人教A版高中数学必修二 一课一练 8.5.1直线与直线平行 同步练习 （含解析）

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8.5.1直线与直线平行
1.在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．[2022·浙江宁波北仑中学高一期中]若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
3．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
4．如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
5.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
6．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论不正确的是(　　)
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
8．如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．
9．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：B，C，H，G四点共面．
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
11.如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形________(填上所有正确答案的序号).
12．在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
答案：
1．解析：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条，故选D.
答案：D
2．解析：如图，
　；
当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1不一定平行．故选D.
答案：D
3．解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC.
又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.
4．证明：由于E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的中点，
设G是DD1的中点，连接C1G，
根据长方体的性质可知B1E＝DF＝且B1E∥C1G∥DF，
所以四边形B1EDF是平行四边形．
5．解析：如图，连接AD1，CD1，AC，
则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.
答案：C
6．解析：如图所示，连接BD.
∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.
同理，FG∥BD，且FG＝μBD.∴EH∥FG.
∴当λ＝μ时，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴选项A，C正确，D错．
当λ≠μ时，EH≠FG，四边形EFGH是梯形，∴选项B正确．故选D.
答案：D
7．解析：根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是异面直线．
答案：①②
8．证明：连接AC.
∵M、N为CD、AD的中点，
∴MN∥A C，MN＝AC.
由正方体性质可知AC∥A′C′.
∴MN∥A′C′，MN＝A′C′.
∴四边形MNA′C′是梯形．
9．证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1，
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
10．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，
∴MM1∥AA1，MM1＝AA1.
又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
11．解析：图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则BF綊HG.
又∵HG綊AE，则BF綊AE，即ABFE为平行四边形，
∴AB∥EF.
同理CD∥EF，
则AB∥CD，即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC，BD，EF，
∵BE綊DF，即BDFE为平行四边形，
∴BD∥EF.
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF，
∴BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC，BD，EF，GH，
∵GE綊HF，即GEFH为平行四边形，则GH∥EF.
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF.
同理BD∥GH，
∴BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，图④正确．
答案：①③④
12．证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝ (AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝ (AB＋C′D′)＝ (AB＋CD)，
∴GH∥EF且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
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