人教A版高中数学必修二 一课一练 8.4.1平面 同步练习 （含解析）

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8.4.1平面
1.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是(　　)
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
2．[2022·河南三门峡高一期末]下列命题正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
3．[2022·江苏镇江实验高级中学高一期中]人们经过长期观察与实践，总结出平面有三个基本事实．其中基本事实2：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(如图)，请用符号语言表述基本事实2是____________________．
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
(1)直线a经过平面α外的一点A；
(2)直线a既在平面α内，又在平面β内．
5.[2022·辽宁渤海大学附中]如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　)
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
6．[2022·北京人大附中高一期末]如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是(　　)
7．(多选)[2022·江苏金陵中学高一期中]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点)，且BE∩CF＝P，则下列结论正确的是(　　)
A．B，C，E，F四点共面
B．P∈平面ABB1A1
C．平面AEF与平面BB1C1不相交
D．P，A1，A三点共线
8．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
9．如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
10．[2022·广东高一期中]如图，在四面体ABCD中，E, G分别为BC, AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3, DH∶HA＝1∶3.求证：EF, GH, BD交于一点．
11.(多选)[2022·湖南师大附中]如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
12．[2022·福建龙岩高一期中]如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，CC1三线共点．
答案：
1．解析：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．故选A.
答案：A
2．解析：A.由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；B.一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；C.两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；D.梯形可确定一个平面，所以该选项正确．故选D.
答案：D
3．解析：由题意，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，
用符号语言表述为A∈l，B∈l ，且A∈α，B∈α l α .
答案：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
4．解析：(1)符号表示为：A α，A∈a，
(2)符号表示为：a α，a β.
5．解析：由题意知，D∈l，l β，∴D∈β，又D∈AB，
∴D∈γ，即D在平面γ与平面β的交线上，又C∈γ，C∈β，
∴点C在平面γ与平面β的交线上，即平面γ，β的交线必过点C和点D，故选D.
答案：D
6．解析：由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．
对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBFA，
易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.
答案：D
7．解析：对于A，因为BE∩CF＝P，所以BE, CF共面，所以A正确；
对于B，P∈BE，BE 平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，故B正确，
对于D，P∈CF，CF 平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，
所以P∈平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，故D正确；
对于C, AE与BB1相交，则平面AEF与平面BB1C1相交，故C不正确．故选ABD.
答案：ABD
8．证明：因为P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
9．证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，
所以l α，因为C∈l，所以C∈α，因为A，B，C，D∈α，
所以AD α，BD α，CD α，即直线AD，BD，CD在同一平面内．
10．证明：连接GE, HF.
因为E, G分别为BC, AB中点， 所以GE綊AC.
因为DF∶FC＝1∶3, DH∶HA＝1∶3，所以HF綊AC.
从而GE∥HF且GE≠HF，故G, E, F, H四点共面且四边形EFHG为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD, O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF, GH, BD交于一点．
11．解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，
在选项A中，∵直线A1C交平面C1BD于点M，
∴M∈平面C1BD，M∈直线A1C，又A1C 平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，
∵O为DB的中点，BD 平面C1BD，底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，
又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，
∴C1，M，O三点共线，故选项A正确；
在选项B中，∵C1，M，O三点共线，∴C1，M，O，C四点共面，故B正确；
在选项C中，∵C1，M，O三点共线，∴C1，M，O，A四点共面，故C正确；
在选项D中，∵直线OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，
∴D1，D，O，M四点不共面，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
12．证明：(1)如图，
连接EF，BD，B1D1.∵EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1.∵BB1与DD1平行且相等，∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，∴E，F，D，B四点共面．
(2)∵EF∥BD，且EF≠BD，∴直线BE和DF相交．延长BE，DF，设它们相交于点P，∵P∈直线BE，直线BE 平面BB1C1C，∴P∈平面BB1C1C，∵P∈直线DF，直线DF 平面CDD1C1，∴P∈平面CDD1C1，∵平面BB1C1C∩平面CDD1C1＝CC1，∴P∈CC1，∴BE，DF，CC1三线共点．
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