)因为△ABC的面积S＝ac sin B＝ac＝，所以ac＝10.
又＝，所以a＝2，c＝5.
由(1)知＝，所以b＝，CD＝.
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos C＝，故BD＝.
11．解析：如图，
由余弦定理得，在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，
∴20－16cos A＝52＋48cos A，
解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°.
S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.故选C.
答案：C
12．解析：若选①，在△BCD中，
∵CD＝2，BD＝6，∠BCD＝120°，
∴由正弦定理可知＝，解得sin ∠CBD＝，
又∵∠CBD∈，∴∠CBD＝45°，即∠CDB＝180°－120°－45°＝15°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝60°，
在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝8，BD＝6.
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，解得AB＝2.
若选②，在△BCD中，CD＝2，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，
由正弦定理得 ＝，解得BD＝6，
在△ABD中，cos ∠ADB＝，AD＝8，BD＝6，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，即AB＝.
若选③，在△ABD中，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，CD＝2，
由正弦定理得＝，解得BD＝6，
在△ABD中，
由S△ABD＝AD·BD sin ∠ADB＝12，解得sin ∠ADB＝，
则∠ADB＝60°或120°，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，
当∠ADB＝60°时，解得AB＝2，当∠ADB＝120°时，解得AB＝2，
综上所述：AB＝2或2.
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